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湖南省重点中学2020-2021学年高二数学3月联考试题(Word版附答案)

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时间:2021-04-10

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资料简介

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湖南省高二年级联考数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教 A 版必修一至必修五,选修 2-1、2-2、2-3。一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知 ,则下面选项中一定成立的是A. B. C. D.2.函数 的部分图像大致为 A B C D3.将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 ( ),纵坐标不变,得到( )R A B = ∅ðA B A= A B B= A B B=A B = R( )3 4x xx xf xe e−−=+( ) sinf x x= 1ω 0ω 函数 的图像,若函数 的最小正周期为 ,则A. B. C. D.4.已知点 在抛物线 上, 为焦点,点 ,则 的最小值为A.3 B.4 C.5 D.65.某招聘网站通过对企业一年内发布的所有招聘信息中的工资数据来分析该企业的待遇情况.已知某上市企业近一年发布的招聘信息中的月工资(单位:千元)数据都在 之间,根据这些数据将其分为 , , , , , 6 组,绘制出频率分布直方图如图所示,则该企业员工的月平均工资约为(提示:同组数据用该数据的中点值代替)A.17 千元 B.17.5 千元 C.17.25 千元 D.17.75 千元6.经过点 作曲线 的切线有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条7.已知等比数列 的前 项和为 ,则“ ”是“ 单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必条件8.若定义在 上的函数 满足 ,则不等式的解集为( )g x ( )g x 6π13ω = 6ω = 16ω = 3ω =P 2 16y x= F ( )2,1A PA PF+[ ]5,35[ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20, 25 [ )25,30 [ ]30,35( )2,0 2exy x={ }na n nS 1n nS S+ { }na( )0,+∞ ( )f x ( ) ( ) lnf x xf x x x+ ′ ( ) ln 1f x x x+ ≥A. B. C. D.二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.已知 ,则A.展开式中所有项的二项式系数为 B.展开式中所有奇次系数和为C.展开式中所有偶次项系数和为 D.10.若直线 与双曲线 有且只有一个公共点,则 的值可能为A.2 B.4 C.8 D.1011.设 , 为复数,且 ,下列命题中正确的是A.若 ,则B.若 ,则 的实部与 的虚部互为相反数C.若 为纯虚数,则 为实数D.若 , ,则 , 在复平面内对应的点不可能在同一象限12.在梯形 中, ,将 沿 折起,使 到 的位置( 与 不重合), , 分别为线段 , 的中点, 在直线 上,那么在翻折的过程中A. 与平面 所成角的最大值为B. 在以 为圆心的一个定圆上C.若 平面 ,则( ]0,1 [ )1,+∞ [ ),e +∞ 1 ,e +∞ ( )2021 2 3 20210 1 2 3 20211 2x a a x a x a x a x− = + + + + +2021220213 12−20213 12− 3 20211 22 3 202112 2 2 2a aa a+ + + + = −112y x= −22 1xym− = m1z 2z 1 2z z≠1 2z z= 1 2z z=12ziz= 1z 2z1 2z z+ 1 2z z−1z 2z ∈ R 1z 2zABCD 2 2 2AB AD DC CB= = = BDC∆ BD C C′C C′ E F AB AC′ H DC′DC′ ABD6πF EBH ⊥ ADC′ 3DH CH= D.若 平面 ,四面体 的体积取得最大值三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的横线上.13.一条与直线 平行且距离大于 的直线方程为 .14.设随机变量 ,若 ,则 .15.若向量 , 满足 , , ,则 , 的夹角为 , .