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石景山区 2020-2021 学年第一学期高二期末试卷数 学一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 直线 过点 ,倾斜角为 ,则直线 的方程为A. B. C. D.2.设 是椭圆 上的动点,则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A. B. C. D.3.已知 , 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是A.若 则 B.若 , ,则C.若 , ,则 D.若 , ,则4. 两条平行线 : ,与 : 间的距离为 A. B. C. D.5.在正方体 中, 为棱 的中点,则A. B. C. D.6.用数字 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为A.24 B.48 C.60 D.722l123565考生须知1.本试卷共 4 页,共三道大题,20 道小题,满分 100 分.考试时间 120 分钟. 2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,选择题、作图题请用 2B 铅笔作答,其他试题请用黑色字迹签字笔作答,在试卷上作答无效.l ( 1, 2)P − 45 l1 0x y− + = 1 0x y− − =3 0x y− − = 3 0x y− + =P2 215 3x y+ = P2 2 2 3 2 5 4 2m n α/ / , / / ,m nα α / /m n m α⊥ n α⊂ m n⊥m α⊥ m n⊥ / /n α / /m α m n⊥ n α⊥3 4 1 0x y− − = 6 8 7 0x y− − =11 1 1 1ABCD A B C D− E CD1 1A E DC⊥ 1A E BD⊥ 1 1A E BC⊥ 1A E AC⊥1, 2,3, 4,5A FDBCGE1BH 1C1D1A7. 如图,在正方体 中,分别为 , , , 的中点,则异面直线与 所成的角大小等于(  )A. B. C. D.8.直线 与圆 相切,则 的值是A. 或 B. 或 C. 或 D. 或9.若圆 与圆 外切,则A. B. C. D.10.如图,P 是边长为 的正方体 ABCD—A1B1C1D1对角线 AC1 上 一动点,设 AP 的长度为 x,若△PBD 的面积为 ,则的图象大致是A BC D二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 在 的二项展开式中,常数项等于__________.(用数字作答)12. 已知双曲线标准方程为 ,则其焦点到渐近线的距离为 . 13. 已知平面 .给出下列三个论断:① ;② ;③ ∥ .以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:____.yxOyxOyxOyxO62( )xx−22 13xy− =1 1 1 1ABCD A B C D− E F G H, , ,1AA AB 1BB 1 1B C EFGH45 60 90 1203 4x y b+ = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = b2− 12 2 12− 2− 12− 2 122 21 : 1C x y+ =2 22 : 6 8 0C x y x y m+ − − + = m =21 19 9 11−1( )f x ( )f x, ,α β γ α β⊥ α γ⊥ β γD1 C1B1A1PDCBA14.已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形.若 为底面 的中心,则 与平面 所成角的大小为________. 15. 已知 是抛物线 的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .若为 的中点,则 __________. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 40 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 7分)在平面直角坐标系 中,曲线 与坐标轴的交点都在圆 C 上,求圆 C 的方程.网 Z|X|X|K]17. (本小题满分 7分)如图,在四面体 中, , ,点 、 分别是 、 的中点,求证:(Ⅰ)直线 平面 ; (Ⅱ)平面 平面 .18.(本小题满分 7 分)已知△ 的三个顶点是 , , .(Ⅰ)求 边的高所在直线 的方程;(Ⅱ)若直线 过 点,且 到直线 的距离相等,求直线 的方程.19.(本小题共 9 分)已知在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形, 是正三角形,F C : 2 4y x= M C FM y NM FN FN =ABCDP − ABCD 4 PAD△ CD1 1 1ABC A B C−943P 1 1 1A B C PA ABCxoy 2 1= − +y xABCD CB CD= AD BD⊥ E F AB BDEF ∥ ACD EFC ⊥ BCDABC (1,1)A ( 1,3)B − (3,4)CBC 1l2l C ,A B 2l 2lFEDCBAOEFGPCDBA⊥平面 , 分别是 的中点.(Ⅰ)求证: ⊥平面 ;(Ⅱ)求平面 与平面 所成锐二面角的大小.20. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 的右焦点为 ,离心率为 . 