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北京市平谷区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(Word版附答案)

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平谷区 2020—2021 学年度第一学期质量监控 高二数学试卷 2021.1考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间为 120分钟 .2. 试题所有答案必须书写在答题卡上,在试卷上作答无效.3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求保存好.第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分;在每个小题列出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)1. 直线 经过 两点,那么其斜率 为A. B. C. D. 2. 已知圆的方程 ,那么圆心和半径分别为A. B. C. D. 3. 抛物线 的焦点到准线的距离是 A. B. C. D. 4. 双曲线 的离心率 ,那么 的值是A. B. C. D. 5. 如图,以长方体 的顶点 为坐标原点,过 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如果 的坐标l )()( 5231 ,B,,A - k2322123−423 22 =−++ )()( yx223 ,),( - 223 ,, )( −423 ,),( - 423 ,, )( −xy 42 =1 2 3 4( )017222=− ayax34=e a9 4 3 21 1 1 1ABCD A B C D− D D1DB为 ,那么 的坐标是A. B.C. D. 6. 甲、乙两名同学相约学习某种技能,该技能需要通过两项考核才能拿到证书,每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是 ,通过第二项考核的概率是 ;乙同学拿到该技能证书的概率是 , 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是A. B. C. D.7. 某校高一年级随机抽取 15名男生,测得他们的身高数据,如下表所示:编号 身高 编号 身高 编号 身高1 173 6 169 11 1682 179 7 177 12 1753 175 8 175 13 1724 173 9 174 14 1695 170 10 182 15 176那么这组数据的第 80百分位数是A. B. C. D.8. 已知椭圆 的右顶点 到双曲线 的一条渐近线距离为 ,那么A. B. C. D. ( )345 ,, 1AC( )345 ,,- ( )345 -- ,,( )354 ,,- ( )345 -- ,,451213131511152335175 176 5176. 170( )2 21 99x ymm+ = A 146=−22 yx6=m10 15 24 2259. 已知点 是圆 上的动点, 到直线 的距离为 ,当变化时, 的最大值为A. B. C. D. 10.如图,在三棱柱 中, 底面 , ,点 是 上的动点.下列结论错误的是A. B. 存在点 ,使得 ∥平面C. 不存在点 ,使得平面 D. 三棱锥 的体积是定值第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11. 用简单随机抽样的方法从含有 100个个体的总体中抽取一个容量为 25的样本,那么个体 被抽到的概率是 . 12. 经过点 ,且与直线 平行的直线方程是 . 13.过抛物线 焦点作直线 ,交抛物线于 两点.若线段 中点 的横坐标为 ,则等于 .14.设以原点为圆心的圆与 轴交 两点,如果以 为焦点的椭圆与圆总有公共点,那么椭圆的离心率取值范围是 . 15. “曲线 与圆 有且仅有三个公共点”的充要条件是P 0424 22 =−++− yyxx P 2 1 0mx y+ − = dm d232532111 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC CBAC ⊥ D AB1AC BC⊥D 1AC 1CDBD 1CDB BBAA 11平面⊥11 CDBA −m)( 20,P 131 −= xyl :xy 62 = l B,A AB M 2|| ABx B,A B,A )( 012222=+ babyax3+= xky 05422 =−−+ xyx . