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2020-2021学年高二数学下学期第一次大练习试题(Word版附答案)

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2020-2021 学年度高二第二学期第一次大练习数学时量:60 分钟 满分:100 分命题人:高二数学备课组得分:______一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.)1.设集合 ,则 ( )A. B. C. D.2.已知圆锥的底面直径与高都是 4,则该圆锥的侧面积为( )A. B. C. D.83.某班有 50 名学生,将其随机编为 1,2,3,…,50,并按编号从小到大平均分成 5 组,现从该班抽取 5 名学生进行某项调查,若用系统抽样方法,从第一组抽取学生的号码为 5,则抽取 5 名学生的号码的是( )A.5,15,25,35,45 B.5,10,20,30,40 C.5,8,13,23,43 D.5,15,26,36,464.能够把圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 的“等分函数”,下列函数不是圆 的“等分函数”的是( )A. B. C. D.5.如图,在平行四边形 中, 分别为 上的点,且 ,连接交于 点,若 ,则 的值为( )A. B. C. D.6.人们通常以分贝(符号是 )为单位来表示声音强度的等级,强度为 的声音对应的等级为{ 1 1}, { 0 2}M x x N x x= − = „ M N∪ ={ 1 2}x x− { 0 1}x x „ { 0 1}x x { 1 0}x x− 4π 4 3π 4 5π2 2: 9O x y+ = OO( ) sinf x x= e e( )2x xf x−+=1( ) ln1xf xx−=+( ) tan5xf x =ABCD M N、 AB AD、4 2,5 3AM AB AN AD= =   AC MN、 P AP ACλ= λ3537411413dB x.喷气式飞机起飞时,声音约为 ,一般说话时,声音约为 ,则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的( )倍.A. B. C.8 D.7.已知两个正数 满足 ,则 的最小值是( )A.23 B.24 C.25 D.268.2020 年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城,团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.折线图展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况,根据该折线图,下列结论正确的是( )A.16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大B.16 天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于 2000D.19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和9.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步,问其内切圆的直径是多少?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是( )A. B. C. D.10.方程 的两根分别在 与 内,则实数 的取值范围为( )2( ) 10lg (dB)10xf x −= 140dB 60dB737310 810,a b 3 2 1a b+ = 3 2a b+320π 310π4π 25π2 2 1 0x ax− + = (0,1) (1,3) aA. B. 或 C. D.二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的橫线上.)11.已知 和 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出的是______.① ,且 ;② ,且 ;③ ,且 ;④ ,且 .12.若正数 满足 ,则 的最小值是________.13.若 ,则 的值为_________.14.已知 是等腰直角三角形 斜边 的高,将三角形 沿 翻折成直二面角 ,此时, _________.15.若数列 的首项 ,且满足 ,则数列 的前 5 项和为_________.三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)16.(本题 6 分)若 的面积为 ,且 为锐角.(1)求 的值;(2)求 的值.17.(本题 8 分)如图,长方体 中, ,点 为 的中点.513a 1a 53a 513a− 5 13a− −m n α βm β⊥α β⊥ m α⊂ / /m n n β⊥α β⊥ / /m α m n⊥ / /n β,x y 2 3 1 0x xy+ − = x y+tan 2α = sin cossin cosα αα α−+AD ABC BC ABD AD B AD C− −BAC∠ ={ }na 1 1a = 1 2 1n na a+ = + { }naABCV2, 1, 62b c= = Acos AsinsinAC1 1 1 1ABCD A B C D− 11, 2AB AD AA= = = P 1DD(1)求证:直线 平面 ;(2)求点 到平面 的距离.18.(本题 8 分)在数列 中, .(1)求证:数列 是等差数列;(2)求数列 的前 项和 .19.