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皖北名校 2020~2021 学年高二下第一次联考数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.命题“ , ”的否定是( )A. , B. ,C. , D. ,2.在如图所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为 16,则乙组数据的平均数为( )A.12B.10C.8 D.63.已知函数 ,则 ( )A. B. C. D.4.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,以 为直径的圆与双曲线交于点P,则 的面积为( )A.9 B.16C.20D.255.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温 y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了y 关于 x 的线性回归方程 ,x(次数/分钟) 20 30 40 50 60y(℃) 25 27.5 29 32.5 36则当蟋蟀每分钟鸣叫 56 次时,该地当时的气温预报值为( )A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃1x∀ ≥ 2 1 0x − 1x∀ ≥ 2 1 0x − ≤ 0 1x∃ 02 1 0x − ≤0 1x∃ 02 1 0x − 0 1x∃ ≥ 02 1 0x − ≤( ) 2 3 (0) exf x x f ′= + ⋅ (1)f ′ =3e23 2e− 2 3e− 2 3e+2 219 16x y− = 1F 2F 1 2F F1 2PF F△ 0.25y k= +6.在正方体 中,已知 M 是 的中点,则 与平面 所成角的余弦值为( )A. B.C. D.7.下图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事,现模仿铜钱制作一个半径为 2cm的圆形铜片,中间有边长为 1cn 的正方形孔.若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计),则水滴正好落入孔中的概率是( )A. B. C. D.8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 x 的值为 2,则输出 v 的值为( )1 1 1 1ABCD A B C D− BD 1B M 1 1AA D D6633306− 3062π1π12π14πA.6 B.14C.16D.389.已知函数 在 处有极值,则 等于( )A.1 B.2C.3 D.410.已知椭圆 的右焦点为 F,B 为上顶点,O 为坐标原点,直线交椭圆于点 C(点 C 位于第一象限),若 与 的面积相等,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知函数 ,若对任意 , 恒成立,则 a 的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.函数 的图象在点 处的切线方程是______.3 2( )f x x ax bx= + + 1x = (2)f2 22 21( 0)x ya ba b+ = by xa=BFO△ BFC△2 2 17+ 2 2 17− 2 2 13−2 1−a b 3 131 1log log3 3a ba b+ −2( ) ln ( )2af x x x x a= − ∈ R 1 2 0x x ( ) ( )1 2f x f x[1, )+∞ ( ,1]−∞ [ , )e +∞ [1,e]( ) (2 1)exf x x= + (0, (0))f14.如图,二面角 为 135°, , ,过 A,B 分别作 l 的垂线,垂足分别为C,D,若 , , ,则 的长度______.15.过抛物线 的焦点 F 作斜率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 (O 为坐标原点)的面积等于 ,则 ______.16.已知双曲线 的左焦点为 F,过 F 且与 C 的一条渐近线垂直的直线 l 与 C 的右支交于点 P,若 A 为 的中点,且 (O 为坐标原点),则 C 的离心率为______.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 10 分)已 知 函 数 在 区 间 上 不 是 减 函 数 ; ,.(1)若“p 且 q”为真,求实数 a 的最大值;(2)若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)(1)证明: ;(2)证明: ;(3)比较 与 的大小,无需说明理由.19.