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人教版高二下学期数学选修1-1综合质量评估(含答案)

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时间:2021-02-27

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综合质量评估第一至第三章(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x3”是“不等式 x2-2x0”的 (  )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选 A.解不等式 x2-2x0 得 x0 或 x2,故“x3”是“不等式 x2-2x0”的充分不必要条件.2.命题:“∀x∈R,都有 x2-x+10”的否定是 (  )A.∀x∈R,都有 x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使 -x0+10C.∃x0∈R,使 -x0+1≤0D.∃x0∈R,使 x2-x0+10【解析】选 C.全称命题的否定是特称命题.3.函数 y=f(x)的图象如图 1所示,则 y=f′(x)的图象可能是 (  )【解析】选 D.由函数 y=f(x)的图象可知当 x0 时,函数单调递增,故 f′(x)0,当 x0时,函数单调递减,故 f′(x)0.4.若函数 f(x)=x3+ax2+3x-9在 x=-1时取得极值,则 a等于 (  )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知 f′(-1)=0,解得 a=3.5.设曲线 y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0平行,则 a的值为 (  )A.1 B. C.- D.-1【解析】选 A.y′=2ax,于是曲线 y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为 2a,由题意得2a=2,解得 a=1.6.已知点 P 是双曲线 - =1(a0)上一点 ,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于 (  )A.7 B.6 C.5 D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出 a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选 A.由双曲线方程得渐近线方程为 3x±ay=0,则 a=2,双曲线中 c= ,b=3,由|PF1|=3知 P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 (  )A. B. C. D.【解析】选 B.由题意知 = ,得 a2=4b2,又 ab0,所以 a=2b.所以双曲线的离心率 e= = = .【补偿训练】设双曲线 - =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 (  )A. B.5 C. D.【解析】选 D.设双曲线的渐近线方程为 y=kx,这条直线与抛物线 y=x2+1相切,联立方程得 整理得 x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得 k=±2,即 =2,故双曲线的离心率 e= = = = .8.设函数 f(x)= x2-9lnx 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (  )A.(1,2] B.[4,+∞)C.(-∞,2] D.(0,3]【解析】选 A.f′(x)=x- = (x0),令 f′(x)≤0得 0x≤3.所以 f(x)在(0,3]上单调递减,所以 解得 1a≤2.9.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 (  )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1【解析】选 B.因为双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,所以 F(-6,0)是双曲线的左焦点,即 a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y= x,所以 = ,解得 a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为 - =1.10.抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外接圆与抛物线 C的准线相切,且该圆的面积为 36π,则 p的值为 (  )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选 D.因为△OFM的外接圆与抛物线 C:y2=2px(p0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为 36π,所以圆的半径为 6,又因为圆心在 OF的垂直平分线上,|OF|= ,所以 + =6,p=8.11.已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx+c 在 x1处取得极大值,在 x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则 的取值范围是 (  )A.(0,2) B.(1,3)C.[0,3] D.[1,3]【解析】选 B.因为 f(x)= x3+ ax2+bx+c,所以 f′(x)=x2+ax+b.因为函数 f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以 f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)0,f′(-1)0,f′(1)0,即在 aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2× ,令 m= ,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得 0 1,则 1 3,所以 的取值范围是(1,3).12.若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线 -y2=1(a0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 · 的取值范围为 (  )A.[3-2 ,+∞) B.[3+2 ,+∞)C. D.【解析】选 B.因为 F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方程为 -y2=1,设点 P(x0,y0)(x0≥ ),则有 - =1(x0≥ ),解得 = -1(x0≥ ),因为 =(x0+2,y0), =(x0,y0),所以 · =x0(x0+2)+ =x0(x0+2)+-1= +2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=- ,因为 x0≥ ,所以当x0= 时, · 取得最小值 ×3+2 -1=3+2 ,故 · 的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数 f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是       .【解析】因为 f′(x)= ,所以 f′(e)= ,又 f(e)=1,所以切线方程为 y-1= (x-e),即 y= x.答案:y= x14.若命题“∃x0∈R,a +x0+10”是假命题,则 a的取值范围是    .【解析】因为∃x0∈R,a +x0+10是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当 a=0时,1≥0,命题成立.当 a≠0时,即所以 a≥ ,所以 a的取值范围为 a≥ 或 a=0.答案:a≥ 或 a=015.若直线 y=kx是 y=f(x)=lnx的一条切线,则 k=    .【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为 y=lnx,所以 y′= .所以 f′(x0)= =k.因为点(x0,y0)既在直线 y=kx上,也在曲线 y=lnx上,所以把 k= 代入①式得 y0=1,再把 y0=1代入②式求出 x0=e.所以 k= = .答案:16.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( ,0),则 a=    ,b=    .