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 85 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16. (本小题满分 14分)在新冠肺炎疫情期间,为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求,各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况,从某校高二年级随机抽取了 100 名学生,获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在 , , (单位:小时)的数据,整理得到的数据绘制成频率分布直方图(如图).(Ⅰ)由图中数据,求 的值,并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居家自主学习的时间在 的概率;(Ⅱ)现从抽取的 100名学生该天居家自主学习的时间在 和 的人中任选 2人,进一步了解学生的具体情况,求其中学习时间在 中至少有 1人的概率;[ ) [ ) [ )322110 ,, ,,, [ ) [ ) [ )655443 ,, ,,, [ ) [ ]8776 ,,,a[ )43,[ )10, [ )21,[ )10,0 1 2 3 4 5 6 7 8 小时频率组距0.300.200.15a0.050.030.02(III)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替,试估计样本中的 100名学生该天居家自主学习时间的平均数.17. (本小题满分 14分)如图,四棱锥 的底面是矩形,侧棱 底面 , 是 的中点 , .(Ⅰ) 求证: 平面 ;(Ⅱ) 求直线 与平面 所成角的正弦值;(Ⅲ)求点 到平面 的距离.18.(本小题满分 14分)期末考试结束,高二(1)班班主任张老师从班里的 40名学生中,随机抽取 10名同学的语文和数学成绩进行抽样分析,研究学生偏科现象.将 10名学生编号为 1,2,3……10,再将他们的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下:P ABCD− PA ⊥ ABCD E PD2 1 2PA ,AB ,AD= = =//PB ACECP ACEP ACEAPB CDE语文数学成绩学生编号(Ⅰ)从这 10名学生中随机抽取一名学生,求抽取的这名学生两科成绩相差大于 10分的概率;(Ⅱ)从两科成绩均超过 70分的学生中随机抽取 2人进行访谈,求这 2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率;(Ⅲ)设该班语文和数学两科成绩的平均值分别为 ,方差分别为 ,根据折线图,试推断 和 , 和 的大小关系(直接写出结论,不需证明)。19.(本小题满分 14分)如图,平面 ⊥平面 ,四边形 是边长为 的正方形, ,, 为 的中点,点 在线段 上. (Ⅰ)求证: 平面 ;(Ⅱ)若存在点 ,使得平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ,求 的值. 20. (本小题满分 14分)已知椭圆 的离心率 ,且过点 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程;1 2X X、 1 2D D、1X 2X 1D 2DABCD CDE ABCD 2 DC CE=90DCE∠ = ° F DE P BEDE ⊥ BCFP CFP BCF33BPBE)0(12222=+ babyax 32e = B(0, 1)CPFEDBA(Ⅱ)设椭圆右顶点为 ,直线 过点 ,且与椭圆交于另一点 (不同于 点),若有,求直线 方程.21.(本小题满分 15分)已知椭圆 : 的左、右焦点分别为 , ,点 在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;(Ⅱ)若直线 与圆 相切,且与椭圆 交于不同的两点 ,设 ,求 的取值范围.平谷区 2020—2021 学年第一学期质量监控高二数学 2021、1一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B C A D C B D C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)11. 12. 13. 7 14. 15. 三、解答题共 6 小题,共 85 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. (本小题满分 14分)A l B C ABA AC⊥ lC )0(12222=+ babyax1( 1,0)F − 2 (1,0)F3(1, )2PCl 2 2 1x y+ = C A,B =OA OBλ ⋅ λ4123 += xy 1,22512−解:(Ⅰ)因为 , 所以 . ……………3分由图可得:随机抽取的 100名学生中居家自主学习时间该天在 的频率为 ,所以从该校高二年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居家自主学习时间在 的概率为. …………5分(Ⅱ)设“抽取的 2人其中学习时间在 中至少有 1人”为事件 A ……6分由 图 中 数 据 可 知 : 该 天 居 家 自 主 学 习 时 间 在 和 的 人 分 别 有 2 人 和 3人. ……………7分 设在 的 2人分别为 ,在 的 3人分别 ……………8分 则从这 5人中任选 2人的样本空间 共有 10个样本点事件 A ,共有 7个样本点…………10分 所以学习时间在 中至少有 1人的 概率为 ………… 11分(III)样本平均数:. 