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 中, , , ,且.lα β− − A α∈ B β∈1AC = 2BD = 2CD = AB2: 2 ( 0)C y px p= OAB△ 5 p =2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = PF32bOA a= −:p 2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ,3]−∞ :q x∃ ∈ R2 4 0x x a− + ≤e 1x x≥ +ln 1x x≤ −1ex− ln( 1)x +1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 4BC BB= = 1 2 5AC AB= =1 60BCC∠ = °(1)求证:平面 平面 ;(2)设二面角 的大小为 ,求 的值.20.(本小题满分 12 分)一机构随机调查了某小区 100 人的月收入情况,将所得数据按 , ,, , , (单位:元)分成六组,并且作出如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数;(2)根据题目分组情况,按分层抽样的方法在 , ,三组中抽取 6 人,再从这 6 人中抽取 2 人,求至少有一人收人在 的概率.21.(本小题满分 12 分)以抛物线 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知 , .(1)求抛物线 C 的方程;(2)过 的直线 l 交抛物线 C 于不同的两点 P,Q,交直线 于点 G(Q 在 之间),直线 交直线 于点 H.是否存在这样的直线 l,使得 (F 为 C 的焦点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分 12 分)1ABC ⊥ 1 1BCC B1C AC B− − θ sinθ[1000,2000) [2000,3000)[3000,4000) [4000,5000) [5000,6000) [6000,7000][1000,2000) [5000,6000) [6000,7000][5000,6000)2: 2 ( 0)C y px p= 4 2AB = 2 5DE =( 1,0)− 4x = − PGQF 1x = − //GH PF已知 , 是椭圆 的左、右焦点,过 的直线 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,R 为 P,Q 的中点,直线 的斜率为-1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 的右焦点 的直线 l 与椭圆 C 分别相交于 A,B 两点,且与圆相交于 G,H 两点,求 的取值范围.皖北名校 2020~2021 学年高二下第一次联考·数学试卷(理科)参考答案、提示及评分细则1.D 全称命题的否定是特称命题, 改成 , 改成 .故选 D.2.A 由 甲 组 数 据 的 众 数 为 16 , 得 , 乙 组 数 据 的 平 均 数 为.3.C , 所 以 , 所 以 , 所 以,所以 .故选 C.4.B 根据题意,得 为以 为斜边的直角三角形,所以 ①,② , 由 得 , 所 以 的 面 积 为.故选 B.5.B 由题意,得 , ,则 ;当 时,.故选 B.6.D 以 , , 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 , , ,显然 平面 ,所以是平面 的一个法向量,所以 与平面 所成角的正弦值为1F 2F ( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 2F 2 3 2 0x y− − =OR2F2 2: 2O x y+ =2AB GH⋅1x∀ ≥ 0 1x∃ ≥ 2 1 0x − 02 1 0x − ≤6x y= =2 2 6 16 21 25126+ + + + + =( ) 2 3 (0) exf x f′ ′= + ⋅ (0) 2 3 (0)f f′ ′= + (0) 1f ′ = −( ) 2 3exf x′ = − (1) 2 3f e′ = −1 2PF F△ 1 2F F2 21 2 100PF PF+ =1 2|| | | || 6PF PF− =2−① ② 1 2 32PF PF⋅ = 1 2PF F△1 21 132 162 2PF PF⋅ = × =40x = 30y = 0.25 30 0.25 40 20k y x= − = − × = 56x =34y =DA DC 1DD1(2, 2, 2)B (1,1,0)M 1 ( 1, 1, 2)B M = − − −DC ⊥ 1 1AA D D(0, 2,0)DC =1 1AA D D 1B M 1 1AA D D,故所求角的余弦值为 .故选 D.7.D 铜片的面积 ,中间方孔的面积为 ,所求概率为 .8.C 程序运行过程如下: , ; , ; ,; , ,跳出循环,输出 v 的值为 16.故选 C.9.B ,由题意知 ,即 ,所以 ,所以 .故选 B.10.A 根据题意作出图象如下:由如图可知点 , .联立 解得 或 所以点 C的坐标为 .因为 , ,所以根据直线截距式方程可得直线 的方程为 ,即 .因为 与 面积相等,所以线段 的中点在直线 上,所以 , ,则该椭圆的离心率 .