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福建省龙岩市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(Word版附答案)

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龙岩市 2020~2021 学年第一学期期末高二教学质量检查数 学 试 题(考试时间:120 分钟 满分 150 分)注意事项:1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求. 请把答案填涂在答题卡上.1.命题“ ”的否定是A. B.C. D. ,2.已知椭圆 的一个焦点为 ,则这个椭圆的方程是 A. B. C. D.3.已知向量 ,向量 ,满足 // ,则A. B. C. D.4.下列命题中正确的是A.事件 发生的概率 等于事件 发生的频率B.一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是 ,说明这个骰子掷 6 次一定会出现一次 3 点C.掷两枚质地均匀的硬币,事件 为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件 为“两枚都是正面朝上”,则D.对于两个事件 ,若 , 则事件 与事件 互斥5.“ ”是“方程 表示双曲线”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若双曲线 : 与直线 无交点,则双曲线 的离心率的取值范围是A. B. C. D.7.在等边三角形 中,连接三角形的三边中点,将它分成 4 个小三角形,并将中间的那个小三角形涂成白色后,对其余 3 个小三角2, 1 0x R x x∀ ∈ + − 2, 1 0x R x x∃ ∈ + − 2, 1 0x R x x∃ ∈ + − ≥2, 1 0x R x x∀ ∈ + − ≥ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ − 2 2212x ya+ = )0,3(−F12322=+ yx 12422=+ yx 12522=+ yx 12622=+ yx)2,,1( ma −=→),1,3( nb =→ →a→b =+ nm619619−319319−A ( )P A A ( )nf A16A B( ) ( )2P A P B=A B、 ( ) ( ) ( )P A B P A P B= + A B1 1m− 2 211 2x ym m+ =+ −C )0,0(12222=− babyaxxy 2−= C]3,1( ),3[ +∞ ]5,1( ),5[ +∞ABC(第 7题图)(第 13题图)(第 11题图)A1D1B1FEC1C BAD形重复上述过程得到如图所示的图形,现向三角形 内随机投入 16000 个小图钉(大小忽略不计),则落在白色部分内的图钉个数大约有A.7000 个 B.8000 个 C.9000 个 D.9600 个 8. 在空间直角坐标系 中,已知 动点在线段 上, 为 的中点.设 与 所成的角为 ,则 的最大值为A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.请把答案填涂在答题卡上.9.在平行六面体 中,下列各式中运算结果为 的是A. B. C. D.10.甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙的分数标准差分别为 ,则它们的大小关系为A. B. C. D.11.如图,正方体 的棱长为 ,线段 上有两个动点 ,且 .则下列结论中正确的有A.当 向 运动时, 总成立B.当 向 运动时,二面角 逐渐变小C.二面角 的最小值为 D.三棱锥 的体积为定值12.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过点 且斜率为 的直线交抛物线 于 两点,过线段 的中点 且与 轴平行的直线依次交直线 , ,于点 .则下列结论中正确的有A. B. 是线段 的三等分点C.以 为直径的圆一定与 轴相切 D. 的面积等于 第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.甲、乙两名同学在一个学期内各次数学测试成绩的茎叶图如右图(单位:分),则甲同学得分的中位数与乙同学得分的平均数之差为 分.ABCOxyz ( ), (2,2,0), (1,2, 22,0,0 ), (2,0, 2), (0,2, 2),A B C D E MDE P AB PMACθ θcos732767133510531 1 1 1ABCD A B C D− 1ACuuur1 1 1 1 1AA B C D C− +uuur uuuur uuuur1AB BC CC+ +uuur uuur uuur1 1 1AB C C B C− +uuur uuur uuuur1 1 1AA DC B C+ +uuur uuur uuuur1 2 3, ,s s s1 2s s 1 3s s 2 3s s 2 1s s1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1B D,E F 22EF =E 1D AE CF⊥E 1D A EF B− −E AB C− − °45A BEF−)2: 2 ( 0= C y px p F l F kC ,A B AB M x OA OBl , ,P Q NNP MQ= ,P Q MNFB y AOB∆2 21P kk+14.过点 的直线 与双曲线 交于 两点,且点恰好是线段 的中点,则直线 的方程为 .15.已知 , , .若 平面 ,则 的最小值为 .16.