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如皋市 2020-2021 学年度高二年级下学期第一次月考数学试题一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若 (i 为虚数单位),则复数 的实部是( )A.4 B.-4 C.-3 D.32.对于函数 ,若 ,则( )A.1 B. C.1 和 D.43.下列关于复数的命题中(i 为虚数单位),说法正确的是( )A.若关于 x 的方程 有实根,则B.复数 z 满足 ,则 z 在复平面对应的点位于第二象限C. , (i 为虚数单位, ),若 ,则D. 是关于 x 的方程 的一个根,其中 p、q 为实数,则4.已知过点 的直线与 图象切于点 (如图所示),且 ,则 ( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-45.函数 在 上的最大值是( )i 3 4iz = + z( ) 22 lnf x x x= − ( )0 3f x′ =14− 14−( ) ( )21 i 1 4i 0 Rx ax a+ + + − = ∈ 52a = −( ) 20201 i iz+ =( )21 4 1 2 3 iz a a a= − + + + ( )22 2 iz a a a= + + Ra∈ 12a −1 2z z1 2i+ 2 0x px q+ + = 5q =( )1,0− ( )y f x= ( )( )2, 2f ( )2 1f = −( )2f =( ) lnf x x x= 221,ee   A. B. C. D.6.若 (i 为虚数单位),则 ( )A.1 B.C. D.7.已知圆锥的母线长为 3,则该圆锥体积的最大值为( )A. B. C. D.8.已知 若 且 ,则 的取值范围是( )A. B.C. D.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有项选错得 0 分.9.已知曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点横坐标可能是( )A. B. C. D.10.在复平面内,若复数 满足 ,其中 为正实数,则 对应点的集合组成的图形可能是( )A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线11.定义在 上的函数 ,满足 ,则下列说法正确的有( )1e−22e−22e22 e1 3i2 2ω = − + 2 3 101 ω ω ω ω+ + + + + =1 3i2 2− +1 3i2 2+ 1 3 i2 2− −33π 6 3π 2 33π 2 3π( )33ln , 0 e ,6 ln , e ,x xf xx x ≤= − ( ) ( ) ( )f a f b f c= = a b c 6e16bac+631617, ee +  [ )12,17631612, ee +  331617, ee +  sin cosy x x= + 24π−4π 34π 74πz 1 1z z λ− + + = λ λ( )0,+∞ ( )f x ( ) 2exf xx=A.若 ,则B. 在 处取得极小值C. 只有一个零点D.若对任意的 , 恒成立,则12.丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。若 为 上任意 n 个实数,满足,则称函数 在 上为“上凸函数”.设可导函数 在 上的导函数为 , 在 上的导函数为 ,当时,函数 在 上为“上凸函数”.下列结论成立的是( )A. 在 上为“上凸函数”B. 在 上为“上凸函数”C.在 中,D.在 中,三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把箐案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知函数 ,则 的极值是 ▲ .14.如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,若 ,则 z 的共轭复数 ▲ .0x ( )2 1x f x x +( )f x 2x =2e4( )f x( )0,x∈ +∞ ( ) 21f x k x + e 1k −1 2, , , nx x x ( ),a b( ) ( ) ( )1 2 1 21nnx x xf f x f x f xn n+ + +  ≥ + + +      ( )f x ( ),a b( )f x ( ),a b ( )f x′ ( )f x′ ( ),a b ( )f x′′( ) 0f x ( )f x ( ),a bsiny x= ( )0,πcosy x= ( )0,πABC△3 3sin sin sin2A B C+ + ≤ABC△3 3cos cos cos2 2 2 2A B C+ + ≤( ) 4 31 1 14 3 2f x x x= − + ( )f x1z 2z 1OZ2OZ22 13z z z+ =z = 15.