(第一空 3 分,第二空 2 分)16.某班需要选班长、学习委员、体育委员各 2 名,其中体育委员中必有男生,现有 4 名男生 4名女生参加竞选,若不考虑其他因素,则不同的选择方案种数为 .四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)如图,在平面四边形 中, , , .(1)求 ;(2)若 ,求 .18.(12 分)已知数列 满足 , , , .(1)求数列 的前 3 项和 ;(2)若 ,求数列 的前 2021 项和 .19.(12 分)如 图 , 在 四 棱 锥 中 , 底 面 为 直 角 梯 形 , , ,, .AD ⊥ BDC′ C ABD′2 3 0x y− + = 5( )~ 2,1η ( ) ( )3 1 5P m P mη η + = − m =ab4a =2 2b = ( ) 8a b a⋅+ =   a ba b+ = ABCD AD CD⊥34BADπ∠ = 2 4AB BD= =cos ADB∠22BC = CD{ }na 2 2a = ( ) ( )1 11 1n n nna n n a n a− ++ − = − *n ∈ N 1n { }na 3S2020 2020a = { }na 2021SA BCED− BCED DE CB∥ BC EC⊥AD BD CD= = 2BC= = 90AED∠ = °(1)证明:平面 平面 .(2)若 ,求二面角 的余弦值.20.(12 分)某校针对高一学生安排社团活动,周一至周五每天安排一项活动,活动安排表如下:时间 周一 周二 周三 周四 周五活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法要求每位学生选择其中的三项,学生甲决定选择篮球,不选择书法;乙和丙无特殊情况,任选三项.(1)求甲选排球且乙未选排球的概率;(2)用 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和,求 的分布列和数学期望.21.(12 分)已知椭圆 : ( )的离心率为 ,椭圆 与抛物线 交于, 两点( 在 轴上方),椭圆 的右焦点在直线 上, 为坐标原点, , ,分别为椭圆 的左、右、上顶点.(1)求椭圆 的方程;(2)设 为椭圆 上一点(异于顶点),直线 与 轴交于点 ,直线 上有一点 满足 ,证明直线 经过点 .22.(12 分)ABC ⊥ ACE6AC = B AD E− −X XC2 22 21x ya b+ = 0a b 32C 2312y x=M N M x C MN O A BE CCD C DE x P AD Q4OP OQ⋅ = BE Q已知函数 .(1)当 时,讨论 的单调性.(2)若 在 处取得极小值,且 ,证明: .湖南省高二年级联考数学试卷参考答案1.B 因为 ,所以 ,则 .2.D 因为 ,所以 为奇函数,其图像关于原点对称,故排除 B.易知有 3 个零点 ,0,2.当 时, ;当 时, .所以排除A,C,故选 D.3.A 由题意可知 ,因为 的最小正周期为 ,所以 ,得..4.D 因为抛物线方程 ,所以其准线方程是 .过 作 垂直于准线,垂足为, 则 , 所 以 . 当 , , 三 点 共 线 时 ,最小,最小值 ,故 的最小值为 6.5.A 由 图 可 知 , 该 企 业 员 工 的 月 平 均 工 资 约 为千克.6.C 因 为 , 所 以 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为.将 代入,得 .因为 ,所以方程 有两个不同的根,且根不为 0,所以方程 共有 3个不同的根,即经过点 作曲线 的切线有 3 条.7.D 设 的公比为 ,若 ,则 ,所以可能 ,( ) ( )lnxxef x a x x= − +0a = ( )f x( )f x 0x x= ( )0 0f x ( )( )0021f xa x−( )R A B = ∅ð B A⊆ A B B=( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )f x2− ( )0,2x ∈ ( ) 0f x ( )2,x ∈ +∞ ( ) 0f x ( ) sing x xω= ( )g x 6π 2 6T π πω= =13ω =2 16y x= 4x = − P PMM PF PM= PA PF PA PM+ = + A P MPA PM+ ( )2 4 6− − = PA PF+7.5 0.15 12.5 0.30 17.5 0.25 22.5 0.15 27.5× + × + × + × + 0.10 32.5 0.05 17× + × =( )2 2 xy x x e= +′ 2 xy x e= ( )020 0, xx x e( )0 02 20 0 02x xy x x x ee− = + ( )0x x⋅ − ( )2,0 ( )0 20 0 0 4 0xx e x x⋅ − − = 0∆ 2 4 0x x− − = ( )0 20 0 0 4 0xx e x x⋅ − − =( )2,0 2 xy x e={ }na q 1n nS S+ 1 1 1 0nn n na S S a q+ += − = 1 0a 1q 或 , ;若 , ,则 单调递增,但 ,,故选 D.8.B 由 题 意 知 . 