已知抛物线 的焦点 恰好是双曲线 的右焦点,且 与 的交点的连线过点 ,设双曲线 的渐近线的斜率为 ,则 的值为 .四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分 10 分)某地实施乡村振兴战略,对农副产品进行追加投资以提高产品销售量,现对某农产品的追加投资额与销售量进行统计,得到如下数据:追加投资额 (万元) 1 2 3 4 5销售量 (吨) 16 20 23 25 26数据显示追加投资额 (万元)与对应的销售量 (吨)满足线性相关关系.(1)求销售量 (吨)关于追加投资额 (万元)的线性回归方程 ;(2)若追加投资额为 10 万元,预计该产品的销售量为多少吨?参考公式:线性回归方程 中, , .18.(本题满分 12 分)设命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆;命题 空间向量 满足 ;(1)若命题 为真命题,求实数 的取值范围;(2)若命题 有且仅有一个为真命题,求实数 的取值范围.19.(本题满分 12 分)一个不透明的袋子中装有 5 个小球,其中有 3 个红球,2 个白球,这些球除颜色外完全相同.(1)记事件 为“一次摸出 2 个球,摸出的球为一个红球,一个白球”. 求 ;(1,1)P l22 12yx− = ,M N PMN l)2,1,1( −=AB ),1,1( zBC −= )1,,1( −−= yxBP ⊥BP ABC CP21 2 ( 0)C y px p= : F )0,0(122222 =− babyaxC :1C 2C F 2C k 2kxyx yy x ˆˆ ˆy bx a= +ˆˆ ˆy bx a= +( )( )( )121ni iiniix x y ybx x==− −=−∑∑ ˆâ y bx= −:p2 213x ya+ = y:q (1, 2 , ), ( 4,1, 1)= − = − − m a a n a 0⋅  m np a,p q aA ( )P A(第 21题图)QFD1D CBAA1 B1C1(2)记事件 为“第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球,两次摸出的球为不同颜色的球”,记事件 为“第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球,两次摸出的球为不同颜色的球”,求证: .20.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系 中,已知两点 ,动点 到点 的距离为 ,线段 的垂直平分线交线段 于点 ,设点 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;( 2 ) 已 知 点 , 设 直 线 : 与 曲 线 交 于 , 两 点 , 求 证 :.21.(本题满分 12 分)如图,在长方体 中, ,点为底面 的中心,点 为线段 的中点.(1)求二面角 的正弦值;(2)已知点 在侧面 的边界及其内部运动,且 ,求 面积的最小值.22.(本题满分 12 分)已知椭圆 : 的离心率为 ,椭圆 的一个短轴端点恰好是抛物线 : 的焦点 .(1)求椭圆 的方程;(2)过点 的直线交抛物线 于 , 两点,连接 , ,线段 , 的延长线分别交椭圆 于 , 两点,记 与 的面积分别为 、 ,设,求 的取值范围.龙岩市 2020~2021 学年第一学期期末高二教学质量检查数学参考答案一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8BC1( ) ( ) ( )5P C P B P A− =xOy )0,1(),0,1( NM − Q M 22NQ MQ K K EE)0,2(P l 1 0x my+ − = E A BOPA OPB∠ = ∠1 1 1 1ABCD A B C D− 11, 2AB BC AA= = = QABCD F 1BB1 1Q D F C− −P 1 1BB C C 1QD QP⊥1 1D C P△1C2 22 21( 0)x ya ba b+ = 321C2C2 4x y= F1CF 2C M N NO MO NO MO1C A B OMN∆ OAB∆ OMNS∆ OABS∆OMN OABS Sλ ∆ ∆= − λ答案 B C D C A A A B二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)9.BCD 10.AB 11.CD 12.AC12.(只提供 A 选项解析,其余略). 设准线与 轴交于点 ,作 于 , 于 ∴设∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ 三点共线,∵ 轴 ∴∵ ∴ ∴三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.1 14. 15. 16. 16.设 与 交点为 . 