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考试时间:2021 年 1 月 26 日 14:00-16:002020-2021 学年第一学期高二年级期终考试数学试题一、单项选择题:本题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.命题“ ”的否定是A. B. C. D. 2.已知函数 的导函数 的图像如下,若 在 处有极值,则 的值为A. B. C. D.3.已知 ,则A. B. C. D. 4.平面 的一个法向量是 ,平面 的一个法向量是 ,则平面 与 的位置关系是A.平行 B.相交且不垂直 C.相交且垂直 D.不确定5.已知 ,则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件6.在三棱锥 中, , ,若 ,则A. B.C. D.21, 1x x∀ 21, 1x x∀ ≤ 21, 1x x∀ ≤ ≤ 21, 1x x∃ ≤ ≤ 21, 1x x∃ ≤( )f x ( )f x′ ( )f x 0x x= 0xxyO-5 1 3 5 735-33− 0 3 7(1 ) 3 5z i i+ = − z =1 4i− 1 4i− − 1 4i− + 1 4i+α (1, 2,3) β (3,0, 1)− α βx R∈21x 2x O ABC− AD DB= 2CE EB= DE xOA yOB zOC= + +   1 1 1, ,2 6 3x y z= = − = 1 1 1, ,2 6 3x y z= = = −1 1 1, ,2 6 3x y z= − = = 1 1 1, ,2 6 3x y z= = =-5 -4 -3 -27.已知 ,则 的最小值为A. B. C. D.8.已知函数 ,若存在 使不等式 成立,则整数 的最小值为A. B. C. D.二、多项选择题:本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,不选或有选错的得 0 分. 9.已知双曲线 的渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.10.在正方体 中,若点 分别为 的中点,则A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面11.2018 年世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention 》的论文,该文以 12 个不同领域的数据指出双指数型函数在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法中正确的有A.当 且 时函数 有零点B.当 且 时函数 有零点C.当 且 时函数 有极值D.当 且 时函数 有极值12.已知无穷数列 满足 ,其中 为常数, ,则下列说法中正确的2 24 4x y+ = 2 21 1x y+529 194( ) sinf x x x= + [0, ]x π∈ ( sin ) ( cos )f x x f m x≤ −m1− 0 1 2C 2y x= ±52623 51 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1 1, ,AB BC C D1B D ⊥ EFG1 / /CD EFG1AC ⊥ EFG1 / /AC EFG1 21 2( )x xf x C e C eλ λ= +1 2 0C C 1 2λ λ≠ ( )f x1 2 0C C 1 2λ λ≠ ( )f x1 2 1 2 0C C λ λ 1 2λ λ≠ ( )f x1 2 1 2 0C C λ λ 1 2λ λ≠ ( )f x{ }na 12 1n nna aaλλ+++=+λ 1λ ≠ −有A. 若 ,则 是等差数列B. 若 是等差数列,则C. 若 , , ,则 是等比数列D. 若 是等比数列,则 , ,三、填空题:本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13.若点 在抛物线 上,点 为该抛物线的焦点,则 的值为 ▲ .14.有一块直角三角形空地 , , 米, 米,现欲建一矩形停车场 ,点 分别在边 上,则停车场面积的最大值为 ▲ 平方米.15.设函数 ,若 ,则 有 ▲ 个零点;若 有且仅有两个零点,则实数 的取值范围为 ▲ .(第 1 空 2 分,第 2 空 3 分)16.已知数列 与 满足 , ,数列的前 项的和为 ,若 恒成立,则 的最小值为 ▲ .