令 , 则, 所 以 在 上 单 调 递 增 , 且 . 不 等 式,等价于 ,故 .9.ACD 由二项式定理可知, 的展开式中所有项的二项式系数和为 ,故 A 正确.令 ,得 ,①令 ,得 ,②① ②得 ,故 B 不正确.① ②得 ,故 C 正确.令 ,得 ,令 ,得 ,所以 ,故 D 正确.10.BC 由题知 ,双曲线的渐近方程为 .当直线与双曲线相交于一点时,直线 与渐近线平行,则 ,此时 ;当直线与双曲线相切于一点时,联立 ,可得 ,由 ,解得 .综上可知,当1 0a 0 1q 1 0a ( )0,1q ∈ { }na 1 10 n na a a+ 1n nS S+ ( ) ( ) ln 1 0f x f x xx+ ′ − ( ) ( ) ln 1g x f x x x= − +( ) ( ) ( )ln 1f xg x f x xx′ = ′ + − ( )g x ( )0,+∞ ( )1 0g =( ) ln 1f x x x x− + ≥ ( ) ( )1g x g≥ 1x≥( )na b+ 2n1x = ( )20210 1 2 3 2021 1 1a a a a a+ + + + + = − = −1x = − 20210 1 2 3 2021 3a a a a a− + − + − =−20211 3 4 20213 12a a a a++ + + + = −+20210 2 4 20203 12a a a a−+ + + + =0x = 0 1a =12x =2 20210 1 2 20211 1 102 2 2a a a a   = + × + × + + ×      2 20211 2 2021 01 1 112 2 2a a a a   × + × + + × = − = −      0m 1y xm= ±112y x= − 1 12m= 4m =221121y xxym = − − =21 1 2 04x xm − + − =  0∆ = 8m = 4m =或 时,直线 与双曲线 有且只有一个公共点.11.BD 若 ,则 , 不一定共轭;若 为线虚数,则 , 的实部互为相反数,而虚部不一定相等,所以 不一定为实数,故 A , C 错误;令 ,, , , , ,若 ,则 ,所以,故 B 正确;若 ,则 .如果 , 在复平面内对应的点在同一象限,那么 , 同号,不可能使 ,故 D正确.12.ACD 如图,在梯形 中,因为 , ,所以易得 , , .在将 沿 翻折至 的过程中, 与 的大小保持不变,由线面角的定义可知, 与平面 所成角的最大值为 ,故 A 正确;因为 大小不变,所以在翻折的过程中, 的轨迹在以 为轴的一个圆锥的镀面圆周上,而 是 的中位线,所以点 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上,但此圆的圆心不是点 ,故 B 不正确;当 平面 时, .因为 ,所以 ,所以 ,故 C 正确;8m =112y x= −22 1xym− =1 2z z= 1z 2z 1 2z z+ 1z 2z1 2z z− 1z a bi= +2z c di= + a b c d ∈ R12ziz= ( )1 2z a bi z i c di i ci d= + = = + = −a d= − ( )( )1 2z z a bi c di= + + ( ) ( )ac bd bc ad i= − + + 0bc ad+ =1z 2z bc ad 0bc ad+ =ABCD AB CD∥ 2 2 2AB AD DC CB= = =AD DB⊥3DABπ∠ =6BDC DBCπ∠ = ∠ =BDC∆ BD BDC∆ ′ BDC∠ DBC∠DC′ ABD6πDBC∠ C′ BDEF ABC∆ ′ FEBH ⊥ ADC′ BH DH⊥3HC Bπ∠ ′ = 2DC BC C H′ = ′ = ′ 3DH CH= 在翻折的过程中, 的面积不变,显然当 平面 时,四面体 的体积取得最大值,故 D 正确.13. ( 或 )(写出符合条件的一条直线方程即可) 设与直线平行的直线方程为 ,由 ,得 或 .14.2 根据正态分布的特征,可得 ,解得 .15. ; 设 , 的夹角为 ,因为 ,且 ,所以.因为 , ,所以 ,故, ,, .16.1980 根据题意,分 3 步:①体育委员在 8 人中任选 2 人,至少一名男生有种方案;②班长在剩下的 6 人中任选 2 人,有 种方案;③学习委员在剩下的 4 人中任选 2 人,有 种方案.故共有 种方案.17.解:(1)在 中,由正弦定理得 ,所以 .