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人教版高二下学期数学选修1-1单元质量评估(三)(含答案)

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时间:2021-02-27

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单元质量评估(三)第三章(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数 y=lgx的导数为 (  )A. B. ln10C. D.【解析】选 C.因为(logax)′= ,所以(lgx)′= .2.已知 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为 (  )A.1-cos1 B.1+cos1C.-1+cos1 D.-1-cos1【解析】选 B.f′(x)=cosx+ ,f′(1)=cos1+1.3.设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调递增区间是 (  )A. B.C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪【解析】选 A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,由 f′(x)0得 0x .4.已知物体的运动方程是 s= t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是 (  )A.0秒、2秒或 6秒 B.2秒或 16秒C.2秒、8秒或 16秒 D.2秒或 6秒【解析】选 D.s′=t2-8t+12=0,解得 t=2或 t=6.5.函数 y=2x3-2x2在[-1,2]上的最大值为 (  )A.-5 B.0 C.-1 D.8【解析】选 D.y′=6x2-4x=2x(3x-2),列表:x -1 (-1,0) 0 2y′ + - +y -4 ↗ 0 ↘ - ↗ 8所以 ymax=8.6.曲线 y=3lnx+x+2在点 P0处的切线方程为 4x-y-1=0,则点 P0的坐标是 (  )A.(0,1) B.(1,-1)C.(1,3) D.(1,0)【解析】选 C.f′(x)= +1.设 P0(x0,y0),则 +1=4,解得 x0=1.因为(x0,y0)在直线 4x-y-1=0上,所以 y0=3.所以点 P0的坐标为(1,3).7.若 x=1是函数 f(x)=(ax-2)·ex的一个极值点,则 a的值为 (  )A.1 B.2 C.e D.5【解析】选 A.因为 f′(x)=aex+(ax-2)ex,所以 f′(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把 a=1代入函数得:f(x)=(x-2)·ex,所以 f′(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),所以 f′(1)=0,且 x1时,f′(x)0,x1时,f′(x)0.故 a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π且用料最省,则圆柱的底面半径为 (  )A.5 B.6 C.3 D.2【解析】选 C.设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l,则 V=πR2l=27π,所以 l= .要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而 S 表=πR2+2πRl=πR2+ ,令 S 表′=2πR- =0,解得 R=3,即当 R=3时,S 表最小.9.函数 f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数 b的取值范围是 (  )A.(0,1) B.(-∞,1)C.(0,+∞) D.【解析】选 D.f′(x)=3x2-6b,因为 f(x)在(0,1)内有极小值,所以 f′(x)=0在 x∈(0,1)有解.所以所以 0b .10.设 ab,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是 (  )【解析】选 C.y′=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)·(3x-a-2b),由 y′=0 得 x=a 或x= .因为 ab,所以 a ,所以当 x=a 时,y 取极大值 0;当 x= 时,y 取极小值且极小值为负.11.已知 a0,函数 f(x)=ax3+ lnx,且 f′(1)的最小值是-12,则实数 a 的值为 (  )A.2 B.-2 C.4 D.-4【解析】选 B.f′(x)=3ax2+ ,所以 f′(1)=3a+ ≥-12,即 a+ ≥-4,又 a0,有a+ ≤-4.故 a+ =-4,此时 a=-2.12.若函数 f(x)=x- sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是(  )A.[-1,1] B.C. D.【解析】选 C.方法一:用特殊值法:取 a=-1,f(x)=x- sin2x-sinx,f′(x)=1- cos2x-cosx,但 f′(0)=1- -1=- 0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除 A,B,D.方法二:f′(x)=1- cos2x+acosx≥0对 x∈R恒成立,故 1- (2cos2x-1)+acosx≥0,即 acosx- cos2x+ ≥0恒成立,令 t=cosx,所以- t2+at+ ≥0对 t∈[-1,1]恒成立,构造函数 f(t)=- t2+at+ ,开口向下的二次函数 f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需 解得- ≤a≤ .二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为      .【解析】y′=3lnx+1+x· =3lnx+4,所以 y′|x=1=3ln1+4=4.又 f(1)=1×(3ln1+1)=1,所以所求的切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.答案:4x-y-3=014.已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0,则 a=    ,b=    .【解析】f′(x)= - .由于直线 x+2y-3=0的斜率为- ,且过点(1,1).故 即解得 a=1,b=1.答案:1 115.函数 y=x+2cosx- 在区间 上的最大值是    .【解析】y′=1-2sinx=0,在区间 上解得 x= ,故 y=x+2cosx- 在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,所以 x=时,y= ,而 x=0时,y=2- ,x= 时 y= - ,且 2- - ,故函数 y=x+2cosx-在区间 上的最大值是 .答案:【补偿训练】曲线 y= x3-2以点 为切点的切线的倾斜角为    .【解析】y′=x2,当 x=1时,y′=1,从而切线的倾斜角为 45°.答案:45°16.设 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)m 恒成立,则实数 m 的取值范围是    .【解析】f′(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令 f′(x)=0,得 x=1或 x=- .f(x)极小值=f(1)=1- -2+5= ,f(x)极大值=f=- - + +5=5 .又 f(-1)=-1- +2+5= ,f(2)=8-2-4+5=7,比较可得 f(x)max=f(2)=7.因为 f(x)m对 x∈[-1,2]恒成立.所以 m7.