函数 在 上单调递增,则实数 的最小值是 ▲ .16. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 的 导 函 数 为 , 满 足 , 若恒成立,则实数 的取值范围为 ▲ .四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在① ;②复平面上表示 的点在直线 上;③ 三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答:已知复数 , ;(i 为虚数单位),满足_____________________.若 ,求:(1)复数 ,以及 ;(2)复数 ,以及 .(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.已知函数 .(1)求 的单调区间;(2)对于给定的正数 ,若存在 ,使得 ,求正数 的取值范围.19.若函数 .( ) sin 26f x x xπα  = − −  0,2π   a( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 0f x f x′ − ( ) ( )22 1 1x xe f ax e f x− + − a( )2 2 10 0z z a= 12zz2 0x y+ = ( )1 i 0z a− 1 1 iz = + ( )2 3i Rz a a= + ∈1 21 1zz z= +z z2z 2z( ) ln , Rf x x ax a= − ∈( )f xa 0x ( )0 0f x a( ) 2 tan , 0,2x x xf xπ = − ∈  (1)求 的极值;(2)判断 的零点个数,并说明理由.20.“我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一大块麦地里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是...除了我”.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田,假设霍尔顿在一块凸四边形 ABCD 的麦田里成为守望者,为了分割麦田,他将 AC 连结,经测量 , , .霍尔顿发现无论 AC 多长,是定值 1.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关,记和 的 面 积 分 别 为 和 , 为 了 更 好 地 规 划 麦 田 , 霍 尔 顿 需 要 求 出的最大值.(1)记 ,用 表示 ;(2)求 的最大值, 21. 直线 为函数 图象上任 意一 点 处的切 线( P 为切 点),若函数图象上除 P 点外的所有点都在直线 的同侧,则称函数 为“单侧函数”.(1)若 .(ⅰ)求 在 处的切线方程;(ⅱ)证明 不是“单侧函数”;(2)函数 ,判断 是否是“单侧函数”.若是,写出证明过程;若不是,请说明理由,( )f x( )f x2AD DC= = 1AB = 3BC =3cos 4cosB D−ABC△ ADC△ 1S 2S2 21 28cos 3cosB S B S× − ×cos B x= x 2 21 28cos 3cosB S B S× − ×2 21 28cos 3cosB S B S× − ×l ( )y xϕ= ( )0 0,P x y( )y xϕ= l ( )y xϕ=( ) 3 3x x xϕ = −( )y xϕ= 0x =( )y xϕ=( ) 1e2xf xx = − ( )y f x=22.(本小题满分 12 分)定义在 上的函数 在 处取到极小值,(1)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 b 的取值范围;( 2 )令 ,若函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点 ,,且 ,求证: (其中 是 的导函数)高二数学参考答案1-5.AADCD 6-8.CDC 9.AD 10.AC 11.AB 12.ACD 13. 14. 15. 16.17.【解答】(1)若选①, ,又 ,所以 .若选②, ,又复平面上表示 的点在直线 上,所以 ,所以 .若选③, 得 ,所以 .所以 .(1) , .(2) ,.( )0,+∞ ( ) 2 lnf x x a x= − 2x =( ]0,1x∈ ( ) 1f x bx≥ =( ) ( )g x cx f x= − ( )g x ( )1,0A x( )2,0B x 1 20 x x 1 2 02x xg+ ′   ( )g x′ ( )g x5126+2i 21,+4 ∞  2 22 2 2= = 9 10z z z a + = 0a =1a( )( ) ( )12 221+i 3i 3 3 i1+i+3i 9 9a a azz a a a− + + −= = =+ +12zz2 0x y+ =2 23 32 09 9a aa a+ −+ × =+ +=1a( ) ( )( ) ( ) ( )1 i 1+i i 1 1 i 0z a a a a− = − = + + − 1 01 0aa+  − ==1a2=1 3iz +1 21 1 1 1 1 i 1 3i 3 4+ i1 i 1 3i 2 10 5 5zz z− −= = + = + = −+ +2 23 415 5z   = + − =      22 3 4 9 16 24 7 24i i= i5 5 25 25 25 25 25z = − = − − − −  2 22 7 24 125 25z   = − + − =      18.