则 轴由 得令四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本题满分 10 分)解:(1) , ,, ……………………4 分x 1F 1 ⊥AA l 1A 1 ⊥BB l 1B2 222 022 = + ⇒ − − = =px tyy pty py px22+ = = −A BA By y pty y p1( , ), ( , )2− A B BpA y B x y12 2,= − = =A BOA OBB By y pk kp x y2= −A By y p2 2 2−= ∴ = = − AB OBA Bp p yy ky y p1=OA OBk k 1, ,O A B/ /MN x 11 1| | | | | | | || | | | | | | |= = =NQ AQ AP PMFO AO AO OF1| | | |=FO OF | | | |=NQ PM | NP | | MQ |=2 1 0x y− − = 5 2+2 21C 2C ,A B ⊥AB x( ,0) 22 2∴ = ∴ =p pF c p c2 22 21− =c ya b422= bya22| | 2∴ = = ∴ =bAF p b aca4 2 2 24 ( )∴ = +b a a b4 2 2 44 4 0∴ − − =b a b a22 224 4 0 ( 2) 8 2 2 2= ∴ − − = ∴ − = ∴ = +bt t t t ta2222 2 2∴ = = +bka1(1 2 3 4 5) 35x = × + + + + = ( )1 16 20 23 25 26 225y = × + + + + =( )( )51(1 3) (16 22) (2 3) (20 22) (3 3) (23 22)i iix x y y=− − = − × − + − × − + − × −∑(4 3) (25 22) (5 3) (26 22) 25+ − × − + − × − = (第 12题图),, ,所以 关于 的线性回归方程为 .……………………8 分(2)当 时, .答:追加投资额为 10 万元时,预计该产品的销售量为 39.5 吨. ……………10 分18.(本题满分 12 分)解:(1)由题意,若命题 为真命题,则 ,所以 的取值范围为 ……4 分 (2)若命题 为真命题,则 得 ……………………7 分若命题 、 有且仅有一个为真命题,则“ 真 假”或“ 假 真”当 真 假时, ,此时不等式组无解. …………………9 分 当 假 真时, , 此时 ……………11 分综上所述, 的取值范围是 ……………………12 分19.(本题满分 12 分)解:(1)记这 3 个红球为 ,2 个白球记为 ,则从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件为: , , , , , , ,, , 共 10 个,其中满足事件 的基本事件有 6 个,所以 . ………………4 分(2)从袋中第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件为 , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , ,, , 共 25 个,满足事件 的基本事件有 12 个,所以. ………7 分从袋中第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事件为, , , , , , , , , , , , , , ,0 31 4aa a  ≤ − ≥ 或AB( )52 2 2 2 2 21(1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 10iix x=− = − + − + −+− + − =∑( ) ( )( )5152125ˆ 2.510==− −∴ = = =−∑∑i iiiix x y ybx xˆˆ 22 2.5 3 14.5a y bx= − = − × =y x ˆ 2.5 14.5y x= +10=x ˆ 25 14.5 39.5= + =yp 0 3a a (0,3).q2(1, 2 , ) ( 4,1, 1) 4 2 ( 1) 3 4 0⋅ = − ⋅ − − = − − + − = − −  m n a a a a a a a a1 4a− p q p q p qp qp q0 31 4a aa≤ ≥ − 或1 0 3 4a a− ≤ ≤ 或a ( 1,0] [3, 4).− 1 2 3, ,a a a 1 2,b b( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )2 3,a a ( )2 1,a b ( )2 2,a b( )3 1,a b ( )3 2,a b ( )1 2,b b( ) 6 310 5P A = =( )1 1,a a ( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )2 1,a a ( )2 2,a a( )2 3,a a ( )2 1,a b ( )2 2,a b ( )3 1,a a ( )3 2,a a ( )3 3,a a ( )3 1,a b ( )3 2,a b( )1 1,b a ( )1 2,b a ( )1 3,b a ( )1 1,b b ( )1 2,b b ( )2 1,b a ( )2 2,b a( )2 3,b a ( )2 1,b b ( )2 2,b b( ) 1225P B =( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )2 1,a a ( )2 3,a a ( )2 1,a b ( )2 2,a b( )3 1,a a ( )3 2,a a ( )3 1,a b ( )3 2,a b ( )1 1,b a ( )1 2,b a ( )1 3,b a(第 21题图)QFD1D CBAA1 B1C1, , , , 共 20 个,满足事件 的基本事件有 12 个,所以 . ………10 分因此: ,又 ,所以 . ………12 分20.(本题满分 12 分 )解:(1)∵线段 的垂直平分线交 于点 K,∴ ,∴点 K 的轨迹是以原点为中心,以 M,N 为焦点的椭圆. …………………3 分设椭圆方程为 ,则 ,所以曲线 的方程为 ……………………5 分(2)由 消去 可得 .设 , ,则 , . …………………8 分易知 , 的斜率存在,则…10 分又因为所以 ,所以 . ……………………12 分21.