(本题 8 分)某 牌手机专卖店对某市市民进行 牌手机认可度的调查,在已购买 牌手机的 1000 名市民中,随机抽取 100 名按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:分组(岁) 频数53510合计 1001 / /BD PACD PAC{ }na ( )2 *1 14, ( 1) 2 2n na na n a n n n+= − + = + ∈ Nnan   1na   n nSHW HW HW[25,30)[30,35) x[35,40)[40,45) y[45,50](1)求频数分布表中 的值,并补全频率分布直方图;(2)在抽取的这 100 名市民中,从年龄在 、 内的市民中用分层抽样的方法抽取 5 人参加牌手机宣传活动,现从这 5 人中随机选取 2 人各赠送一部 牌手机,求这 2 人中恰有 1 人的年龄在内的概率.20.(本题 10 分)在平面直角坐标系 中, 是圆 上一点.(1)设圆 与 轴相切,与圆 外切,且圆心 在直线 上.求圆 的标准方程.(2)设平行于 的直线 与圆 相交于 两点,且 .求直线 的方程.(3)设点 ,且存在圆 上的两点 和 ,使得 .求实数 的取值范围. 2020-2021 学年度高二第二学期第一次大练习数学参考答案一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.)1.A2.C 【解析】如图所示,圆锥的底面直径 ,高 ,则母线长为 ,所以该圆锥的侧面积为 .,x y[25,30) [30,35)HW HW[30,35)xOy (2, 4)A 2 2: 12 14 60 0M x y x y+ − − + =N x M N 6x = NOA l M ,B C BC OA= l( ,0)T t M P Q TA TP TQ+ =  t2 4, 2r r= = 4h = 2 22 4 2 5l = + =2 2 5 4 5rlπ π π= × × =3.A4.B 【解析】奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 轴对称,故选项中的奇函数是“等分函数”,偶函数不是“等分函数”.对于 A 选项, ,为奇函数,对于 B 选项,,为偶函数,对于 C 选项,由 解得函数的定义域为 ,且为奇函数.对于 D 选项, ,为奇函数.5.C 【解析】三点共线. .6.D 【解析】因为 ,所以当 时,可得 ,即 ;当时,可得 ,即 ,所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍.7.C 【解析】根据题意,正数 满足 ,则 ,当且仅当 ,即 时,取到等号,即 的最小值是 25.y( ) sin( ) sin ( )f x x x f x− = − = − = −e e( ) ( )2x xf x f x− +− = =101xx− +( 1,1)−11 1( ) ln ln ( )1 1x xf x f xx x−+ − − = = = − − + ( ) tan tan5 5x xf x − = − = −  4 2 5 3, , ( )5 3 4 2AM AB AN AD AP AC AB AD AM ANλ λ λ  = = ∴ = = + = +           5 3,4 2AM AN M N Pλ λ= +  、 、5 3 41,4 2 11λ λ λ∴ + = ∴ =2( ) 10lg10xy f x −= = 140y = 210lg 14010x− =1210x = 60y =210lg 6010x− =410x =1284101010=,a b 3 2 1a b+ =3 2 3 2 6 6 6 6(3 2 ) 13 13 2 25a b a ba ba b a b b a b a   + = + + = + + + × =      …6 6a bb a= 15a b= = 3 2a b+8.C 【解析】由图可知,16 天中毎日新增确诊病例数量呈波动下降趋势且 19 日的降幅最大,A 错误;16天中毎日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数,B 错误;l6 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000,C 正确;显然 20 日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,D错误.9.A 【解析】由三角形两直角边长分别为 ,得斜边 ,所以内切圆半径,则落在其内切圆内的概率: .10.A 【解析】令 ,由方程 的两根分别在 与 内,得 ,即 ,解得 .二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.)1.② 【解析】① ,且 或 ,或 与 相交,故不成立;② ,且 ,故成立;③ ,且 ,或 或 与 相交,故不成立;④ ,且 ,知 不成立.12. 【解析】由 ,可得 .又 ,所以 (当且仅当 时等号成立).13. 【解析】 .14. 【解析】翻折后,原三角形的三个顶点构成等边三角形.15.57 【解析】由 ,得 ,故 是首项为 ,公比为 2 的等比数列,故 ,故 ,所以数列 的前 58, 15a b= = 2 28 15 17c = + =8 15 1732 2a b cr+ − + −= = =23 31 208 152Pπ π×= =× ×2( ) 2 1f x x ax= − + 2 2 1 0x ax− + = (0,1) (1,3)(0) 0(1) 0(3) 0fff  1 02 2 010 6 0aa −  − 513a α β⊥ m mα β⊂ ⇒ ⊂ / /m β m β/ /m n n mβ β⊥ ⇒ ⊥α β⊥ / /m mα β⇒ ⊂ / /m β m βm n⊥ / /n β m β⊥2 232 3 1 0x xy+ − =1 13y xx = −  0x 2 1 2 2 223 3 9 3xx yx+ = + =… 22x =13sin cos tan 1 1tan 2,sin cos tan 1 3α α ααα α α− −= ∴ = =+ +60°1 2 1n na a+ = + ( )1 1 2 1n na a+ + = +{ }1na + 1 1 2a + = 1 2nna + = 2 1nna = − { }na项和为 .三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)16.