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人教版高二下学期数学选修1-1单元质量评估(二)(含答案)

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时间:2021-02-27

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单元质量评估(二)第二章(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆 + =1与双曲线 - =1有相同的焦点,则 k应满足的条件是 (  )A.k3 B.2k3C.k=2 D.0k2【解析】选 C. k0, = ,所以 k=2.2.若双曲线的顶点为椭圆 x2+ =1 长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为 1,则双曲线的方程为 (  )A.x2-y2=1 B.y2-x2=1C.x2-y2=2 D.y2-x2=2【解析】选 D.由题意设双曲线方程为 - =1,离心率为 e,椭圆 x2+ =1 长轴端点为(0, ),所以 a= ,又椭圆的离心率为 ,所以双曲线的离心率为 ,所以c=2,b= ,则双曲线的方程为 y2-x2=2.3.已知椭圆 C1: +y2=1(m1)与双曲线 C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则 (  )A.mn且 e1e21 B.mn且 e1e21C.mn且 e1e21 D.mn且 e1e21【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意 a2,b2与 c2的关系.【解析】选 A.由题意知 m2-1=n2+1,即 m2=n2+2,(e1e2)2= · =,因为 m2=n2+2,m1,n0,所以 mn,(e1e2)21,所以 e1e21.4.设椭圆 + =1(m0,n0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为 (  )A. + =1 B. + =1C. + =1 D. + =1【解析】选 B.因为 y2=8x的焦点为(2,0),所以 + =1的右焦点为(2,0),所以 mn且 c=2.又 e= = ,所以 m=4.因为 c2=m2-n2=4,所以 n2=12.所以椭圆方程为 + =1.【补偿训练】已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( ,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N两点,MN中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是 (  )A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程 - =1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及 MN 中点的横坐标建立 a,b 的一个方程,又双曲线中有 c2=a2+b2,则另得 a,b 的一个方程,最后解 a,b 的方程组即得双曲线方程.【解析】选 B.设双曲线方程为 - =1,将 y=x-1代入 - =1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得 x1+x2= ,则 = =- .又 c2=a2+b2=7,解得 a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为 - =1.5.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 + =1 上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是 (  )A.1 B.a2 C.b2 D.c2【解析】选 D.由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤ =a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.6.已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p0)的准线分别交于 A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB的面积为 ,则 p= (  )A.1 B.C.2 D.3【解析】选 C.因为 e=2,所以 b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为 y=± x,不妨设 A= ,B ,则 AB= p,又三角形的高为 ,则 S△AOB= × ×p= ,即 p2=4,又因为 p0,所以 p=2.7.已知点 P 是抛物线 y2=-8x 上一点,设点 P 到此抛物线准线的距离是 d1,到直线x+y-10=0的距离是 d2,则 d1+d2的最小值是 (  )A. B.2C.6 D.3【 解 析 】 选 C. 抛 物 线 y2=-8x 的 焦 点 F(-2,0), 根 据 抛 物 线 的 定 义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点 F 向直线 x+y-10=0 作垂线与抛物线的交点为 P时,d1+d2取到最小值,即 =6 .8.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k等于 (  )A.2或-1 B.-1C.2 D.1±【解析】选 C.由 消去 y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)0,解得 k-1,由 x1+x2= =4,解得 k=-1或 k=2,又因为 k-1,故 k=2.【易错警示】本题易忽略Δ0而错选 A.9.设双曲线 - =1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线的渐近线方程为 (  )A.y=± x B.y=± xC.y=± x D.y=±2x【解析】选 A.由题意得 解得所以 a= = ,因此双曲线的方程为 -y2=1,所以渐近线方程为 y=± x.10.已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E的离心率的取值范围是 (  )A. B.C. D.【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2,连接 AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形 AFBF2为平行四边形,所以 + =+ =2a=4,所以 a=2,设 M(0,b),所以 d= b≥ ⇒b≥1,所以 e= =≤ = ,又 e∈(0,1),所以 e∈ .11.已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A,B两点.若 AB的中点坐标为(1,-1),则 E的标准方程为 (  )A. + =1 B. + =1C. + =1 D. + =1【解析】选 D.设 A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以 两式相减得, = ,即 = ,因为 x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 k= = ,又因为 k= = ,所以 = ,又因为 c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以 b2=9,a2=18,即 E的标准方程为 + =1.12.设抛物线 C:y2=3px(p0)的焦点为 F,点 M在 C上,|MF|=5,若以 MF为直径的圆过点 A(0,2),则 C的方程为 (  )A.y2=4x或 y2=8x B.y2=2x或 y2=8xC.y2=4x或 y2=16x D.y2=2x或 y2=16x【解析】选 C.由已知得 F ,A(0,2),M ,因为 AF⊥AM,所以 kAF·kAM=-1,即 × =-1,所以 -8y0+16=0,所以 y0=4,所以 M ,因为|MF|=5,所以 5= ,所以 =9.所以 - =3或 - =-3,所以 9p2-36p-64=0,①或 9p2+36p-64=0,②由①得 p=- (舍),p= .由②得 p= ,p=- ,所以 C的方程为 y2=4x或 y2=16x.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 l:x+y=1 交于 M,N 两点,过原点与线段 MN 中点的直线斜率为 ,则 =    .【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2),所以 m +n =1 ①m +n =1 ②又因为 =-1,所以①-②得:m=n· ,因为 = = ,所以 m= n,所以 = .答案:14.直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 + =1恒有公共点,则 m的取值范围为    .【解析】将 y=kx+1代入椭圆方程,消去 y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由 m0,5k2≥0,知 m+5k20,故Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对 k∈R恒成立.即 5k2≥1-m对 k∈R恒成立,故1-m≤0,所以 m≥1.又因为 m≠5,所以 m的取值范围是 m≥1且 m≠5.