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福建省宁德市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(Word版附答案)

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时间:2021-02-17

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资料简介

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宁德市 2020-2021学年度第一学期期末高二质量检测数 学 试 题 本试卷有第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟 ,满分 150分.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.第 I 卷(选择题 共 60 分)一、单项选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 设点 关于坐标原点的对称点是 ,则 等于A. B. C. D. 2. 总体由编号 01,02,…,29, 30 的 30 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从如下随机数表的第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5个个体的编号为 第 1 行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A. 27 B. 26 C. 25 D. 243. 已知 都是实数,那么“ ”是“方程 表示圆”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 若同时掷两个骰子,则向上的点数之和为 6 的概率是 A. B. C. D. A (1, 1, 2)− B AB4 2 3 2 2 2,a b 2a 2 2 2 0x y x a+ − − =16111155365. 某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况,选取 20 人平均分成同样水平的两组(甲组采用教改实验教学,乙组采用传统教学),一学期以后根据他们的期末成绩绘制茎叶图,如图所示,则 A.B. C.D. 6. 在 长 方 体 中 , ,,则异面直线 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D.7. 已知抛物线 的焦点为 , 过 点倾斜角为 的直线 与 交于 , 两点(在 的右侧),则 = A. B. C. D.8. 已知圆 : 与双曲线 ( ),若在双曲线 上存在一点 , 使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直,则双曲线 的离心率的取值范围是 A. B. C. D.二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分)9. 下列有关命题的说法正确的是 A. 若命题 为真命题,则命题 和命题 至少一个为真B. 若命题 为假命题,则命题 和命题 都是假命题C. 命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则 ”D. 命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题2 2,x x s s 乙 甲 乙甲2 2,x x s s 乙 甲甲 乙2 2,x x s s 甲 乙 甲 乙2 2,x x s s 甲 乙 甲 乙1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= =1 3AA = 1 1A C 1CD342224144:C 2 4x y= F F 30 l C A B ABAFBF9157 7 4 3+ 31C2 2 2 ( 0)x y b b + = 2 :C2 22 21x ya b− = 0,a 0b 2CP P 1C 2C(61, ]2[6, )2+ ∞(1, 3][ 3, + )∞p q∨ p qp q∧ p q2 1x = 1x = 2 1x = 1x ≠x y= sin sinx y=10. 某校为了解高二年级 800 名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况(每名学生最多参加 7 场), 随机抽取 50 名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下:则以下四个结论中正确的是 A. 表中 m 的数值为 12B. 估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于 2 场的学生约为 144 人C. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高二 800 名学生中抽取容量为 50 的样本,则分段间隔为 16D. 根据上表知,从该校的高二年级的 800 名学生随机抽取 80 人,必有 1 人参加中华传统文化活动11. 某次数学考试 的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.”已知某选择题的正确答案是 CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是 A. 甲同学仅随机选一个选项,能得 3 分的概率是B. 乙同学仅随机选两个选项,能得 5 分的概率是C. 丙同学随机选择选项,能得分的概率是D. 丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是12. 已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ,直线 与 交于 、两点, 轴,垂足为 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 ,则下列结论正确的是A. 若 ,则 的面积为 B. 四边形 可能为矩形C. 直线 的斜率为 D. 若 与 、 两点不重合,则直线 和 斜率之积为参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2%12161511022: 14xC y+ =1 2F F、 ( 0)y kx k= ≠ C AB AE x⊥ E BE C P1 2 =60F PF∠1 2F PF∆361 2AF BFBE12kP A B PA PB 4−(背面还有试题)NMABCD第 II 卷(非选择题共 90 分)三、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置)13. 双曲线 的渐近线方程为_________. 14. 若命题“ ”是假命题,则 范围是_________. 15. 如图所示,已知在四面体 中,点 分别是棱的中点,若 ,其中为实数,则 的值为_________. 16. 