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永州市 2020 年下期高二期末质量监测试卷数学注意事项:1.全卷满分 150 分,时量 120 分钟.2.答题前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,在本试题卷上作答无效,考试结来后,只交答题卡.一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知 是虚数单位,复数 的虚部为A. B. C. D.2.设 ,则“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量 ,且 ,则实数A. B. C. D.4.已知点 在抛物线 上, 为抛物线的焦点,则A.2 B.4 C.6 D.85.2020 年 5 月 14 日,中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改革,充分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力,构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需,为了让游客更好的了解当地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 点表示十月的平均最高气温为 , 点表示四月的平均最低气温为 .下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 的月份有 个6.已知椭圆 的左右顶点分别为 , , 为椭圆上异于 , 两点的动点,则A. B.C. D.7.某工厂对一批新产品的长度(单位:mm)进行检i 1 2z i= −2− 2 2i− 1x R∈ 1x 0 1x (1, , 2), (1, 5, 3)a m b= = − −a b⊥m =1− 2 2− 10(4, )A y2: 8C y x= F AF =A 15 C° B5 C°0 C°20 C° 52 24: 13x yC + = A B P A BPA PBk k⋅ =4334−3443−测,检测结果的频率分布直方图如图所示,据此估计这批产品的中位数为A.20 B.25C.22.5 D.22.758.已知双曲线 的左右焦点分别为 , ,直线 与 的右支相交于点 .若 ,则双曲线 的渐近线方程为A. B. C. D.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9.下列结论正确的有A.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件B.在标准大气压下,水在 时结冰为随机事件C.若一组数据 , , , 的众数是 ,则这组数据的平均数为D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为 ,则应从四年级中抽取 名学生10.如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, , ,点为 的中点,则下列判断正确的是 A. 与 所成的角为B. 平面C. ∥平面D.11.已知 、 分别为双曲线 的左右焦点,且 , , 成等比数列( 为双曲线的半焦距),点 为双曲线右支上的点,点为 的内心.若 成立,则下列结论正确的是A.当 轴时, B.离心率C. D.点 的横坐标为定值12.已知函数 , ,则下列结论正确的是A. 存在唯一极值点 ,且B. 恰有 3 个零点C.当 时,函数 与 的图象有两个交点D.若 且 ,则2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = 1F 2F 3y b= CP 1 22PF PF= C32y x= ± 23y x= ± 52y x= ± 2 55y x= ±4 C1 a 2 4 2 34006 : 5 : 5 : 4 80P ABCD− ABCD PA ABCD⊥ 平面 PA AB= EPAPB CD 60°BD ⊥ PACPC BDE: 1: 4B CDE P ABCDV V− − =1F 2F2 22 21( 0, 0)x ya ba b− = a b c c P I1 2PF F△ 1 2 1 2IPF IPF IF FS S Sl= +△ △ △2PF x⊥ 1 2 30PF F∠ = 1 52e+=5 12λ −= I a( ) 1lnf x x xx= − + ( ) ( )1 lnx x x xg − −=( )g x 0x ( )0 1,2x ∈( )f x1k ( )g x ( )h x kx=1 2 0x x ( ) ( )1 2 0f x f x+ = 1 2 1x x =三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知命题 , ,则 : .14.在长方体 中, 为 与 的交点,设 , , ,则向量 (用 , , 表示).15.已知 为椭圆 上一点, , 为椭圆 的焦点,则 的周长为 .16 . 已 知 函 数 , 对 任 意 的 , 当 时 ,,则实数 的取值范围是 .四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知函数 .(1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)求 在区间 上的最小值和最大值.18.(本小题满分 12 分)已知抛物线 .(1)若直线 ,求曲线 上的点到直线 距离的最小值;(2)过点 且倾斜角为 的直线 m 交 于 两点,求 .19.(本小题满分 12 分)某企业为了提高销售利润,从 2016 年至 2020 年每年都对生产环节的技术改造进行投资,每年的投资金额 (单位:万元)与年利润增长量 (单位:万元)的数据如下表:年 份 2016 2017 2018 2019 2020投资金额 (万元) 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0年利润增长量 (万元) 6.0 7.0 9.0 11.0 12.0(1)记 =年利润增长量 投资金额,现从 2016 年至 2020 年这五年中抽出两年进行调查分析,求所抽两年都是 万元的概率;(2)如果 2021 年该企业对生产环节改进的投资金额为 10 万元,请用最小二乘法求出关于 的回归直线方程,并估计该企业在 2021 年的年利润增长量. 