故选 A.11.B 由 , 得 , 所 以112 662 6DC B MDC B M⋅= =⋅⋅  30622 4S π π= × = 1S = 14π1v = 1k = 1 2 2v = × = 2k = 2 2 2 1 6v = × + × =3k = 6 2 2 2 16v = × + × = 4k =2( ) 3 2f x x ax b′ = + + (1) 0f ′ = 3 2 0a b+ + = 2 3a b+ = −(2) 8 4 2 8 2(2 ) 8 2 ( 3) 2f a b a b= + + = + + = + × − =(0, )B b ( ,0)F c2 22 21,,x ya bby xa+ = =,2,2axby = =,2,2axby = − = −,2 2a b   (0, )B b ( ,0)F c BF1x yc b+ = 0bx cy bc+ − = BFO△ BFC△ OC,2 2 2 2a b   0bx cy bc+ − = 02 2 2 2ab bcbc+ − = ( )2 2 1a = −1 2 2 172 2 1cea+= = =−3 131 1log log3 3a ba b+ − 3 31 1log log3 3a ba b− −,令 ,则 ,因为函数 为上的单调递增函数,所以 ;反之则不然.故选 B.12.A 由题意知函数 在 上单调递增,因为 ,所以转化为在 上恒成立,因为 ,所以 在 上恒成立,即转化 为 , 令 , 则 , 所 以 当 时 ,,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,所以 .故选 A.13. 因为 ,所以切线的斜率为 ,又 ,故所求切线方程是 ,即 .14.3 因 为 , , , 所 以,又 因 为 二 面 角 为 135 ° , 所 以 , 所 以.15.2 抛物线 C 的焦点 ,设直线 l 的方程为 ,代入抛物线 C 方程,得.设 , ,则 , ,所以 的面积为 .解得 .16. 设 C 的右焦点为 ,不妨设直线 l 与渐近线 交于点 B.在直角三角形中,由点到直线的距离,得 ,再结合 ,得 ;由 为 的中3 31 1log log3 3a ba b− − 31( ) log3xf x x= − ( ) ( )f a f b ( )f x (0, )+∞0 a b ( )f x (0, )+∞ ( ) ln 1f x ax x′ = − −( ) 0f x′ ≥ (0, )+∞ (0, )x ∈ +∞ln 1xax+≥ (0, )+∞maxln 1xax+ ≥   ln 1( )xg xx+=2ln( )xg xx′ = − (0,1)x ∈( ) 0g x′ (1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ ( )g x (0,1) (1, )+∞max( ) (1) 1g x g= = 1a ≥3 1 0x y− + = ( ) (2 3)exf x x′ = + (0) 3f ′ = (0) 1f =1 3( 0)y x− = − 3 1 0x y− + =AB AC CD DB= + +   AC CD⊥ CD DB⊥( )2 2 2 2 2 1 4 2 2AB AC CD DB AC CD DB DB AC AC DB= + + = + + + ⋅ = + + + ⋅          lα β− − , 45AC DB = ° 27 2 1 2 32AB = + × × × =,02pF   12 2px y= +2 2 0y py p− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y p+ = 21 2y y p= − OAB△( )2 21 2 1 2 1 21 54 52 2 4 4p py y y y y y p× − = + − = = 2p =132 1Fby xa= − BOFBF b= OF c= OB a= OA PFF△位 线 , 得 , 再 由 双 曲 线 的 定 义 , 得 , 从 而 ,.在直角三角形 中, ,化简,得 ,所以 .17.解:当 p 为真时,函数 在区间 上不是减函数,所以 ,解得 .当 q 为真时,关于 x 的不等式 有解,所以 ,解得 .(1)若“p 且 q”为真,则 且 ,所以 .所以若“p 且 q”为真,实数 a 的最大值是 4.(2)若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,则 p 与 q 一真一假.当 p 真 q 假时, 且 ,解得 ;当 p 假 q 真时, 且 ,解得 .综上,所求实数 a 的取值范围是 .18.证明:(1)令 ,则 .令 得, ,令 得,所以 在 单调递减, 上单调递增..所以 ,即 .1 3 2PF b a= − 3PF b=32bAF =2bAB AF BF= − = ABO2 2232 2b ba a   − = +      32ba=21312bea = + =  2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ,3]−∞( 1) 3a− − 2a −2 4 0x x a− + ≤24 4 0a∆ = − ≥ 4a ≤2a − 4a ≤ 2 4a− ≤2a − 4a 4a 2a ≤ − 4a ≤ 2a ≤ −( , 2] (4, )−∞ − ∪ +∞( ) e ( 1)xf x x= − + ( ) e 1xf x′ = −( ) 0f x′ 0x ( ) 0f x′ 0x ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞0( ) (0) e 1 0f x f≥ = − = e ( 1) 0x x− + ≥所以 .