因为 ,所以 .(2)因为 ,且 ,所以 .在 中,根据余弦定理得 ,化简得 ,BC D∆ ′ AD ⊥ BDC′ C ABD′2 0x y c− + = 8c 2c −2 3 0x y− + = 2 0x y c− + =2 2351 2c −+8c 2c −3 1 5 4m m+ + − = 2m =34π2 2 abθ ( ) 2 8a b a a a b+ ⋅ = + ⋅ =      4a =8a b⋅ = − 4a =2 2b = 8 2cos24 2 2a ba bθ⋅ −= = = −×  34πθ =2 2 22 8a b a b a b+ = + + ⋅ =     2 2a b+ = 2 28 4C C 22− =26C 15=24C 6= 22 15 6 1980× × =ABD∆sin sinBD ABBAD ADB=∠ ∠2sin4ADB∠ =2ADBπ∠ 14cos4ADB∠ =2sin4ADB∠ =2ADCπ∠ =2cos sin4BDC ADB∠ = ∠ =BDC∆ 2 2 2 2 cosBC BD CD BD CD BDC= + − ⋅ ⋅ ∠( )( )2 2 2 6 3 2 2 0CD CD CD CD− − = − + =故 .18.解:(1)当 时,所以 .因为 ,所以 ,故 .(2)由题知, ,所以 , , ,…, ,以上式子相加,得,所以 ,即 ,所以 .19.(1)证明:在直角梯形 中, , ,则 .又 ,即 .因为 ,所以 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,3 2CD =2n = 2 13 2 1a aa = −2 2a = 1 3 1a a+ =3 1 2 3 3S a a a= + + =11 1n nna aan n−+ = − −2 13 2 1a aa = − 3 24 3 2a aa = − 345 4 3aaa = − 1 21 2n nna aan n− −= −− −3 3 1 22 2 43 4 5 12 3 2 4 3 1 2n nna a a aa a aa a a a an n− −+ + + + = − + − + − + + −− − 11 1naan−= − +−11 2 3 4 5 21nnaa a a a a a an−+ + + + + + = +−1 21nnaSn−= +−20202021 2 32020aS = + =BCED BC EC⊥ DE CB∥DE EC⊥90AED∠ = ° AE DE⊥AE EC E=DE ⊥ ACEBC ⊥ ACEBC ⊂ ABC所以平面 平面 .(2)解:在直角梯形 中, ,则 .在 中, ,所以 .在 中, , ,所以 .因为 ,所以在 中, ,则 ,所以 , , 两两垂直.以 为 原 点, , , 分 别 为 , , 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 , , ,所以 , .设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,得 .因为平面 的一个法向量为 ,所以 ,由图可知二面角 为钝角,所以二面角 的余弦值 .20.解:(1)设 表示事件“甲选排球”, 表示事件“乙选排球”,ABC ⊥ ACEBCED 2BD CD BC= = =60BCD DBC BDC EDC∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °Rt CDE∆112DE CD= = 3CE =Rt ADE∆ 2AD = 1DE = 3AE =6AC = ACE∆ 2 2 2AE CE AC+ =AE CE⊥ AE CE DEE AE CE DE x y zE xyz−( )0, 3,0A ( )0,0,1D ( )3,0,2B ( )3, 3,2AB = − ( )0, 3,1AD = −ABD ( ), ,n x y z=3 3 2 03 0AB x y zADnn y z ⋅ = − + =⋅ = − + = 1y = ( )1,1, 3n = −ADE ( )1,0,0m =1 5cos ,55m mm nm n⋅ − = = = −   B AD E− − B AD E− − 55−A B则 , .因为事件 , 相互独立,所以甲选排球且乙未选排球的概率 .(2)设 表示事件“丙选排球”,则 ,的可能取值为 0,1,2,3.;;;.所以 的分布列为0 1 2 3.21.