【解答】(1)因为 ,所以 .①当 时, ,所以 的增区间为 .②当 时,若 , ;若 , .所以 的增区间为 ,减区间为 .综上,当 时, 的增区间为 ;当 时, 的增区间为 ,减区间为 .(2)法一:由(1)得,当 时, 取最大值 .因为若存在 ,使得 ,所以 ,解得 .所以正数 的取值范围为 .法二:若存在 ,使得 ,即若存在 ,使得 .令 ,则 ,由 ,解得 .当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递减,所以 在 处取到极大值,也即是最大值,最大值是 .所以正数 的取值范围为 .19.【解答】(1)因为 ,所以 .令 ,解得 .列表如下.( ) ln , Rf x x ax a= − ∈( ) 1f x ax′ = −0a ≤ ( ) 1 0f x ax′ = − ( )f x ( )0,+∞0a 10 xa ( ) 1 0f x ax′ = − 1xa ( ) 1 0f x ax′ = − ( )f x 10,a   1,a +∞  0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a ( )f x 10,a   1,a +∞  1xa= ( )f x 1ln 1a−0x ( )0 0f x 1ln 1 0a− 10 ae a 10,e   0x ( )0 0f x 0x 00ln xax( ) ln xg xx= ( ) 21 ln xg xx−′ = ( ) 0g x′ = x e=( )0,ex∈ ( ) 0g x′ ( )g x ( )e,+x∈ ∞ ( ) 0g x′ ( )g x( )g x x e= 1ea 10,e   ( ) 2 tanf x x x= −( ) ( )( )2 22 cos 1 2 cos 112cos cosx xf xx x+ −′ = − =( ) π0, 0,2f x x ′ = ∈  π4x =极大值所以,当 时,有极大值 .(说明:列表时 未列出或者列成 扣 1 分)(2)①由(1)得,0 是 的零点.②当 时, ;当 时, , ,所以连续函数 在 上有零点.因为 在 上单调递减,所以 在 上有一个零点.所以 在 上有两个零点.(赋值方法: ,使得 ,则 )20 . 【 解 答 】 ( 1 ) 在 中 ,,同 理 可 得 , 在 中 ,.x 0π0,4   π4π π,4 2   ( )f x′ + 0 −( )f x 0 Z π4f   ]π4x = π π 14 2f  = −  0x = π0,4  ( )f xπ0,4x ∈  ( ) 0f x π π,4 2x ∈  π π1 04 2f  = −   ( )5π 5π 3 1 012 6f  = − +   ( )f x π π,4 2   ( )f x π π,4 2   ( )f x π π,4 2   ( )f x π0,2  0π π,4 2x ∃ ∈   0tan πx ( )0 0 0 02 tan π tan 0f x x x x= − − ABC△( )2 22 2 211 1 9 9sin 1 3sin sin 1 cos2 2 4 4S AB BC B B B B   = ⋅ = × × = = −      ADC△( ) ( )22 2 22 1 34 4cos 4 3cos 1 5 2cos 3cos4 4S D B B B= − = − × − = × + −因为 ,所以 .令 ,则.令 ,则 ,由 且 ,解得 .当 时, ;当 时, .所以当 时, 取得极小值且是最小值,最小值为 ,所以,当 时, 的最大值为 .(说明: 的范围错且结果对扣 3 分)20.【解答】(1)(ⅰ)若 ,则 ,所以 .所以 在 处的切线方程是 . ( ⅱ ) 令 , 当 时 , ; 当 时 ,,所以 不是“单侧函数”.(2)当 时, 是“单侧函数”.函数 图象上任意一点 处的切线为 ,即 .