四、解答题:本题共 6 题,第 17 题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 10分)从① 成等比数列,② ,③ ,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.已知等差数列 的前 项和为 , , , ,求数列的前 项和为 .(注:如果选择多个条件分别解答,那么按照第一个解答计分)18. (本小题满分 12分)2λ = − { }na{ }na 2λ = −1 1a = 2 2a = −12λ = − { }na{ }na 1 1a = 2 2a = − 12λ = −(2021, )P t 2 4y x= F PFABC2Aπ∠ = 250AB = 160AC =ADEF , ,D E F , ,AB BC CA( ) ln 1f x ax x= − − 1a = − ( )f x ( )f xa{ }na { }nb11 2 2 2nna a a++ + + = −1( 1)( 1)nnn naba a +=− −{ }nbn nS nS M≤ M1 2 5, ,a a a 5 25S = 2 22n nS Sn n+ − =+{ }na n nS 4 7a =122nan nb a+= + { }nbn nT如图,在直三棱柱 中, , .⑴求异面直线 与 所成角的余弦值;⑵设 ,求 长.(第 18题图) 19. (本小题满分 12分)已知函数 .⑴已知 在点 处的切线方程为 ,求实数 的值;⑵已知 在定义域上是增函数,求实数 的取值范围.20. (本小题满分 12分)在如图所示的四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,△ 是正三角形,平面 平面 .⑴求平面 与平面 所成锐二面角的大小;⑵设 为 上的动点,直线 与平面 所成的角为 ,求 的最大值.1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 12 3, 2, 3AB AC AA= = =1BC 1AC13BG BA BC= +  AG2( ) lnf x x a xx= − −( )f x (1, (1))f 2y x= − a( )f x aP ABCD− ABCD PADPAD ⊥ ABCDPAB PCDE PB CE PAB θ sinθABCA1B1C1AB CDPE(第 20题图) 21. (本小题满分 12分)已知椭圆 : 的离心率为 ,点 在椭圆 上.⑴求 的方程;⑵若椭圆 的左右焦点分别为 ,过点 的直线 l 与 交于 A、B 两点,△与△ 的面积分别为 , ,求直线 l 的斜率.22. (本小题满分 12分)已知函数 在 和 时取极值,且 .⑴已知 ,求 的值;⑵已知 ,求 的取值范围.C2 22 21( 0)x ya ba b+ = 123(1, )2P CCC 1 2,F F 1F C 1 2AF F1 2BF F 1 2,S S 1 22S S=2 2( ) ( 3 1)xf x e x ax a a= − + − + 1x x= 2x x= 1 2x x1 2x = − 2x1 2 0x x+ 1 2( ) ( )f x f x⋅2020-2021 学年第一学期高二年级期终考试数学参考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A9.AD 10.AB 11.BC 12.AC 13. 14. 15. 16.17. 解:选①,设数列 的公差为 ,则由 可得 , 由 成等比数列得 , 联立以上两式可得 或 , …………………………6 分若 ,则 , , ; …………………………8 分若 ,则 , ,. …………………………10 分选②,设数列 的公差为 ,则由 可得 , 由 得 , 联立以上两式可得 , …………………………5 分则 , ,. …………………………10 分选③,设数列 的公差为 ,则由 可得 , ∵ ,∴ ,∴ ,由 得 ,则 , …………………………5 分则 , ,. …………………………10 分2022 10000 1;(0,1) 1{ }na d 4 7a = 1 3 7a d+ =1 2 5, ,a a a21 1 1( 4 ) ( )a a d a d+ = +1 70ad= =1 12ad= =1 7, 0a d= = 7na = 23nb = 23nT n=1 1, 2a d= = 2 1na n= − 2 1 2nnb n= − +2 1( 1) 2(1 2 )[ 1 2] 2 22 1 2nnnn nT n n +− −= × + × + = + −−{ }na d 4 7a = 1 3 7a d+ =5 25S = 15 45 252a d×+ =1 1, 2a d= =2 1na n= − 2 1 2nnb n= − +2 1( 1) 2(1 2 )[ 1 2] 2 22 1 2nnnn nT n n +− −= × + × + = + −−{ }na d 4 7a = 1 3 7a d+ =1( 1)2nn n dS na−= + 1( 1)2nS n dan−= + 2 1( 1)2 2nS n dan+ += ++2 22n nS Sn n+ − =+2d = 1 1a =2 1na n= − 2 1 2nnb n= − +2 1( 1) 2(1 2 )[ 1 2] 2 22 1 2nnnn nT n n +− −= × + × + = + −−-5 -4 -3 -218. 