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北京市西城区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(Word版附答案)

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北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 2021.1本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分(选择题 共 50 分)一、选择题共 10小题,每小题 5分,共 50分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则复数 (A) (B) (C) (D)(2)在 的展开式中,只有第 项的二项式系数最大,则 (A) (B) (C) (D)(3)椭圆 的焦点坐标为 (A) , (B) ,(C) , (D) ,(4)已知直线 , .若 ,则实数(A) 或 (B) 或(C) 或 (D) 或(5)已知平面 平面 , .下列结论中正确的是(A)若直线 平面 ,则 (B)若平面 平面 ,则(C)若直线 直线 ,则 (D)若平面 直线 ,则(6)将 张座位编号分别为 的电影票全部分给 人,每人至少 张.如果分给同一人的 张电影票具有连续的编号,那么不同的分法种数是(A) (B)(C) (D)(7)已知双曲线 的两个焦点是 ,点 在双曲线 上.若 的离心率z (2,1) z =2 i− 1 2i− 2 i+ 1 2i+( )na b+ 4 n =4 5 6 72 2117 8x y+ =(5,0) ( 5,0)− (3,0) ( 3,0)−(0,5) (0, 5)− (0,3) (0, 3)−1 : 1 0l ax y− − = 2 : ( 2) 1 0l ax a y+ + + = 1 2l l⊥ a =1− 1 0 11− 2 3− 2α ⊥ β lα β =m ⊥ α //m β γ ⊥ α //γ βm ⊥ l m β⊥ γ ⊥ l γ β⊥4 1, 2, 3, 4 3 1224 1812 62 22: 116x yCa− = 1 2,F F P C C为 ,且 ,则 (A) 或 (B) 或(C) 或 (D) 或(8)在正三棱锥 中, , ,则直线 与平面 所成角的大小为(A) (B)(C) (D)(9)已知圆 的方程为 ,圆 的方程为 ,其中.那么这两个圆的位置关系不可能为(A)外离 (B)外切(C)内含 (D)内切(10)点 在直线 上,若椭圆 上存在两点 ,使得 是等腰三角形,则称椭圆 具有性质 .下列结论中正确的是(A)对于直线 上的所有点,椭圆 都不具有性质(B)直线 上仅有有限个点,使椭圆 具有性质(C)直线 上有无穷多个点(但不是所有的点),使椭圆 具有性质(D)对于直线 上的所有点,椭圆 都具有性质第二部分(非选择题 共 100 分)二、填空题共 6小题,每小题 4分,共 24分。(11)已知复数 ,则 ___. 53 1| | 10PF = 2| |PF =4 16 7 137 16 4 13P ABC− 3AB = 2PA = PA ABC30° 45°60° 75°1O2 2( ) ( ) 4x a y b− + − = 2O2 2( 1) 1x y b+ − + =,a b ∈ RM : 2l x =22: 14yC x + = ,A B MAB△C Pl C Pl C Pl C Pl C Pi (1 i)z = ⋅ + | |z =(12)若双曲线 的焦距为 ,则 ___; 的渐近线方程为___. (13)设 ,则 ___.(14)在空间直角坐标系 中,已知点 ,则直线 与 所成角的大小是___.(15)已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 在抛物线上, 于点 .若是锐角三角形,则点 的横坐标的取值范围是___. (16)如图,正方体 的棱长为 , 分别为 的中点, 是底面 上一点.若 平面 ,则 长度的最小值是___;最大值是___.三、解答题共 6小题,共 76分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(17)(本小题 10 分)生物兴趣小组有 名学生,其中正、副组长各 名,组员 名.现从该小组选派 名同学参加生物学科知识竞赛.(Ⅰ)如果正、副组长 人中有且只有 人入选,共有多少种不同的选派方法?(Ⅱ)如果正、副组长 人中至少有 人入选,且组员甲没有入选,共有多少种不同的选派方法?222: 1( 0)yC x bb− = 2 5 b = C4 4 3 24 3 2 1 0( 2)x a x a x a x a x a− = + + + + 1 2 3 4a a a a+ + + =Oxyz (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,0,1)A B C D ADBC2 4y x= F l P PQ l⊥ QPQF△ P1 1 1 1ABCD A B C D− 1 ,E F 1 1 1 1,B C C D P1 1 1 1A B C D //AP BEF AP12 1 10 32 12 1(18)(本小题 12 分)已知圆 过原点 和点 ,圆心在直线 上.