参考公式: , ; 参考数据: , .20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中, // , , ,且 与 均为正三角形, 为的中线,点 在线段 ,且 .(1)求证: //平面 ;PAD∆:p x R∃ ∈ 2 2 3 0x x− − p¬1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1A C 1 1D B AB a= AD b= 1AA c= AM =abcM2 2: 19 5y xC + = 1F 2F C 1 2MF F∆( ) 2ln( 1)f x x ax= + − (0,1), (0,1)m n∈ ∈ m n≠( 1) ( 1)1f m f nm n+ − + −a( ) 3 23 9f x x x x= + −( )f x (1, 5)−( )f x [ ]1, 2−2: 4C x y=: 4 0l x y+ + = C l(0, 2)A 45° C ,M N MNx yxyω −2ω yx1 122 21 1( )( )( )n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx∧= == =− − −= =− −∑ ∑∑ ∑ˆâ y bx= −51=286i iix y=∑521190iix==∑P ABCD− AB CD 2 2 3AB DC= =AC BD F=I PAD∆ ABD∆ AEG AE 2AG GE=GF PDC(2)若平面 平面 ,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 , 分 别为椭圆左右顶点, 分别为椭圆上下顶点,且四边形 的面积为 .(1)求椭圆 的方程;2)过点 的直线 与椭圆 相交于 , (异于点 )两点, 证明: .22.(本小题满分 12 分)已知函数 , .(1)求函数 的单调区间;(2)若对任意 , ,求整数 的最小值.永州市 2020年下期高二期末质量监测试卷数学参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.1—8为单选题,8—12为多选题(全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分.部分选对的得 3 分).PAD ⊥ ABCD PAD GBC2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 32 1 2,A A1 2,B B 1 1 2 2A B A B 4C6( , 0)5M − l C P Q 1 2,A A1 1A P A Q⊥( ) lnf x x x= 2 2( ) ( 2 ) xg x x x e x ax= − − −( )f x(0,1)x ∈ ( ) ( ) 0f x g x+ a二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13. 14. 15. 16.四、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10分)解:(1) ,……………………………………………………………2 分求得 解得 ,…………………………………………………3 分曲线 在点 处的切线方程为 . ………………………………4 分(2) , 得 (舍)或所以 在 单调递减,在 单调递增,…………………………6 分, ,…………………………………………………9 分故 . ………………………………………………10 分18.(本小题满分 12 分)解:(1)由题意可知,设与 平行的直线与抛物线相切于点……………………………………………………………2 分即 ……………………………………4 分抛物线上的点到直线 的最小距离 ……………………6 分(其他方法酌情给分)(2)依题意得直线 方程为 …………………………………………………7 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B A C D B C C题号 9 10 11 12答案 AD BCD BCD ACD2, 2 3 0x R x x∀ ∈ − − ≥ 1 12 2a b c+ +  101,6 − +∞ ( ) 23 6 9f x x x′ = + −( ) 01f ′ = (1) 5f = −( )f x (1, 5)− 5y = −( ) 2 2 3 0f x x x= + − =′ [ ]1, 2x ∈ − 3x = − 1x =( )f x ( )1,1− ( )1, 2( )1 1 3 9 11f − = − + + = ( ) 51f = −( ) 3 22 2 3 2 9 2 2f = + × − × =( )max11,f x = ( )min5f x = −l 0 0( , )M x y 214y x= ∴ 12y x′ =∴ 0112k x= = − 0 2x = − ∴ ( 2,1)M −∴ l2 1 4 3 222d− + += =m 2y x= +联立直线方程与抛物线方程得整理得 ,由韦达定理得 ………………9 分= ……………………………………………………………12 分19.(本小题满分 12 分)解(1)2016 年至 2020 年的 分别记为:抽取两年的基本事件有:, , , , , , ,, , ,共 10 种,………………………………………4 分其中两年都是 的基本事件有: , , ,共 3 种,故所求概率为 . ……………………………………………………………6 分(2)则 ,…………………………………………8 分所以回归直线方程为 ……………………………………………10 分将 代入上述方程得 ,即该企业在该年的年利润增长量大约为 万元.