解:以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 ,……………2分则 , , , , . …………………4 分⑴ , ,∴ , …………………7 分则异面直线 与 所成角的余弦值为 . …………………8 分⑵∵ 为△ 的重心, , , ,∴ , …………………10 分∴ . …………………12 分19. 解:⑴∵ ,∴ ,∴ ,又 在点 处的切线方程为 ,∴ ,∴ ,∴ . …………………4 分⑵ 的定义域为 ,∵ 在定义域上为增函数,∴ 在 上恒成立,∴ 在 上恒成立,∴ , …………………8 分1{ , , }AB AC AA  A xyz−(0,0,0)A 1(0,0,3)A (2 3,0,0)B (0, 2,0)C 1(0, 2,3)C1 ( 2 3,2,3)BC = −1 (0, 2, 3)AC = −1 11 11 15 13cos ,13| || | 5 13BC ACBC ACBC AC⋅ − = = = −   1BC 1AC1313G 1A BC 1(0,0,3)A (2 3,0,0)B (0, 2,0)C2 3 2( , ,1)3 3G2 2 22 3 2 5| | ( ) ( ) 13 3 3AG AG= = + + =2( ) lnf x x a xx= − −22( ) 1af xx x′ = + − (1) 3f a′ = −( )f x (1, (1))f 2y x= − (1) 1f ′ =3 1a− = 2a =( )f x (0, )+∞( )f x22( ) 1 0af xx x′ = + − ≥ (0, )+∞2a xx≤ + (0, )+∞min2a xx ≤ +  ABCA1B1C1xyz由基本不等式 ,当且仅当 时等号成立,故 ,故 的取值范围为 . …………………12 分20.解:取 的中点 ,取 的中点 ,连接 ,因为底面 是正方形,∴ ,∵△ 是正三角形, 为 的中点,∴ ,又因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 . …………………2 分⑴ , , ,则 , ,设 为平面 的一个法向量,则 ,则 ,令 ,得 , ,…………4分, , ,则 , ,设 为平面 的一个法向量,则 ,则 ,令 ,得 , ,……………6 分2 22 2 2x xx x+ ≥ × = 2x =min22 2xx + =  a ( , 2 2]−∞AD O BC F ,OP OFABCD OF AD⊥PAD O AD OP AD⊥PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= OP ⊂ PADOP ⊥ ABCD{ , , }OF OD OP  O xyz−(0,0, 3)P (0, 1,0)A − (2, 1,0)B − (2,0,0)AB =(0,1, 3)AP =( , , )m x y z= PAB2 03 0m AB xm AP y z ⋅ = =⋅ = + = 0x = 1z = 3y = − (0, 3,1)m = −(0,0, 3)P (2,1,0)C (0,1,0)D (2,0,0)DC =(0, 1, 3)DP = −( , , )n a b c= PCD2 03 0n DC an DP b c ⋅ = =⋅ = − + =   0a = 1c = 3b = (0, 3,1)n =AB CDPEOFxyz∴ ,又 ,∴ ,∴面 与平面 所成锐二面角的大小为 . …………………8 分⑵设 , ,则 ,则 ,因为直线 与平面 所成的角为 ,∴ ………………10 分,当且仅当 时取等号,故求 的最大值为 . …………………12 分21. 