(Ⅰ)求圆 的方程;(Ⅱ)直线 经过点 ,且 被圆 截得的弦长为 ,求直线 的方程.(19)(本小题 13 分)如图,在正三棱柱 中, , 分别是 的中点.(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求证: 平面 .(20)(本小题 13 分)如图,设点 在 轴上,且关于原点 对称.点 满足 ,且 的面积为 .(Ⅰ)求点 的坐标;(Ⅱ)以 为焦点,且过点 的椭圆记为 .设 是 上一点,且 ,求 的取值范围.(21)(本小题 14 分)C O (1,3)A 1y =Cl O l C 2 l1 1 1ABC A B C− 1AB AA= , ,D E F 1 1, ,BC BB AA//CF ADE1BC ⊥ ADE,A B x O P1tan 2, tan2PAB PBA∠ = ∠ =PAB△ 20P,A B P C 0 0( , )M x y C 01 3x− 0y如图,在四棱锥 中, 平面 , 为 的中点,底面 是边长为 的正方形,且二面角 的余弦值为 .(Ⅰ)求 的长;(Ⅱ)求点 到平面 的距离.(22)(本小题 14 分)已知椭圆 的一个焦点为 , , ,且.(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)过点 的直线交椭圆 于点 .记 和 的面积分别为 和 .当 时,求直线 的方程.北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2021.1一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)( 1) A ( 2) C ( 3) B ( 4) C ( 5) D( 6) B ( 7) A ( 8) A ( 9) C (10)D二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)(11) (12) (13) (14)(15) (16) 注:(12)、(16)题每空 2分。P ABCD− PD ⊥ ABCD E AD ABCD2 P BE C− − 66PDC PEB2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b+ = ( 1,0)F − 1( ,0)A a− 2 ( ,0)A a2| | 3A F =CF C ,M N 1A MN△ 2A MN△ 1S 2S2 112 27S S− = MN2 2 2y x= ±15− 60°(1, )+∞3 2452三、解答题(共 6 小题,共 76 分)(17)(共 10 分)解:(Ⅰ)正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选,选派方法数为 . ……3 分 (Ⅱ)正、副组长 2 人都入选,且组员甲没有入选,选派方法数为 . ……6 分正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为. ……9 分所以正、副组长 人中至少有 人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为. ……10 分(18)(共 12 分)解:(Ⅰ)设圆 的圆心坐标为 . ……1 分依题意,有 , ……3 分解得 . ……4 分从而圆 的半径为 , ……5 分所以圆 的方程为 . ……6 分 (Ⅱ)依题意,圆 的圆心到直线 的距离为 . ……7 分显然直线 符合题意. ……8 分当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,即 . ……9 分所以 , ……10 分解得 . ……11 分所以直线 的方程为 . ……12 分综上,直线 的方程为 或 .1 22 10C C 90⋅ =2 12 9C C 9=1 22 9C C 72=2 19 72 81+ =C ( ,1)a2 2 2 21 ( 1) 2a a+ = − +2a =C 2 21 5r a= + =C 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − =C l 20x =l y kx= 0kx y− =2| 2 1|21kk− =+34k = −l34y x= −l 0x = 3 4 0x y+ =(19)(共 13 分)解:(Ⅰ)设 ,连接 .因为 为正三棱柱,且 , 所以侧面 为正方形. …… 1 分因为 分别是 的中点,所以 是 的中点. …… 2 分又因为 是 的中点,所以 . …… 4 分因为 平面 , 平面 , …… 5 分所以 平面 . …… 6 分 (Ⅱ)因为 为正三角形,所以 . …… 7 分又 平面 ,所以 . …… 8 分所以 平面 . …… 9 分所以 . …… 10 分连接 .因为侧面 为正方形,所以 . …… 11 分所以 . …… 12 分AE BF O= OD1 1 1ABC A B C− 1AB AA=1 1A ABB,E F 1 1,BB AAO BFD BC//OD CFOD ⊂ ADE CF ⊄ ADE//CF ADEABC△AD BC⊥1CC ⊥ ABC1AD CC⊥AD ⊥ 1 1B BCC1BC AD⊥1B C1 1B BCC1 1BC B C⊥1BC DE⊥所以 平面 . …… 13 分(20)(共 13 分)解:(Ⅰ)设 .