………………………………12 分20. (本小题满分 12 分)解:(1)连结∥ ……………………………………………… 2 分∥ ……………………………………………………4 分平面 ∥平面 ……………………………………6 分(2)取 的中点 ,连结 ,易知 三点共线且平面 平面 且 为交线平面 ………………………………………………………………7 分连结 ,易知 ,建立如图所示的空间直角坐标系易知平面 的法向量PDC PDC224y xx y= +=2 4 8 0x x− − = 1 2 1 24, 8x x x x+ = ⋅ = −2 21 2 1 2(1 ) ( ) 4MN k x x x x = + + − 22(4 32) 4 6+ =ω 1 2 3 4 52, 2, 3, 4, 4ω ω ω ω ω= = = = =1 2( , )ω ω 1 3( , )ω ω 1 4( , )ω ω 1 5( , )ω ω 2 3( , )ω ω 2 4( , )ω ω 2 5( , )ω ω3 4( , )ω ω 3 5( , )ω ω 4 5( , )ω ω2ω 3 4( , )ω ω 3 5( , )ω ω 4 5( , )ω ω310P = 6, 9, 5 270x y x y= = =515 2215286 270ˆ = 1.6190 1805i iiiix y x ybx x==−−= =−−∑∑ˆˆ =9 1.6 6= 0.6a y bx= − − × −ˆ 1.6 0.6y x= −10x = ˆ 15.4y =15.4ECQ DC AB ∴ 2AF ABFC CD= =Q 2AGGE= ∴ GF ECQ EC ⊂ ∴ GFAD O PO , ,P G O PO AD⊥Q PAD ⊥ ABCD AD∴ PO ⊥ ABCDBO BO AD⊥PAD 1 (0,1,0)n =ur 易知 , ,,设面 的法向量,令 ,则 .……………………………………………………………10 分设所求锐二面角的平面角大小为 ,则, ………………………………………………………11 分所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . …………………12 分21(本小题满分 12 分)解:(1)由题设知, ………………………………………………2 分又 ,解得 ………………………………………4 分椭圆 C 的方程为 …………………………………………………5 分(2) 直线不与 轴垂直, 直线的斜率不为 0.设直线的方程为: ………………………………………………………6 分联立方程 ,化简得显然点 在椭圆 C 的内部, .…………………………………………8 分设则(0,0,1)G (0,3,0)B3 3 3( , ,0)2 2C −∴ (0,3, 1)GB = − 3 3 3( , , 1)2 2GC = − −GBC 2 ( , , )n x y z=∴223 03 3 302 2n GB y zn GC x y z ⋅ = − =⋅ = − + − =   2y =2 36,3z x= = −∴22 3( , 2,6)3n = −θ1 21 293cos31n nn nθ⋅= =  PAD GBC93313,2 4,2caba= =2 2 2a b c= + 2, 1, 3a b c= = =∴22 14xy+ = y ∴6,5x ty= −226514x tyxy = − + =2 2 12 64( 4) 0,5 25t y ty+ − − =M 0∴∆ 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y1 2 1 22 212 64, ,5( 4) 25( 4)ty y y yt t+ = = −+ +又 , ………………………9 分………………………………11 分………………………………………………………12 分(其他方法酌情给分)22.(本小题满分 12 分)解:(1)函数 ,定义域为 ,可得 , ………………1 分令 解得 ,当 ,………………………………4 分故 的减区间为 , 的增区间为 .…………………………5 分 (2)由 , , …………………6 分设 , ,则 ,当 时, ,…………………………………………………………7 分设 ,则 ,所以 在 上单调递增.又 , ,………………………………………8 分,使得 ,即 , .当 时, , ;当 时, , ,函数 在 内单调递增,在 内单调递减, …………………10 分,1( 2,0)A − ∴ 1 1 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )A P x y AQ x y= + = + ∴1 1 1 2 1 2( 2)( 2)A P AQ x x y y⋅ = + + + 1 2 1 26 6( 2)( 2)5 5ty ty y y= − + − + +21 2 1 24 16( 1) ( )5 25t y y t y y= + + + +22 264 4 12 16( 1)( ) 025( 4) 5 5( 4) 25tt tt t= + − + × + =+ +∴1 1A P AQ⊥  ∴1 1A P AQ⊥( ) lnf x x x= (0, )+∞ ( ) ln 1f x x′ = +( ) ln 1 0f x x′ = + = 1xe=1 1(0, ) , ( ) 0, ( , ) , ( ) 0x f x x f xe e′ ′∈ ∈ +∞ 时 当 时( )f x10e( ,) ( )f x1e∞( , + )(0,1)x ∈ ( ) ( )0 2) l( n xa x x xf x g x e ⇒ − + −+( ) ( )2 lnxh x x e x x= − + − (0,1)x ∈ ( ) ( ) l1 xxxh x e− −′ =    0 1x 1 0x − ( ) 1xu x ex= − ( )210xu x ex= + ′ ( )u x (0,1)12 02u e= −    ( )1 1 0u e= − ∴ 01,12x ∃ ∈  ( )0 0u x = 001xex=0 0ln x x= −( )00,x x∈ ( ) 0u x ( ) 0h x′ ( )0 ,1x x∈ ( ) 0u x ( ) 0h x′ ∴ ( )h x 0(0, )x 0( ,1)x∴ ( ) ( ) ( ) ( )00 0 0 0 0 0 0max0 01 22 ln 2 2 1 2xh x h x x e x x x x xx x= = − + − = − ⋅ − = − +   函数 在 时单调递增,,………………………………………………………………11 分对任意的 恒成立,又 ,的最小值是 . …………………………………………………………12 分(其他方法酌情给分) 0021 2y xx= − +   01,12x ∈   ∴ ( ) ( )0 4, 3h x ∈ − − ( )a h x ( ]0,1x ∈ a Z∈∴ a 3−

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