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豫南九校 2020-2021 学年上期第四次联考高二数学(理)试题(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.k3 是方程, 表示双曲线的A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界所接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远。若 ab0,则下列结论错误的是A. B.log2(a-b)0 C. D.3a3b3.抛物线 y2=2px(p0)的焦点到双曲线 x2-y2=1 的渐近线的距离为 ,则 p=A.4 B.3 C.2 D.14.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λb),则实数 λ 的值为A.2 B. C. D.-25.在等比数列{an}中,a3a11=4a7,若数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9=A.2 B.4 C.8 D.166.若实数 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围是A.(-∞, ]∪[ ,+∞) B.[ , ] C.[- , ] D.(-∞, ]∪[ ,+∞)7.如图,要测量底部不能到达的某铁塔 AB 的高度,在塔的同一侧选择 C,D 两观测点,且在C,D 两点测得塔顶的仰角分别为 45°,30°。在水平面上测得∠BCD=120°,C,D 两地相距 600m,则铁塔 AB 的高度是2 213 1x yk k+ =− −1 1a b1 12 2a b2243− 145y 2xx y 1x l≤ + ≥ ≤y 1x 1−+1212123212121232A.120 m B.480m C.240 m D.600m8.直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面是等腰直角三角形,AB⊥AC,BC=BB1,则直线 AB1 与 BC1所成角的余弦值为A. B. C. D.9.已知椭圆 C: 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上一点,且 PF2⊥x 轴,直线 PF1与椭圆 C 的另一个交点为 Q,若|PF1|=4|F1Q|,则椭圆 C 的离心率为A. B. C. D.10.已知正项等比数列{an}中,a9=9a7,若存在两项 am,an,使得 aman=27a12,则 的最小值为A.5 B. C. D.11. 在 △ ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 若 , (a2 -3b2)cosC= ,则角 C=A. B. C. 或 D. 或12.已知椭圆与双曲线共焦点 F1,F2,它们的一个交点为 P,且∠F1PF2= 。若椭圆的离心率为 ,则双曲线的离心率为A. B. C. D.2二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)2 2362332122 22 21( 0)x ya ba b+ = 2 55221552171 16m n+215516654sinB 1sinC 2=CA CB⋅ 6π3π3π2π2π6π3π3213 363 24313.已知数列{an}满足 an= (n≥2,n∈N*),若 a4= ,则 a1= 。14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sinA=2sinC,且三条边 a,b,c 成等比数列,则 cosA 的值为 。15.已知点 P 为棱长等于 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内部一动点,且 | |=2,则当的值最小时, 与 的夹角大小为 。16.椭圆 上存在第一象限的点 M(x0,y0),使得过点 M 且与椭圆在此点的切线 =1 垂直的直线经过点( ,0)(c 为椭圆半焦距),则椭圆离心率的取值范围是 。三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.(本小题满分 10 分)已知 p:∀x∈R,ax2-x+30;q:∃x0∈[1,2],a· ≥1。(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围;(2)若 p∨q 为真命题,且 p∧q 为假命题,求 a 的取值范围。18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(2c-b)cosA-acosB=0。(1)求角 A 的大小;(2)若 b=3,△ABC 的面积 S△ABC=3 ,求 a 的值。19.(本小题满分 12 分)佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用,某科技企业为了满足口罩的需求,决定开发生产口罩的新机器。生产这种机器的月固定成本为 400 万元,每生产 x 台,另需投入成本 p(x)(万元),当月产量不足 70 台时,p(x)= x2+40x(万元);当月产量不小于 70 台时,p(x)=101x+-2060(万元)。若每台机器售价 100 万元,且该机器能全部卖完。(1)求月利润 y(万元)关于月产量 x(台)的函数关系式;(2)月产量为多少台时,该企业能获得最大月利润?并求出其利润。20.(本小题满分 12 分)n-111a+ 53PA1 1PC PD⋅ 1PC1PD2 22 21( 0)x ya ba b+ = 0 02 2x x y ya b+2c0x23126400x已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=8,且满足 Sn= +2(n∈N*)。(1)求证数列 是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,SA=AB,点 M 是SD 的中点,AN⊥SC,且交 SC 于点 N。(1)求证:SC⊥平面 AMN;(2)求二面角 D-AC-M 的余弦值。22.(本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 M: 的离心率为 ,且右焦点 F(c,0)(c0)到直线 l:x= 的距离为 3。(1)求椭圆 M 的方程;(2)过点 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,当∠PAC 取得最小值时,求直线 AB 的方程。( ) n2 n 1 an−nan   ( ) n2n 1 an−2 22 21( 0)x ya ba b+ = 222ac−

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