(1)解:设点 的坐标为 ,则 ,所以 ①,又 ②,( )1223C 2C 3P A = = ( )2435C 3C 5P B = =A B( ) ( ) ( ) 2 3 413 5 15P AB P A P B = = × − =  C ( )2435C 3C 5P C = =X( ) 1 2 2 403 5 5 75P X = = × × =( ) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 413 5 5 3 5 5 3 5 5 15P X = = × × + × × + × × =( ) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 1123 5 5 3 5 5 3 5 5 25P X = = × × + × × + × × =( ) 2 3 3 633 5 5 25P X = = × × =XXP4754151125625( ) 4 4 11 6 280 1 2 375 15 25 25 15E X = × + × + × + × =M ( ), Mc y 2312My c=22 22 2 2 2312 1Mcyc ca b a b+ = + =32ca=由①②,结合 ,得 ,所以椭圆 的方程为 .(2)证明:设直线 的方程为 ,则 .联立方程组 ,得 ,所以 , ,即 .因为 ,所以直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 .设点 ,由 ,可得 ,所以 .因为直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,所以直线 经过点 .22.(1)解:当 时, ,所以 .因为 ,所以 ,则 ,2 2 2a b c= +213abc = = =C22 14xy+ =DE 1y kx= + 1 ,0Pk −  22114y kxxy= ++ =( )2 24 1 8 0k x kx+ + = 1 0x = 2 284 1kxk= −+22 28 1 4,4 1 4 1k kDk k −− + + ( )2,0A − AD2221 42 14 18 4 224 1kkkk kk−++ = −−− ++AD ( )2 1 24 2ky xk+= − +−( )0 02 1, 24 2kQ x xk+ − + − 014OP OQ xk⋅ = − = 0 4x k= − ( )4 ,2 1Q k k− +BE1 0 10 2 2BEk−= = −−BQ2 1 14 2 2BQkkk+= = −− −BE Qa e= ( ) xf x xe=( ) ( )1 xf x x e′ = +0x 1 0x + ( ) 0f x′ 所以 在 上单调递增.(2)证明:因为 ,所以 .①当 时, ,即 在 上单调递增,函数 无极小值,所以 不符合题意;②当 时,令 , , ,故函数 在 上单调递增.因为 , ,据零点存在性定理可知,存在 ,使得 , .当 时, , ,函数 在 上单调递减;当 时, , ,函数 在 上单调递增.所以 在 处取得极小值,所以 符合题意.因为 ,所以 .因为 ,即 ,所以 .因为 ,所以 ,即 .令 ,因为 在 上单调递增,且 , ,所以 .令 , ,因为 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,其中 .因为 ,( )f x ( )0,+∞( ) ( )lnxf x xe a x x= − +( ) ( ) ( )1 11 1x xxf x x e a xe ax x+ ′ = + − + = ⋅ −  0a ≤ ( ) 0f x′ ( )f x ( )0,+∞( )f x 0a ≤0a ( ) xh x xe a= − 0x ( ) ( )1 0xh x x e′ = + ( )h x ( )0,+∞( )0 0h a= − ( ) ( )1 0ah a a e= − ( )0 0,x a∈ ( )0 0h x = ( )0 0f x′ =00 x x ( ) 0h x ( ) 0f x′ ( )f x ( )00, x0x x ( ) 0h x ( ) 0f x′ ( )f x ( )0 ,x +∞( )f x 0x x= 0a ( )0 0h x = 00 xx e a=( )0 0f x ( )0 0ln 0a a x x− + ( )0 01 ln 0a x x− − 0a 0 01 ln 0x x− − 0 0ln 1 0x x+ − ( ) ln 1m x x x= + −( )m x ( )0,+∞ ( )1 0m = ( )0 0m x 00 1x ( ) ln 1p x x x= − + 0 1x ( ) 1 1 0p xx′ = − ( )p x ( )0,1( ) ( )1 0p x p = ln 1x x − 0 1x ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 01 ln 1 1 2 1f x a x x a x x a x= − − − − − = −  结合 , ,所以可得 .00 1x 0a ( )( )0021f xa x−

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