(本题满分 12 分)解:(1)如图所示,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.由已知可得:所以 ,设平面 的法向量 ,由 ,得 ,可取 .…………………………………3 分易知 ,所以取平面 的法向量 …………4 分所以 ,所以( )1 2,b b ( )2 1,b a ( )2 2,b a ( )2 3,b a ( )2 1,b b C( ) 12 320 5P C = =( ) ( ) 3 12 35 25 25P C P B− = − =( ) 35P A = ( ) ( ) ( )15P C P B P A− =NQ MQ| | | |KN KQ= MNMQKQKMKNKM ===+=+∴ 2222 22 21( 0)+ = x y a ba b1,1,2 === bcaE 1222=+ yx22 121 0xyx my+ = + − =x ( )2 22 2 1 0m y my+ − − =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 222my ym+ =+ 1 2 212y ym= −+PA PB,)1)(1(21122 21212122112211mymyymyyymyymyyxyxykk PBPA ++++−=−−+−−=−+−=+022222222121=+−+=++mmmmymyyy0=+ PBPA kk OPA OPB∠ = ∠1,, DDDCDA x y z)1,1,1(),0,21,21(),2,0,0(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0( 11 FQDCCAD)0,1,1(),0,1,0(),1,1,1( 111 −==−= CACDFD11FCD ),,(1 zyxn =1 11 1 100 ⋅ =⋅ =  n D Fn D C00 0 0x y zx y z+ − = + + =1 (1,0,1)=nQFDAC 1平面⊥QFD1 )0,1,1(2 −== CAn1 21 21 2| | 1cos ,2| | | |⋅ = =⋅   n nn nn n 1 23sin ,2n n = 故二面角 的正弦值为 . ……………………6 分(2)由已知可设点 P 的坐标为 ,则 , ,由 得: 得: ……………………………………………………………8 分,又即 为直角三角形, …9 分又所以当 时,综上可得 面积的最小值为 ……………………12 分22.(本题满分 12 分)解:(1)因为椭圆 的一个短轴端点恰好是抛物线 : 焦点 ,所以 由 解得所以椭圆 的方程为 ……………………4 分(2)因为过 的直线交 于 , 两点,所以直线的斜率存在,设直线方程为 , ,联立 ,故 . 恒成立, ,由 , 故所以 ……………………7 分不妨设所以设直线 : ,则 ,解得 ,设直线 : ,1 1Q D F C− −23)20,10)(,1,( 0000 ≤≤≤≤ zxzx),21,21( 00 zxQP −= )2,21,21(1 −−=QD )2,0,( 001 −= zxPC1QD QP⊥ 1 0 01 1 1( ) 2 02 2 4QD QP x z⋅ = − − − + = 00 4zx =0 0 010 1 0 4 1 04x z z≤ ≤ ∴ ≤ ≤ ∴ ≤ ≤CBCBCD 1111 平面⊥ CBCBPC 111 平面⊂PCCD 111 ⊥∴ PCD 11∆ PCPCCDS CPD 1111 21211=⋅=∴ ∆1764)172(174416)2( 200202202021 0+−=+−+=−+= zzzzzxPC02 1[0, ]17 4z = ∈17178min1=PC1 1D C P△171741C 2C2 4x y= ( )0,1F1.b = 2 2 23 , ,2ca b ca= = + 2,a =1C22 14xy+ =F 2C M N1y kx= + ( ) ( )1 1 2 2,, ,M x y N x y2 41x yy kx == +2 4 4 0x kx− − = 216 16 0k∆ = + 1 21 244x x kx x+ = = −1 2 1 21 112 2OMNS OF x x x x∆ = × − = × × −( )2 22 21 2 1 2 1 21 14 4 4,4 4OMNS x x x x x x k∆  = − = + − = + 22 1OMNS k∆ = +( )2 2,N x y 在第一象限,ON 1y k x= )0( 1 k122 14y k xxy=+ =12 21 122,4 1 4 1kAk k −−  + + OM 2y k x=同理 ,可得 .又因为点 到直线 的距离所以 .所以综上: 的取值范围是 . ………………………12 分22 22 222,4 1 4 1kBk k   + + 2 21 21 2 1 21 21 2 1 214 4 ,16 4x xy y x xk kx x x x= ⋅ = = = −⋅又因为12 21 14 1,4 1 4 1kBk k −  + + A OB2 12 2 21 1 122122 21 4 1 4 4 12 ,16 11k kk k kdkk− ++ + += =++2 21 12 21 116 1 4 11 12 12 2 4 1 16 1OABk kS d OBk k∆+ += ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ +22 1 1 1.OMN OABS S kλ ∆ ∆= − = + − ≥λ [1, )+∞

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