【解析】(1)因为 的面积为 ,所以 ,所以 . 2 分因为在 中 为锐角,所以 . 3 分(2)在 中,由余弦定理得,, 4 分所以 .由正孩定理可得 . 6 分17.【解析】(1)证明:连接 ,设 ,连接 . 1 分因为在 中, 分别为 的中点,所以 . 3 分又因为 平面 且 平面 ,所以 平面 . 4 分(2) .法一(直接法):因为 ,且 , 平面 ,所以 平( )5 62 1 2 5 2 7 571 2−− = − =−ABCV221 1 2sin 1 6 sin2 2 2ABCS bc A A= = × × × =V3sin3A =ABCV A 26cos 1 sin3A A= − =ABCV2 2 2 2 2 62 cos 1 ( 6) 2 1 6 33a b c bc A= + − = + − × × × =3a =sin 2sin 2A aC c= =BD BD AC O∩ = OP1BDDV O P、 1BD DD、1/ /OP BDOP ⊂ PAC 1BD ⊂/ PAC1 / /BD PAC33,AC DO AC PD⊥ ⊥ DO PD D∩ = ,DO PD ⊂ PDO AC ⊥面 , 5 分又 平面 ,所以平面 平面 . 6 分因为平面 平面 ,过 作 ,则 平面 . 7 分在 中, ,由等面积法可知, ,即点 到平面的距离为 . 8 分法二(等体积法):设点 到平面 的距离为 .因为 ,且 ,所以 . 6 分又 ,所以 , 7 分所以 ,即点 到平面 的距离为 . 8 分法三(向量法):略.18.【解析】(1)证明:由已知 的两边同时除以 ,得, 2 分PDOAC ⊂ PAC PDO ⊥ PACPDO ∩ PAC OP= D DQ OP⊥DQ ⊥ PACPDOV2 61, ,2 2PD OD PO= = = 33PD DODQPO×= = DPAC33D PAC hD PAC P DCAV V− −=1 13 6P DCA DCAV PD S− = × × =V1 13 6D PAC PACV h S− = × × =V2PC PA AC= = = 23 3( 2)4 2PACS = × =V33h = D PAC 3321 ( 1) 2 2n nna n a n n+ − + = + ( 1)n n +( )*1 21n na a nn n+ − = ∈+N且当 时, ,所以数列 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. 4 分(2)由(1),得 ,所以 , 5 分故 , 6 分所以. 8 分19.【解析】(1)由频数分布表和频率分布直方图可知, ,解得. 2 分频率分布直方图中年龄在 内的人数为 30,对应的 为 , 3 分所以补全的频率分布直方图如右图: 4 分(2)由频数分布表知,在抽取的 5 人中,年龄在 内的市民的人数为 ,记为 ,年龄在内的市民的人数为 ,分别记为 . 5 分从这 5 人中任取 2 人的所有基本事件为:,共 10个. 6 分记“恰有 1 人的年龄在 内”为事件 ,则 所包含的基本事件有 4 个:,所以这 2 人中恰有 1 人的年龄在 内的概率为1n = 1 41a =nan   2 2nann= + 22 2na n n= +21 1 1 ( 1) 1 1 12 2 2 ( 1) 2 1nn na n n n n n n+ −  = = ⋅ = ⋅ − + + + 1 1 1 1 1 112 2 2 3 1nSn n      = − + − + + −      +      ( )*1 11 ,2 1 2( 1)nnn n = − = ∈ + + N5 35 10 1000.04 5 100x yx+ + + + = × × =20, 30x y= =[40,45)频率组距0.30.065=[25,30)55 125× = 1A[30,35)205 425× = 1 2 3 4, , ,B B B B{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B[30,35) M M{ } { } { } { }1 1 1 2 1 3 1 4, , , , , , ,A B A B A B A B [30,35). 8 分20.【解析】圆 的标准方程为 ,∴圆心 .(1)由圆心在直线 上,可设 .∴圆 与 轴相切,与圆 外切, .∴圆 的半径为 . .解得 .∴圆 的标准方程为 . 2 分(2)∵直线 与 平行,∴直线 的斜率为 .设直线 的方程为 ,即 , 3 分则圆心 到直线 的距离 . 4 分,.解得 或 . 5 分故直线 的方程为 或 . 6 分4 2( )10 5P M = =M 2 2( 6) ( 7) 25x y− + − =(6,7), 5M r =6x = ( )06,N yN x M 00 7y∴ N 0y 0 07 5y y∴ − = + 0 1y =N 2 2( 6) ( 1) 1x y− + − =l OA l4 022 0− =−l 2y x m= + 2 0x y m− + =M l| 2 6 7 | | 5 |5 5m md× − + += =22 2 2 22 4 2 5,2BCBC OA MC d = = + = = +   2( 5)25 55m +∴ = + 5m = 15m = −l 2 5 0x y− + = 2 15 0x y− − =(3)设 ,由 ,得,即点 既在圆 上,也在圆上. 7 分∴这两个圆有公共点.,解得 . 10 分( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y TA TP TQ+ =  2 12 12 ,4.x x ty y= + − = +( ) ( )2 21 14 3 25x t y∴ − − + − = P 2 2[ ( 4)] ( 3) 25x t y− + + − =2 2( 6) ( 7) 25x y− + − =2 25 5 [( 4) 6] (3 7) 5 5t∴ − + − + − +„ „[2 2 21,2 2 21]t ∈ − +

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