(2)令 ,则 .令 得, ,令 得,所以 在 单调递增, 上单调递减,所以 ,即 ,所以 .(3) .由(1)得 ,所以 (当且仅当 时取等号)①.由(2)得 ,所以 (当且仅当 时取等号) ②因为①式与②式取等号的条件不同,所以 .19.(1)证明:在 中, ,所以 ,即 .因为 , , ,所以 .所以 ,即 .又 ,所以 平面 .又 平面 ,所以平面 平面 .(2)解:由题意知,四边形 为菱形,且 ,则 为正三角形.取 的中点 D,连接 ,则 .以 B 为原点,分别以 , , 的方向为x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 ,则 , , ,, ,e 1x x≥ +( ) ln ( 1)( 0)g x x x x= − − 1( ) 1g xx′ = −( ) 0g x′ 1x ( ) 0g x′ 0 1x ( )g x (0,1) (1, )+∞( ) (1) ln1 (1 1) 0g x g≤ = − − = ln ( 1) 0x x− − ≤ln 1x x≤ −1e ln( 1)x x− +e 1x x≥ + 1e ( 1) 1x x x− ≥ − + = 1x =ln 1x x≤ − ln( 1) ( 1) 1x x x+ ≤ + − = 0x =1e ln( 1)x x− +ABC△ 2 2 220AB BC AC+ = = 90ABC∠ = ° AB BC⊥1BC BB= 1AC AB= AB AB= 1ABC ABB△ ≌△1 90ABB ABC∠ = ∠ = ° 1AB BB⊥1BC BB B∩ = AB ⊥ 1 1BCC BAB ⊂ 1ABC 1ABC ⊥ 1 1BCC B1 1BCC B 1 60BCC∠ = ° 1BCC△1CC BD 1BD CC⊥ BD1BBBAB xyz− (0,0,0)B 1(0, 4,0)B (0,0, 2)A( )2 3, 2,0C − ( )1 2 3,2,0C设平面 的法向量为 ,且 , ,由 得取 ,则 .由四边形 为菱形,得 ;又 平面 ,所以 .又 ,所以 平面 ,所以平面 的法向量为 .所以 .故 .20.解:(1)由频率分布直方图知,中位数在 ,设中位数为 x,则 ,解得 .(2)收入在 , , 这三组的人数分别为 10,15,5,所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别 2,3,1.记收入在 的 2 人分别为 , ,收入在 的 3 人分别为 , , ,收入在 的 1 人为 c,通过列举法可得从这 6 人中抽取 2 人的取法有 , , , ,1 1ACC A ( , , )n x y z= ( )2 3, 2, 2AC = − − ( )1 0,4,0CC =1 0, 0,AC nCC n ⋅ =⋅ =  2 3 2 2 0,4 0,x y zy − − ==1x = ( )1,0, 3n =1 1BCC B 1 1BC B C⊥AB ⊥ 1 1BCC B 1AB B C⊥1AB BC B∩ = 1B C ⊥ 1ABC1ABC ( )1 2 3, 6,0B C = −1112 3 1cos ,44 3 2| |n B Cn B Cn B C⋅= = =×   15sin4θ =[3000,4000)0.0001 1000 0.0002 1000 0.00025 ( 3000) 0.5x× + × + × − =3800x =[1000, 2000) [5000,6000) [6000,7000][1000,2000) 1a 2a [5000,6000) 1b 2b 3b[6000,7000]( )1 2,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )1 3,a b, , , , , , , , ,, ,共 15 种,其中至少有一人收入在 的取法有 , , , ,, , , , , , , ,共 12 种,所以至少有一人收入在 的概率为 .21.解:(1)设圆的方程为 ,, 可 设 , 代 入 得 , , 代 入,得.①,抛物线的准线方程为 ,可设 ,代入 ,得.②解①②得 ( 舍去).抛物线 C 的方程是 .( 2)C 的焦点 的坐标 ,显然直线 l 与坐标轴不垂直,设直线 l 的方程为, , .联立 消去 y 得 .由 ,解得 , 且 .由韦达定理得 , .( )1,a c ( )2 1,a b ( )2 2,a b ( )2 3,a b ( )2 ,a c ( )1 2,b b ( )1 3,b b ( )2 3,b b ( )1,b c( )2 ,b c ( )3 ,b c[5000,6000) ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )1 3,a b ( )2 1,a b( )2 2,a b ( )2 3,a b ( )1 2,b b ( )1 3,b b ( )2 3,b b ( )1,b c ( )2 ,b c ( )3 ,b c[5000,6000)12 415 5=2 2 2x y r+ =4 2AB = ( )0 , 2 2A x 2 2y px= 0 4x p=4,2 2Ap ∴   2 2 2x y r+ =( )2224 2 2 rp + =  2 5DE =2px = − , 52pD −  2 2 2x y r+ =( )22252pr − + =  4p = 4p = −∴ 2 8y x=F (2,0)( 1)( 0)y k x k= + ≠ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y2 8 ,( 1),y xy k x == +( )2 2 2 22 8 0k x k x k+ − + =( )22 42 8 4 0k k∆ = − − 2 2k− 2 2k∴− 0k ≠21 2 28 2kx xk−+ = 1 2 1x x =方法一:直线 的方程为 ,又 ,所以 ,所以 ,, 直线 与直线 的斜率相等.