答案:m≥1且 m≠5【易错警示】本题易忽略隐含条件 m≠5而出错.15.过双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C于点 P,若点 P的横坐标为 2a,则 C的离心率为     .【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造 a,b,c的关系,进而求出离心率 e.【解析】将 y= (x-c)代入 - =1消去 y得 - =1,因为 xP=2ac,所以 - =1,化简得 3a2=(2a-c)2,即 a=c-2a,所以 e=2+ .答案:2+【补偿训练】已知椭圆 + =1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点 P使得 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为 (  )A. B.C. D.【解析】选 A.由 PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即 c2≥a2-c2,所以 a≤ c,因为 e= ,0e1,所以 ≤e1.16.椭圆 + =1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是     .【解题指南】利用已知条件求出点 Q的坐标,从而求出 a,b,c的关系.【解析】设 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点为 Q(m,n),则有 解得m= ,n= ,所以 Q 在椭圆上 ,即有 + =1,解得a2=2c2,所以离心率 e= = .答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 - =1 的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为 P ,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p0),因为点 在抛物线上,所以 6=2p× ,所以 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线 x=-1上,所以 c=1,即 a2+b2=1,又点 在双曲线上,所以 - =1,由解得 a2= ,b2= .所以所求双曲线方程为 4x2- y2=1.【补偿训练】若已知椭圆 + =1 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点 P ,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即 m=9-b,①又因为点 P 在椭圆、双曲线上,所以y2= m,②y2= .③解由①②③组成的方程组得 m=1,b=8,所以椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1.18.(12 分)求以直线 x+2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为 x+2y=0,故可设双曲线方程为 x2-4y2=λ(λ≠0).设直线 x-y-3=0与双曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组 消去 y,整理得 3x2-24x+36+λ=0.由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)0,解得λ12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|= |x1-x2|= ·= · = ,于是 = ,解得λ=4(与λ12符合).故所求的双曲线的标准方程为 -y2=1.19.(12 分)已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ的值.【解析】 (1) 直线 AB 的方程是 y=2 , 与 y2=2px 联立 , 从而有4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= ,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x.(2)由 p=4,方程 4x2-5px+p2=0可化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 ,y2=4 ,从而 A(1,-2 ),B(4,4 ).设 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ(4,4 )=(4λ+1,4 λ-2 ),又 =8x3,即[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(12 分)已知点 P(3,4)是椭圆 + =1(ab0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若 PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)△PF1F2的面积.【解析】(1)令 F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2,所以 · =-1,即 · =-1,解得 c=5,所以设椭圆方程为 + =1.因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 + =1.解得 a2=45或 a2=5.又因为 ac,所以 a2=5(舍去).故所求椭圆方程为 + =1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 ,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②①2-②得 2|PF1|·|PF2|=80,所以 = |PF1|·|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线 C:y2=2px(p0)过点 A(1,-2).(1)求抛物线 C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C有公共点,且直线 OA与 l 的距离等于 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以 p=2.故所求的抛物线 C的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t.由 得 y2+2y-2t=0.因为直线 l 与抛物线 C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- .另一方面,由直线 OA到 l 的距离 d= ,可得 = ,解得 t=±1.因为-1∉ ,1∈ ,所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.21.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y= x2的焦点,离心率为 .(1)求椭圆 C的标准方程.(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M,若 =m, =n ,求 m+n的值.【解析】(1)设椭圆 C的标准方程为 + =1(ab0).抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆 C的一个顶点为(0,1),即 b=1.由 e= = = .得 a2=5,所以椭圆 C的标准方程为 +y2=1.(2)易求出椭圆 C的右焦点 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为y=k(x-2),代入方程 +y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以 x1+x2= ,x1x2= .又 =(x1,y1-y0), =(x2,y2-y0),=(x1-2,y1), =(x2-2,y2).因为 =m , =n ,所以 m= ,n= ,所以 m+n= ,又 2x1x2-2(x1+x2)==- ,4-2(x1+x2)+x1x2=4- + = ,所以 m+n=10.22.(12分)已知椭圆 C: + =1过 A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆 C的方程及离心率.(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x轴交于点 N,求证:四边形 ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把 A,B两点代入可求得 a,b.(2)设 P(x0,y0),表示出直线 AP,BP 方程,求出点 M,N 坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把 A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.因为 c= = ,所以离心率 e= = .(2)设 P(x0,y0),其中 x00,y00.则直线 AP方程为 y= (x-2),直线 BP方程为 y= x+1.所以 M ,N .所以|AN|=2+ ,|BM|= +1.所以四边形 ABNM的面积为 S= |AN||BM|== × × == .因为点 P在椭圆 C上,所以 =4-4 .代入上式得S == =2.因此,四边形 ABNM的面积为定值 2.

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