样本中的 100名学生该天居家自主学习时间的平均数为 5.38小时. ………14分 17. (本小题满分 14分)(0.02+0.03+0.05+ 0.15 2 0.2 0.3) 1 1a + × + + × =0.1a =[ )43, 0.1 1 0.1× =[ )43,0.1[ )10,[ )10, [ )21,[ )10, a,b [ )21, A,B,C{ }ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC, AB, AC,BC={ }ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC=( ) 710P A =[ )10,107( ) 3056205515057541053050520305102050 ...............x ×+×+×++×+×+×+×=385.=解: (Ⅰ)证明:连结 交 于 ,连结 , 因为四边形 是矩形,所以 为 中点.又因为 是 的中点,所以 , ………2分因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ……………4分解法二: (Ⅰ)证明:解:四棱锥 的底面是矩形,侧棱 底面 ,因此以 为原点,以 为 轴,以 为 轴,建立空间直角坐标系. 所以 , , , , ………2分设平面 的一个法向量为 ……………3分,即: ……………5分因为 ,所以 ……………6分又因为 平面 ,所以 平面 .……………7分(Ⅱ) 设直线 与平面 所成角为 ,由 ,平面 的一个法向量为所以 , 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .……………11分P ABCD− PA ⊥ ABCDBD AC O OEABCD O BDE P D / /PB OEPB ⊄ ACE OE ⊂ ACE//PB ACEAAB x AD yP(0, 0, 2) C(1, 2, 0) D(0,2,0) E(0, 1, 1) B(1, 0, 0)ACE ( , , )n a b c=00n AEn AC ⋅ =⋅ =    22 0101aa bb nb cc= −+ = ⇒ = ⇒ = + =  = −(- 2, 1, - 1)PB =(1, 0, - 2) 2 0 2 0PB n⋅ = − + + = PB ⊄ ACE //PB ACECP ACE θPC =(1, 2, - 2) ACE (-2,1,-1)n =| PC n |sin | cos PC,n || PC | | n |⋅θ = =⋅   2 693 6= =CP ACE96(Ⅲ)设点 到平面 的距离 ,则所以点 到平面 的距离 ……………14分18.(本小题满分 14分)解:(Ⅰ)设“抽取的这名学生两科成绩相差大于 10分”为事件 ………1分由图可得数学、语文成绩相差大于 10 分的学生编号分别是 2,5,6,7,8,共有 5 人,所以………4分(Ⅱ)设“抽取的这 2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩”为事件 ………5分因为两科成绩均超过 70分的学生编号分别是 1,3,4,9,10,则构成的样本空间共 10个样本点事件 包含 共 6个样本点………9分所以这 2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率 ;………10分(Ⅲ), ………14分 19.(本小题满分 14分)解:(Ⅰ)证明:因为正方形 , BDEP ACE d2 636PC nd | || n |⋅= = = P36A( ) 1=2P AB( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3 1 4 1 9 1 10 3 4 3 9 3 10 4 9 4 10 9 10, , , , , , , , , , , , , , , , , ,Ω =B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 3 1 9 3 4 3 10 4 9 9 10, , , , , , , , , , ,( ) 6 310 5P B = =1 2X X 1 2D DABCD所以 .因为平面 ⊥平面 ,且平面 平面 ,所以 平面 . ……………………2分因为 平面 ,所以 .因为 , 为 的中点,所以 ,且 ,所以 平面 . ……………………5分解法二:(Ⅰ)因为正方形 , 所以 .因为平面 ⊥平面 ,且平面 平面 ,所以 平面 . ……………………2分所以因为 所以 互相垂直.以 为原点,以 分别为 轴建立空间直角坐标系由题意 , , , , .………………4分所以 , , .