答案:(7,+∞)三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a的值.(2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1,所以 a=9.(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)0,所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.【补偿训练】已知函数 f(x)= ax2+2x-lnx.(1)当 a=0时,求 f(x)的极值.(2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).因为 f(x)= ax2+2x-lnx,当 a=0时,f(x)=2x-lnx,则 f′(x)=2- ,令 f′(x)=0得 x= ,所以当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表xf′(x) - 0 +f(x) ↘ 极小值 ↗所以当 x= 时,f(x)的极小值为 1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)= ax2+2x-lnx,且 x0,则f′(x)=ax+2- = .若 a=0,由 f′(x)0得 x ,显然不合题意;若 a≠0,因为函数 f(x)在区间 上是增函数,所以 f′(x)≥0对 x∈ 恒成立,即不等式 ax2+2x-1≥0对 x∈ 恒成立,即 a≥ = - = -1恒成立,故 a≥ .而当 x= 时,函数 -1的最大值为 3,所以实数 a的取值范围为 a≥3.18.(12分)已知函数 f(x)=x3+x-16.(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)因为 f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13.所以切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),即 y=13x-32.(2)因为切线与直线 y=- +3垂直,所以切线的斜率 k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3 +1=4,所以 x0=±1,所以 或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为 y=4(x-1)-14或 y=4(x+1)-18.即 y=4x-18或 y=4x-14.19.(12分)已知函数 f(x)=lnx- ax2-2x.(1)若函数 f(x)在 x=2处取得极值,求实数 a的值.(2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求 a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=- (x0),因为 x=2时,f(x)取得极值,所以 f′(2)=0,解之得 a=- ,经检验符合题意.(2)由题意知 f′(x)≥0在 x0时恒成立,即 ax2+2x-1≤0在 x0时恒成立,则 a≤ = -1在 x0时恒成立,即 a≤ (x0),当 x=1时, -1取得最小值-1.所以 a的取值范围是(-∞,-1].20.(12 分)某 5A 级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y万元与投入 x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数,当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=50 万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求 f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)【解析】(1)由条件可得解得 a=- ,b=1.则 f(x)=- + x-ln (x≥10).(2)由 T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10),则 T′(x)=- + - =- ,令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50,当 x∈(10,50)时,T′(x)0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数;当 x50时,T′(x)0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数,故 x=50为 T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为 24.4万元.即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4万元.21.(12分)已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设 a=1,求函数 f(x)的极值.(2)若 a ,且当 x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a恒成立,试确定 a的取值范围.【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=x3-3x2-9x+1 且 f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)=0 得x=-1或 x=3.当 x-1时,f′(x)0,当-1x3时,f′(x)0,因此 x=-1是函数 f(x)的极大值点,极大值为 f(-1)=6;当-1x3时 f′(x)0,当 x3时 f′(x)0,因此 x=3是函数的极小值点,极小值为 f(3)=-26.(2)因为 f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a ,所以当 1≤x3a时,f′(x)0;当 3ax≤4a时,f′(x)0.所以 x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为 f(3a)=-26a3.由 f(x)≥a3-12a在[1,4a]上恒成立得-26a3≥a3-12a.解得 a≤- 或 0≤a≤ .又 a ,所以 a≤ .即 a的取值范围为 .22.(12分)奇函数 f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点 A(- , ),B(2 ,10 ).(1)求 f(x)的表达式.(2)求 f(x)的单调区间.(3)若方程 f(x)+m=0有三个不同的实数根,求 m的取值范围.【解析】(1)因为 f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,所以 f(-x)=-f(x)(x∈R).所以 b=0.所以 f(x)=ax3+cx.因为图象过点 A(- , ),B(2 ,10 ),所以即所以所以 f(x)=x3-3x.(2)因为 f(x)=x3-3x,所以 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),所以当-1x1时,f′(x)0;当 x-1或 x1时,f′(x)0,所以 f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1).(3)因为 f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程 f(x)+m=0,即 f(x)=-m有三个不等实数根,则-2-m2,即-2m2,所以 m的取值范围是(-2,2).

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