已知关于 的方程 ,(1)若 时,方程有解,则实数 的取值范围是_________. (2)若方程有两解,则实数 的取值范围是_________. (本小题第一个空 2 分,第二个空 3 分)四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)设命题 :实数 满足 ,命题 :方程: 表示焦点在 轴上的椭圆.(1)若 , 为真命题,求 的取值范围;(2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.18. (本小题满分 12 分)为创建全国文明城市,宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动, 按交通法规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行. 下表是 2020 年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为,其中违章情况统计数据如下表:(1)请 利用所给数据求违章人数与月份 之间的回归直线方程 ;月份 1 2 3 4 5违章驾驶员人数22: 14yC x − =2, 1 0x R x ax∃ ∈ − + ≤ aABCD ,M N,BC AD MN xAB y AC z AD= + +   , ,x y zx y z+ +x 2| 1 |x x a− = − +1x aap a2 22 3 0( 0)a ta t t− − q2 216 2y xa a+ =− −y1t = p q∧ aq p tyx ˆŷ bx a= +100 85 80 70 65第 15题图第 15题图NMABCD(2)预测该路口 2020 年 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; 并估计该路口经过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失.参考公式: , ,参考数据: .19. (本小题满分 12 分)某学校为了了解同学们现阶段的视力情况,对全校高三学生的视力情况进行了调查,从中随机抽取了 100 名学生的体检表,对视力情况绘制了如下频率分布直方图.如图所示. 从左至右五个小组的频率之比依次是 .(1)求 的值;(2)估计该校学生视力的平均值;(3)用频率估计概率,若从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中随机抽取六名学生,求抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率. 20.(本小题满分 12 分)已知 , ,动点 满足 ,直线 .(1)求动点 的轨迹方程 ; (2)若直线 与 相切,求 的值; (3)若直线 与 相交于 两点, 为坐标原点, 的面积为 ,求 的值.21. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中, 是等边三角形,底面 是棱长为 2 的菱形,侧面 底面 , 是 的中点, .(1)证明: 面 ;(2) 求二面角 的正弦值. 频率组距视力x1.21.00.80.60.2 0.412 21ˆni iiniix y nx ybx nx==−=−∑∑ ˆâ y bx= − 11115ni iix y==∑2 : 2 : 3 : 2 :1x(1,0)A (4,0)B P 2PB PA= : 4l y kx= +P Cl C kl C ,M N O OMN∆ 3 kP ABCD− PAD∆ ABCDPAD ⊥ ABCD O AD3DABπ∠ =BO ⊥ PADA PB C− −22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆Γ: 的左、右焦点分别为 、 ,离心率为 , 是椭圆上的动点, 的最大面积为 .(1)求 椭圆Γ的方程;(2)求证:过椭圆Γ: 上的一点 的切线方程为: ;(3) 设点 是直线 上的一个动点,过 做椭圆Γ的两条切线,切点分别为 , ,则直线 是否过定点?若是,求出这个定点坐标,否则,请说明理由. 2 22 21( 0)x ya ba b+ = 1F 2F22M1 2MF F∆ 12 22 21( 0)x ya ba b+ = 0 0( , )T x y0 02 21x x y ya b⋅ ⋅+ =P : 2l x = P A BAB宁德市 2020-2021 学年度第一学期期末高二质量检测数学试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. A 2. C 3.A 4.D 5. B 6. C 7.D 8. B二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分)9. AD 10. AC 11. ABC 12. BC三、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置) (本小题第一个空 2 分,第二个空 3 分)13. ( ,或 或 或两个分开写,均给满分) 14. 15. 16. (1) (2)四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)解:(1) 当 时, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分由方程: 表示焦点在 轴上的椭圆,得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分得 : ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分y 2x= ± 2 0x y± + = 2 0x y± = 2 0x y± − =( 2,2)− 12− (1, )+ ∞ { } { }( 1, 0) 1 2−  1t = : 1 3p a− 2 212 6x ya a+ =− − y6 2 0a a− − q 2 4a 第 15题图NMABCD为真命题,则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分(2)由 得 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分若 是 的充分不必要条件,则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分则 ,且不能同时取等.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分(答案等号没写扣 1 分)18. (本小题满分 12 分)解:(1)由表中数据知, , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分即 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分∴所求回归直线方程为. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分(2) 令 ,则 人. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 令 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分答:预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为 21,故估计经过 13 个月“不礼让”的不文明行为可以消失. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分19. (本小题满分 12 分)p q∧1 32 4aa−  2 3a 2 22 3 0( 0)a ta t t− − ( 3 )( ) 0( 0)a t a t t− + : 3p t a t− q p (2,4) Ü ( ,3 )t t−3 42tt≥− ≤43t ≥3, 80x y= =12 211115 120055 45ˆni iiniix y nx ybx nx==−−= =−−∑∑8.5= −ˆ 105.ˆ 5a y bx= − =8.5 10 .5ˆ 5y x= − +9x = 8.5 9 1ˆ 05.5 21y = − × + =8.5 105.5 0x− + = 12.4x ≈解:(1)因为从左至右五个小组的频率之比依次是 ,故直方图中从左到右各组频率依次为 , , , , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分(2)设该校学生视力平均值为 ,则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分(3)由第 3 组至第 5 组的频率比为 得,从第 3 组抽取的人数为 3 人,记为 ;从第 4 组抽取的人数为 2 人,记为 ;从第 5 组抽取的人数为 1 人,记为 , ∙∙∙∙∙∙7 分随机抽取两名学生的情况有共 15 种, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分其中视力不低于 0.8 的有 共 3 种 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分故从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中随机抽取六名学生,抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分20. (本小题满分 12 分)解: 解法一(1) 设 ,则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分频率组距视力x1.21.00.80.60.2 0.40.66=2 : 2 : 3 : 2 :10.2 0.2 0.3 0.2 0.11x =x0.3 0.2 0.5 0.2 0.7 0.3 0.9 0.2 1.1 0.1x = × + × + × + × + ×3: 2 :1 1 2 3a ,a ,a1 2b ,b 1c( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 3 1 1 1 2 1 12 3 2 1 2 2 2 13 1 3 2 3 11 2 1 12 1a ,a , a ,a , a ,b , a ,b , a ,ca ,a , a ,b , a ,b , a ,ca ,b , a ,b , a ,cb ,b , b ,cb ,c( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1b ,b , b ,c , b ,c15( , )p x y 2 2 2 2| | ( 1) ,| | ( 4)PA x y PB x y= − + = − +∴2 2 2 22 ( 1) ( 4)x y x y− + = − + ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分(2): 直线 与 相切, , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分(3) ,或 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分圆心 到直线 的距离为 或由 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 由 得. 或 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分解法二:(1)同解法一(2)如图所示: , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分(3)过 做 垂足为 ,则 为 的中点,∴2 2 2 24[( 1) ] ( 4)x y x y− + = − +∴2 2 4x y+ =: 4 0l kx y− + = l C ∴ 2421k=+3k = ±1 1| | | | sin 2 2 sin 32 2MONS OM ON MON MON= ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =V3sin2MON∴ ∠ =( )0,MON π∠ ∈3MONπ∴∠ = 23π∴ O l 3 1∴ 2431k=+393k = ±2411k=+ 15k = ±∴393k = ±15k = ±2 1cos4 2CDO∠ = =∴ 030CDO∠ = ∴ 060DEO∠ =∴ 3k = ±O ,OG MN⊥ G G MN 则 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分解得, , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分解得 或 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分21. (本小题满分 12 分)(1)证明:连结 , 底面 是菱形, , 则 为等边三角形,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分又 面 面 ,面 面 , 面面 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分(2)解: 连结 , 是等边三角形, 是 的中点,则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分由(1)得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分如图建立空间直角坐标系则 ,设面 的法向量为由 得 ,令 ,得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分同理, 面 的一个法向量为 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 2 2 22 2 4MN OM OG OG= − = −21 1| | 2 4 32 2MONS MN OG OG OG= ⋅ = ⋅ − ⋅ =V3 1OG OG= =或24= 3,1OGk=+ 24= 1,1OGk=+393k = ±15k = ±BD  ABCD 3DABπ∠ =ABD∆OB AD∴ ⊥ PAD ⊥ ABCDPAD ∩ =ABCD AD OB ⊂ ABCDOB∴ ⊥ PADPO  PAD∆ O AD PO AD⊥PO OB⊥∴ xOy(1,0,0),B(0, 3,0),P(0,0, 3),C(-2, 3,0)A ( 1, 3,0), ( 1,0, 3)AB AP= − = − ABP ( , , )n x y z=00AB nAP n == g g3 03 0x yx z− + =− + = 3x = ( 3,1,1)n =BPC (0,1,1)m = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分二面角 的正弦值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分22.