则直线 的方程为 ,直线 的方程为 . …… 2 分 由 解得 所以 . …… 3 分故 的面积 . …… 4 分所以 ,解得 . ……5 分所以点 的坐标为 . ……6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 .所以 , . ……8 分设以 为焦点且过点 的椭圆方程为 . 则 ,又 , ……10 分所以椭圆 的方程为 . ……11 分所以 , 即 .因为 ,所以 .所以 . ……12 分所以 的取值范围是 . ……13 分(21)(共 14 分)解:(Ⅰ)依题意, 两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系 . ……1 分1BC ⊥ ADE( ,0), ( ,0)A c B c−PA 2( )y x c= + PB1( )2y x c= − −2( ),1( ),2y x cy x c= + = − −3,54.5cxcy = − =3 4( , )5 5c cP −PAB△ 21 4| | | |2 5PS AB y c= ⋅ =24 205c =5c =P ( 3,4)−( 5,0), (5,0)A B−2 2| | ( 3 5) 4 2 5PA = − + + = 2 2| | ( 3 5) 4 4 5PB = − − + =,A B P2 22 2: 1x yCa b+ =1(| | | |) 3 52a PA PB= + = 2 2 2 20b a c= − =C2 2145 20x y+ =2 20 0 145 20x y+ =22 00 20(1 )45xy = −01 3x− 200 9x ≤2016 20y ≤0y [ 2 5, 4) (4,2 5]− − , ,DA DC DPD x yz−设 .由题意得 , , .所以 , .设平面 的法向量为 , 则  即 ……4 分令 ,则 , . 于是 . ……6 分又因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 . ……7 分依题意,有 , ……9 分解得 ,所以 . ……10 分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,平面 的法向量为 . ……11 分又 ,所以 . ……12 分所以点 到平面 的距离为 . ……14 分(22)(共 14 分)解:(Ⅰ)依题意,椭圆 的半焦距 , ……1 分 所以 .解得 . ……2 分所以 . ……3 分所以椭圆 的方程为 . ……4 分( 0)PD h h= (1,0,0)E (2, 2,0)B (0,0, )P h(1,0, )PE h= −(1,2,0)EB =PEB 0 0 0( , , )x y z=n0,0,PEEB ⋅ =⋅ =nn0 00 00,2 0.x z hx y− = + =0 2x = 0 1y = − 02zh=2(2, 1, )h= −nPD ⊥ ABCDABCD (0,0,1)=m2 2 226cos ,| || | 622 1 ( )hh⋅〈 〉 = = =+ +m nm nm n2h =2PD =PEB (2, 1,1)= −n(0, 2,0)C( 2,0,0)BC = −C PEB| | 2 63BC ⋅ =n| n |C 1c =2| | 3A F a c= + =2a =2 2 2 3b a c= − =C2 214 3x y+ = (Ⅱ)当直线 的斜率不存在时,其方程为 . 此时 ,或 .所以 , ,即 ,不合题意. ……5 分 当直线 的斜率存在时,设其方程为 .由 得 . ……6 分设 ,则 , . ……8 分 因为 , , 所以 ……10 分 . ……12 分令 , 解得 . ……13 分所以直线 的方程为 ,或 . ……14 分MN 1x = −3 3( 1, ), ( 1, )2 2M N− − − 3 3( 1, ), ( 1, )2 2M N− − −132S = 292S = 2 1 3S S− =MN ( 1) ( 0)y k x k= + ≠2 2( 1),3 4 12y k xx y= ++ =2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − =1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y21 2 283 4kx xk+ = −+21 2 24 123 4kx xk−=+1 1 1 21| | (| | | |)2S A F y y= + 2 2 1 21| | (| | | |)2S A F y y= +2 1 1 2 1 212 (| | | |) | |2S S y y y y− = × × + = − 1 2| ( ) |k x x= −21 2 1 2| | ( ) 4k x x x x= + −2212 | | 13 4k kk+=+2212 | | 1 12 23 4 7k kk+ =+1k = ±MN 1 0x y− + = 1 0x y+ + =

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