( )4cos 3cos 1 1,1D B= − ∈ − 2cos 0,3B ∈  2cos , 0,3B x x = ∈  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 21 2 9 9 98cos 3cos 8 1 5 2 3 5 2 34 4 4B S B S x x x x x x x x× − × = × − − + − = − + −( ) 3 2 25 2 3 , 0,3f x x x x x = + − ∈  ( ) 215 4 3f x x x′ = + −( ) 0f x′ = 20,3x ∈  13x =10,3x ∈  ( ) 0f x′ 1 2,3 3x ∈  ( ) 0f x′ 13x = ( )f x 1627−1cos3B = 2 21 28cos 3cosB S B S× − ×43cos B( ) 3 3x x xϕ = − ( ) 23 3x xϕ′ = − ( )0 3ϕ′ = −( )y xϕ= 0x = 3 0x y+ =( ) ( ) ( )3 33 3h x x x x x= − − − = 0x ( ) 3 0h x x= 0x ( ) 3 0h x x= ( )y xϕ=12a = − ( )y f x=( )y f x= ( )0 0,P x y ( )0 00 01 12 2x xy e x e x x   − − = − −      ( )0 00112x xy e x x e = − + −  令 ,则 .当 时, , 在 上单调递减;当 时, , 在上单调递增,所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号,所以 是“单侧函数”.22.【解答】(1)因为 ,所以 . 因为函数 在 处取到极小值,所以 ,解得 .此时, ,当 时, , 单调递减,当 时, , 单调递增,所以 在 处取到极小值.所以 符合题意,即 .(说明:不检验扣 1 分)若对任意的 ,不等式 恒成立,即 恒成立.令 ,则,( ) ( )0 001 112 2x xxh x e x e x x e = − − − − −  ( ) 0xxh x e e′ = −0x x ( ) 0h x′ ( )h x ( )0, x−∞ 0x x ( ) 0h x′ ( )h x( )0 ,x +∞( ) ( )0 0h x h x≥ =( )0 001 112 2x xxe x e x x e − ≥ − + −   0x x=( )y f x=( ) 2 lnf x x a x= − ( )222a x af x xx x−′ = − =( )f x 2x = (2) 0f ′ = 8a =( ) ( )( )2 2 2x xf xx+ −=( )0,2x ∈ ( ) 0f x′ ( )f x ( )2,+x ∈ ∞ ( ) 0f x′ ( )f x( )f x 2x =8a = ( ) 2 8lnf x x x= −( ]0,1x ∈ ( ) 1f x bx≥ −1 8ln xb xx x≤ + −( ) ( ]1 8ln , 0,1xh x x xx x= + − ∈( )22 2 21 8 8ln 8ln 91x x xh xx x x− + −′ = − − =令 ,则 恒成立,所以 在 上单调递增,,即 在 上恒成立所以 在 上为减函数, ,故实数 的取值范围为 .(说明:本小题含参讨论酌情给分,可以先取特值 将 参数的范围缩成 再讨论)(2)由(1)得 ,因为函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ,所以方程 的两个根为 , ,则 ,两式相减得,又 ,则.下证: (*),即证明 ,∵ ,∴ ,即证明 在 时恒成立.因为 又 ,所以 . 所以, 在 上是增函数,则 ,从而 . 故 ,即成立 .(说明:本小题利用其他方法证明酌情评分)( ) 2 8ln 9x x xϕ = + − ( ) 82 0x xxϕ′ = + ( )xϕ ( ]0,1( ) ( )1 8 0xϕ ϕ≤ = − ( ) 0h x′ ( ]0,1( )h x ( ]0,1 ( ) ( )min 1 2h x h= =b ( ], 2−∞1x = b ( ], 2−∞( ) 28lng x x x cx= − +( )g x x ( )1,0A x ( )2 ,0B x28ln 0x x cx− + = 1x 2x21 1 122 2 28ln 08ln 0x x xx x cxα − + = − + =( ) ( )1 21 21 28 ln lnx xc x xx x−= + −−( ) 8 2g x x cx′ = − +( ) ( )1 21 2 1 21 2 1 2 1 28 ln ln16 162x xx xg x x cx x x x x x−+ ′ = − + + = −  + + − ( )1 21 2 1 28 ln ln160x xx x x x−− + −( )2 1 1 11 2 2 22ln 0,x x x xtx x x x−+ =+1 20 x x 0 1t ( )( )2 1ln 01tF t tt−= + +0 1t ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )22 2 22 1 2 1 11 1 41 1 1t t tF tt tt t t t− + − − −′ = + = − =+ + +0 1t ( ) 0F t′ ( )F t ( )0,1 ( ) ( )1 0F t F = ( )2 1 11 2 22ln 0x x xx x x−+ +( )1 21 2 1 28 ln ln160x xx x x x−− + −1 2 02x xg+ ′   

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