(本小题满分 12 分) (1) 解: ,即 时, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分椭圆Γ的方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 (2)证明:(方法一):由 得 (*) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 点 在椭圆上, ,得 .则直线和椭圆仅有一个公共点为椭圆的公切线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分(方法二):由2 10cos ,55 2n m∴ = =× ∴ A PB C− −155My b≤ ∴ 1 2 1 21 1| | 22 2MF F MS F F y c b bc= ⋅ ≤ ⋅ ⋅ =VMy b= ( )1 2 max 1MF FS bc= =V22cea= =∴112bca = = =∴2221xy+ =22002121xyx xy y+ =⋅ + ⋅ = 2 2 2 20 0 0 0(2 ) 4 4 4 0y x x x x y+ − + − = 0 0( , )x y ∴2200 12xy+ =∴2 20 02 2x y+ =∴2 20 02 4 2 0x x x x− + = ∴202( ) 0x x− =0x x=∴ l2 22 20 02 211x ya bx x y ya b+ =⋅ ⋅ + =得 (*) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分点 在椭圆上, , 得 .则直线和椭圆仅有一个公共点为椭圆的公切线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分(方法三)由得 (*) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分点 在椭圆上, (*)可化为: , 方程组仅有一解.则直线和椭圆仅有一个公共点.为椭圆的公切线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分(方法四):由 得 (*) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 点 在椭圆上, 方程组仅有一解.则直线和椭圆仅有一个公共点.为椭圆的公切线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分(3) 解法一:设 ,切点 , ,则2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 20 0 0 0( ) 2 0a y b x x a b x x b a a y+ − + − = 0 0( , )x y ∴2 20 02 21( 0)x ya ba b+ = ∴2 2 2 2 2 20 0b x a y a b+ =∴2 2 2 2 2 2 2 20 02 0a b x a b xx a b x− + = ∴2 2 2 20 0( 2 ) 0a b x xx x− + =∴2 2 20( ) 0a b x x− = 0x x=∴ l2 22 20 02 211x ya bx x y ya b+ =⋅ ⋅ + =2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 20 0 0 0( ) 2 0a y b x x a b x x b a a y+ − + − = 0 0( , )x y ∴2 20 02 21( 0)x ya ba b+ = ∴2 2 2 2 2 20 0b x a y a b+ =∴2 2 2 2 2 2 2 20 02 0a b x a b xx a b x− + =2 2 0a b ≠ ∆ =2 2 2 2 2 2 2 20 0(2 ) 4 0a b x a b a b x− ⋅ =∴∴ l22002121xyx xy y+ =⋅ + ⋅ = 2 2 2 20 0 0 0(2 ) 4 4 4 0y x x x x y+ − + − = 0 0( , )x y ∴2200 12xy+ =∴2 20 02 2x y+ =∴2 20 02 4 2 0x x x x− + = ∴2 20 0( 4 ) 4 2 2 0x x∆ = − − × × =∴∴ l(2, )P t 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y切线 的方程分别为 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分在切线上 ,都满足直线 AB 的方程为: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分直线 AB 过定点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分解法二:设切点 , ,则切线 的方程分别为 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分在切线上 ,直线 AB 过定点 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分证明如下:, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分三点共线,故直线过定点 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 ,PA PB1121x xy y⋅+ ⋅ = 2 221x xy y⋅+ ⋅ = P ∴ 1 1 1x ty+ = 2 2 1x ty+ =∴ 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y 1x ty+ =1x ty+ =∴ (1,0)1 1( , )A x y 2 2( , )B x y,PA PB1121x xy y⋅+ ⋅ = 2 221x xy y⋅+ ⋅ = P ∴ 1 1 1x ty+ = 2 2 1x ty+ =(1,0)F1 11 111 1 1AFy ykx ty t= = = −− − −2 22 211 1 1BFy ykx ty t= = = −− − −∴ AF BFk k=∴ , ,A F B F宁德市 2020—2021学年度第一学期期末高二质量检测数学试题勘误第 19 题 第三问修改如下:(3)用频率估计概率,若从样本中视力属于第 3 组至第 5 组的所有学生中按分层抽样抽取六名学生,再从这 6 名学生中随机抽取两名,求抽出的学生中有两名视力不低于 0.8 的概率.

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