【解题指南】焦点在 x轴的双曲线的渐近线为 y=± x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程 y=-2x,所以 =2①.焦点( ,0),所以 c= .所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得 a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 x∈R 恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若 p或 q为真,p且 q为假,求实数 a的取值范围.【解析】设 g(x)=x2+2ax+4,若 p真,由于关于 x的不等式 x2+2ax+40对一切 x∈R恒成立,所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x轴没有交点,故Δ=4a2-160,所以-2a2.若 q真,即函数 f(x)=(3-2a)x是增函数,则 3-2a1,所以 a1.又由于 p或 q为真,p且 q为假,所以 p和 q一真一假,(1)若 p真 q假,则所以 1≤a2.(2)若 p假 q真,则所以 a≤-2.综上可知,所求实数 a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知 p:f(x)=x+ 在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在 R上有极值.若“p∨q”为真,求实数 a的取值范围.【解析】若 p真,f′(x)=1- .因为 f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数,则 f′(x)=1- ≥0在[1,+∞)上恒成立,即 a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以 a≤(x2)min,所以 a≤1.p:A={a|a≤1}.若 q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得 f(x)=x3+ax2+3x+1在 R上有极值,则 f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×30,解得 a-3或 a3.q:B={a|a-3或 a3}.因为“p∨q”为真,所以 A∪B={a|a≤1或 a3}.所以所求实数 a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c.(1)若 f(x)的图象有与 x轴平行的切线,求 b的取值范围.(2)若 f(x)在 x=1处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)c2恒成立,求 c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与 x轴平行的切线,则 f′(x)=0有实数解.即方程 3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得 b≤ .(2)由题意,得 x=1是方程 3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为 x0,则解得所以 f(x)=x3- x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当 x∈ 时,f′(x)0;当 x∈(1,2]∪ 时,f′(x)0.所以当 x=- 时,f(x)有极大值 +c,又 f(-1)= +c,f(2)=2+c,所以当 x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为 f(2)=2+c.因为当 x∈[-1,2]时,f(x)c2恒成立.所以 c22+c,解得 c-1或 c2,所以 c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为 F1(- ,0),F2( ,0),离心率 e= .(1)求此椭圆的方程.(2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(ab0),则 c= , = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为 +y2=1.(2)由 消去 y,得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)0,得 m25(*).设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,y1-y2=x1-x2,|PQ|== =2.解得 m2= ,满足(*),所以 m=± .20.(12分)已知函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b(a0).(1)当 f(x)的极小值为- ,极大值为-1时,求函数 f(x)的解析式.(2)若 f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令 f′(x)≥0,得 a≤x≤3a,令 f′(x)≤0,得 x≥3a或 x≤a,所以 f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以 f(x)在 x=a处取得极小值,在 x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=- x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知 f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使 f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数 a的取值范围为 .21.(12 分)如图,已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与 x轴的交点.(1)若 · =1,求直线 l 的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得 F(1,0),T(-1,0),当直线 l 与 x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时 · =(2,2)·(2,-2)=0,这与 · =1矛盾.故直线 l 与 x轴不垂直.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=k(x-1). ①将①代入 y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以 x1+x2= ,x1x2=1.所以 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以 · =(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1+ +1-4= =1.解得 k=±2.(2)因为 y10,所以 tan∠ATF= = = ≤1.当且仅当 y1=即 y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为 .22.(12分)已知函数 f(x)=- x3+ x2-2x(a∈R).(1)当 a=3时,求函数 f(x)的单调区间.(2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)2(a-1)成立,求实数 a的取值范围.【解析】(1)当 a=3时,函数 f(x)=- x3+ x2-2x,得 f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当 1x2时,f′(x)0,函数 f(x)单调递增;当 x1或 x2时,f′(x)0,函数 f(x)单调递减;所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由 f(x)=- x3+ x2-2x,得 f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)max2(a-1).因为 f′(x)=- + -2,其图象开口向下,对称轴为 x= .①当 ≤1即 a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以 f′(x)max=f′(1)=a-3,由 a-32(a-1),得 a-1,此时-1a≤2.②当 1即 a2时,f′(x)在 上单调减增,在 上单调递减,所以 f′(x)max=f′ = -2,由 -22(a-1),得 0a8,此时 2a8,综上可得,实数 a的取值范围为(-1,8).

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