直线 过点 且不平行于坐标轴, 与 有两个交点 ,线段 的中点为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)证明:直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值;(Ⅲ)延长线段 与椭圆 交于点 ,若四边形 为平行四边形,求此时直线 的斜率.石景山区 2020—2021 学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本小题满分 7 分)PAD OGFE 、、、 ADBCPDPC 、、、PO ABCDEFG ABCD题号 11 12 13 14 15答案①③ ② 或②③ ①2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b+ = (1,0)F22l Fl C ,A B AB MCOM lOM C P OAPB lD C B A C D B D C A160− 1⇒⇒60 3解:曲线 与 轴的交点为 , ………………1 分与 轴的交点为 ………………2 分 设圆的方程为 ……3分,则 ,解得 . ……6分故圆的方程为 . ………………7 分17.(本小题满分 7 分)解:(Ⅰ) 易知中位线 ,而 面 , 面∴ 平面 . ……3分(Ⅱ) ∵ , ,∴ ……4分又 , 是 的中点,∴ ……5分∵ ,∴ 面 ……6分又 面 ,平面 平面 . ……7分18.(本小题满分 7 分)解:(Ⅰ)因为 ,又直线 与 垂直, 所以直线 的斜率 , ……2 分所以直线 的方程是 ,即 . ……3 分(Ⅱ)因为直线 过 点且 到直线 的距离相等,所以直线 与 平行或过 的中点 , ……4 分因为 ,所以直线 的方程是 ,即 . ……5 分 因为 的中点 的坐标为 ,所以 ,所以直线 的方程是,即 . ……7 分 综上,直线 的方程是 或 . 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =2 2( 4 0)D E F+ − 2 1= − +y x y (0,1)x (- 1,0),(1,0)1+ 01 01 0+ = − + = + + =E FD FD F0, 0, 1= = = −D E F2 2 1 0+ − =x yEF AD∥ AD ⊂ ACD EF ⊄ ACDEF ∥ ACDEF AD∥ AD BD⊥ EF BD⊥CB CD= F BD CF BD⊥EF CF F= BD ⊥ EFCBD ⊂ BCD EFC ⊥ BCD4 3 13 1 4BCk−= =+ 1l BC1l14BCkk= − = −1l 4( 1) 1y x= − − + 4 5 0x y+ − =2l C ,A B 2l2l AB AB M3 111 1ABk−= = −− −2l ( 3) 4y x= − − + 7 0x y+ − =AB M (0, 2)4 2 23 0 3CMk−= =− 2l2( 3) 43y x= − + 2 3 6 0x y− + =2l 7 0x y+ − = 2 3 6 0x y− + =19.(本小题满分 9 分)证明:(Ⅰ)因为△ 是正三角形, 是 的中点,所以 . 又因为 平面 , 平面 ,所以 . , 平面 , 所以 面 . ……………4 分(Ⅱ)如图,以 点为原点分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.则 ,, ,设平面 的法向量为令 ,则 , ……………6 分又平面 的法向量 , ……………7 分设平面 与平面 所成锐二面角为 ,所以 .所以平面 与平面 所成锐二面角为 . ……………9 分20.(本小题满分 10 分)解:(Ⅰ)由已知 , , …………1 分 又 ,解得 …………2 分 所以椭圆方程为 . …………3 分 (Ⅱ)设直线 的方程为PAD O AD ⊥PO AD⊥CD PAD ⊂PO PAD ⊥PO CDDCDAD =∩ ⊂CDAD, ABCD⊥PO ABCDO OA OG OP x y z)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0( PGDCBAO −−)3,0,1(),3,2,1( −− FE )3,2,1(),0,2,0( −=−= EGEFEFG ),,,( zyxm ==−+=−,032,02zyxy1=z )10,3( ,=mABCD )1,0,0(=nEFG ABCD θ21||||||cos =⋅=nmnmθEFG ABCD3π1c = 22cea= =2 2 2a b c= + 2 , 1a b= =22 12xy+ =l ( 1) ( 0)y k x k= − ≠OzyxEFGPCDBA 联立 消去 得 ,不妨设 ……4 分 则 ,因为 为线段 的中点 所以 , ………5 分 所以 ………6 分 所以 为定值. …………7 分 (Ⅲ)若四边形 为平行四边形,则 …………8 分 所以 因为点 在椭圆上,所以 ……9 分 解得 即 所以当四边形 为平行四边形时,直线 的斜率为 . ………10 分(以上解答题,若用其它方法,请酌情给分)22( 1) (120)y k kxxy = − ≠=+ y2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y21 2 242 1kx xk+ =+M AB21 2222 2 1Mx x kxk+= =+ 2( 1)2 1M Mky k xk−= − =+12MOMMykx k−= =1 12 2OM lk k kk−× = × = −OAPB OA OB OP+ =  21 2 242 1Pkx x xk= + =+1 2 1 2 1 2 22( 1) ( 1) ( 2)2 1Pky y y k x k x k x xk−= + = − + − = + − =+P22 22 24 2( ) 2 ( ) 22 1 2 1k kk k−+ × =+ +2 12k = 22k = ±OAPB l 22k = ±

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