又 , .整理得 ,即 ,化简得 , ,即 .,整理得 ,解得 ,经检验, 符合题意.这样的直线 l 存在,且直线 l 的方程为 或 ,即或 .方法二:, , .整理得 , ,整理得 .QF 22( 2)2yy xx= −−1Hx = − 2232Hyyx−=−2231,2yHx − − − //GH PF ∴ GH PF( 4, 3 )G k− −22 113323 2ykx yx− +−∴ =− −1 21 22 2y ykx x= +− −( ) ( )1 21 21 12 2k x k xkx x+ += +− −1 21 21 112 2x xx x+ += +− −( )( )1 2 1 21 2 1 22 412 4x x x xx x x x− + −=− + + 1 27x x+ =228 27kk−∴ =2 89k =2 23k = ± 2 23k = ±∴ 2 2 ( 1)3y x= + 2 2 ( 1)3y x= − +2 2 2 23 3y x= + 2 2 2 23 3y x= − −//GH PF| | | || | | |PQ QFGQ QH∴ = 1 2 22 224 1x x xx x− −∴ =+ +( )1 2 1 2 8x x x x+ + =228 27kk−∴ =2 89k =解得 ,经检验, 符合题意.这样的直线 l 存在,且直线 l 的方程为 或 ,即或 .22.解:(1)在 中,令 ,得右焦点 的坐标是 ,所以 .①设 , , ,则, , 两 式 相 减 得 ,,,又 的斜率为-1,所以 ,所以 ,所以 .②解①②得所以椭圆 C 的方程为 .(2)①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 ,易求 A,B 的坐标为 , ,G,H 的坐标为 , ,所以 , , .②若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 , , .联立 消去 y 整理得 ,2 23k = ± 2 23k = ±∴ 2 2 ( 1)3y x= + 2 2 ( 1)3y x= − +2 2 2 23 3y x= + 2 2 2 23 3y x= − −2 3 2 0x y− − = 0y = 2F (1,0)2 2 1a b− =( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )0 0,R x y2 21 12 21x ya b+ =2 22 22 21x ya b+ =2 2 2 21 2 1 22 20x x y ya b− −+ =( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 2x x x x y y y ya b+ − + −= −( ) ( )0 1 2 0 1 22 22 2x x x y y ya b− −= − OR 001yx= −21 221 2y y bx x a− =−2223ba=223,2,ab ==2 213 2x y+ =1x =2 31,3    2 31,3 −   (1,1) (1, 1)−4 33AB = 2 4GH = 2 16 33AB GH⋅ =( 1)y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y2 21,3 2( 1),x yy k x+ = = −( )2 2 2 22 3 6 3 6 0k x k x k+ − + − =则 , ,所以.因为圆心 到直线 l 的距离 ,所以 ,所 以.因为 ,所以 .综上, 的取值范围是 .21 2 262 3kx xk+ =+21 2 23 62 3kx xk−=+( )( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x = + − = + + − ( ) ( ) ( )2 2 2222 2 24 3 6 4 3 1612 3 2 3 2 3k kkkk k k − +  = + − = + + +   (0,0)O2| |1kdk=+( )2222 24 2| | 4 21 1kkGHk k+ = − = + + ( ) ( ) ( )2 2 2 222 2 22 244 3 1 4 2 16 3 2 16 3 2 16 3 3| | | | 12 22 3 1 2 3 3 33 3k k k kAB GHk k k k k + + +  +⋅ = ⋅ = = ⋅ = + + + +  + + 2 [0, )k ∈ +∞ 2 16 3| | | | ,16 33AB GH ⋅ ∈  2| | | |AB GH⋅ 16 3 ,16 33   

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