解:⑴由 得 ,故 的方程为 . …………………4 分⑵ ,显然 与 轴不垂直,故可设 ,设 , ,由 消去 得 ,则 , , …………………6 分由 得 , …………………8 分则 , ,消去 可得 ,故 ,2 1cos ,2 2 2| || |m nm nm n⋅ − = = = −×    , [0, ]m n π ∈  2,3m nπ = PAB PCD3πBE BPλ= [0,1]λ ∈ ( 2,1, 3) ( 2 , , 3 )BE λ λ λ λ= − = −(0, 2,0) ( 2 , , 3 ) ( 2 , 2, 3 )CE CB BE λ λ λ λ λ λ= + = − + − = − −  CE PAB θ2 2 2| | | 3( 2) 3 |sin | cos , || || | ( 2 ) ( 2) ( 3 ) 2CE mCE mCE mλ λθλ λ λ⋅ − − += = =− + − + ×   223 3 3 4271 7 78 4 4 2 2( )4 8 2λ λ λ= = ≤ =− + − +14λ =sinθ 4272 22 2 2121 914caa ba b c = + = = +2243ab ==C2 214 3x y+ =1( 1,0)F − l y : 1l x ty= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y2 2114 3x tyx y= −+ =x 2 2(3 4) 6 9 0t y ty+ − − =1 2 263 4ty yt+ =+ 1 2 293 4y yt−=+1 22S S= 1 22y y= −2 263 4tyt− =+22 2923 4yt−− =+2y25t = ± 2: 15l x y= ± −得 的斜率为 . …………………12 分22. 解:⑴∵ ,∴ ,∵ 在 和 时取极值,∴ ,∴ , 是 的两个不等实根,∴ , ,解得 ,经检验,符合题意. …………………4 分⑵由⑴知 , ,∴∵ , 是 的两个不等实根,∴ , ,∴ , ,∴ …………………8 分设 ,∵ ,∴ ,①又 , 是 的两个不等实根,∴△= ,得 ,②由①②知 , …………………10 分而 ,设 ,则 , ,由二次函数的性质可知 在 上恒成立,则 在 上恒成立,则 在 上单调递减,而 , ,故 的取值范围为 . …………………12 分l 52±2 2( ) ( 3 1)xf x e x ax a a= − + − + 2 2( ) [ (2 ) 4 1]xf x e x a x a a′ = + − + − +( )f x 1x x= 2x x= 1 2( ) ( ) 0f x f x′ ′= =1x 2x2 2(2 ) 4 1 0x a x a a+ − + − + =1 2 22 2x x x a+ = − + = −21 2 22 4 1x x x a a= − = − + 2 1x =1 2 2x x a+ = −21 2 4 1x x a a= − +1 22 2 2 21 2 1 1 2 2( ) ( ) ( 3 1) ( 3 1)x xf x f x e x ax a a e x ax a a⋅ = − + − + ⋅ − + − +1x 2x2 2(2 ) 4 1 0x a x a a+ − + − + =2 21 1(2 ) 4 1 0x a x a a+ − + − + =2 22 2(2 ) 4 1 0x a x a a+ − + − + =2 21 1 13 1 2x ax a a a x− + − + = −2 22 2 23 1 2x ax a a a x− + − + = −1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 2 )( 2 ) [4 2 ( ) ]x x x xf x f x e a x a x e x x a x x a+ +⋅ = − − = − + +2 2 2 2 2[4( 4 1) 2 ( 2) ] (3 12 4)a ae a a a a a e a a− −= − + − − + = − +2 2( ) (3 12 4)ag a e a a−= − +1 2 0x x+ 2 0a − 1x 2x2 2(2 ) 4 1 0x a x a a+ − + − + =2 2(2 ) 4( 4 1) 0a a a− − − + 0 4a (0, 2)a ∈2 2( ) (3 6 8)ag a e a a−′ = − − 2( ) 3 6 8h a a a= − − (0) 0h (2) 0h 2( ) 3 6 8 0h a a a= − − (0, 2)( ) 0g a′ (0, 2) 2 2( ) (3 12 4)ag a e a a−= − + (0, 2)24(0)ge= (2) 8g = − 1 2( ) ( )f x f x⋅ 24( 8, )e−

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