因为即BC CD⊥ABCD CDE ABCD  CDE CD=BC ⊥ CDEDE⊂ CDEBC DE⊥CD CE= F DECF DE⊥ BC CF C=DE ⊥ BCFABCDBC CD⊥ABCD CDE ABCD  CDE CD=BC ⊥ CDEBC CE⊥90DCE∠ = ° BC,CE,CDC CB,CE,CD x, y,z(0,0,0)C (2, 0, 0)B (0,0, 2)D (0, 2,0)E (0,1,1)F(0, 2, 2)DE = −(0,1,1)CF =CB =(2, 0, 0)0 0DE CB ,DE CF⋅ = ⋅ =   DE CB,DE CF⊥ ⊥所以 平面 . ……………………6分(Ⅱ)因为点 在线段 上,设 . 所以存在 ,使得 . 因为 , ,所以 , 所以 . 所以 , ……………………8分设平面 的一个法向量为 ,则 , 即 .所以 . ……………………10分因为 平面 ,所以平面 的一个法向量是 ,……………………11分又因为平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ,所以 , ……13分所以 或 舍去. 所以 . …………14分20. (本小题满分 14分)CB CF C=DE ⊥ BCFP BE ( , , 0)P x y[0,1]λ ∈ BP BE= λ( 2, ,0)BP x y= −( 2,2,0)BE = −2 22xy− = − =λλ(2 2 , 2 , 0)P − λ λ(2 2 ,2 ,0)CP = −λ λCFP ( , , )n a b c=00CP nCF n ⋅ =⋅ =  (2 2 ) 2 00a bb c− + = + =λ λ( , 1,1)1n = −− λλDE ⊥ BCFBCF (0,2, 2)DE = −CFP BCF 332| | 4 3cos ,3| || |2 ( ) 2 21DE nDE nDE n⋅ = = =+ ×−   λλ23λ = 2 [0,1]λ = ∉ 23BPBE=解:(Ⅰ)由椭圆方程可知,椭圆焦点在 轴,因为离心率 ,且过点 .所以 ,…………4分所以椭圆的标准方程 …………5分(Ⅱ)解法一:当直线 斜率不存在时, ,又椭圆右顶点为此时 ,不满足 .…………6分因此设直线 , …………7分因为 ,所以 …………10分因为 , 所以 …………11分即 整理得 解得: 或者 ( 与 重合,舍)…………13分所以直线 : …………14分解法二:因为 , 所以 …………6分x32e = B(0, 1)2 2 2132 32bca ,caa b c= = ⇒ = = = +22 14xy+ =l ( )0 1C ,− ( )2 0A ,1 112 2AB AC AB ACk ,k ,k k= − = ⋅ ≠ − BA AC⊥l 1y kx= + ( )0 0C x , y( )2 22 211 4 8 04 4y kxk x kxx y= +⇒ + + =+ =B(0, 1)22 28 1 41 4 1 4k kC ,k k − − + + BA AC⊥12ABk ,= − 2ACk ,=221 428 2 8ACkk ,k k−= =− − −212 16 5 0k k ,+ + =56k ,= − 12k = − C Al516y x= − +BA AC⊥12ABk ,= − 2ACk ,=因此设直线 …………7分 …………9分设 ,又椭圆右顶点为 …………10分所以 , 即 …………12分得因此直线 : …………14分21.(本小题满分 15分)解:(Ⅰ)解法 1:根据题意,根据椭圆的定义得 ,所以 .……………………3分因为椭圆的左、右焦点分别为 , ,由 所以 . 所以椭圆的标准方程为 . ……………………5分解法 2:根据题意可知: 轴,2 2 2c a b= −( )2 2AC : y x= −( ) 22 22 217 64 60 04 4y xx xx y = − ⇒ − + =+ =( )0 0C x , y ( )2 0A ,0 060 30217 17x x= ⇒ = 0817y = −30 817 17C , −  56BCk ,= −l516y x= − +2 2 2 21 23 3| | | | (1+1) ( 0) (1-1) ( 0) 42 2PF PF+ = + − + + − =2 4a = 2a =1( 1,0)F − 2 (1,0)F2 3b =2 214 3x y+ =2PF x⊥在直角三角形 中,由 , ,解得即 ,所以 .……………………3分因为椭圆的左、右焦点分别为 , ,由 所以 . 所以椭圆的标准方程为 . ……………………5分(Ⅱ)若直线 的斜率不存在,则直线方程为 或 .当 时, , ,此时 .同理当 时, .所以当直线 的斜率不存在时 . ………………7分若直线 的斜率存在,设直线 : ,与椭圆交点 , .因为直线 和圆相切,所以 ,化简得 . ……………………9分联立方程 , 消 得 ,2 2 2c a b= −1 2PF F 1 2 2F F = 232PF = 152PF =1 2| | | | 4 2PF PF a+ = = 2a =1( 1,0)F − 2 (1,0)F2 3b =2 214 3x y+ =l 1x = 1x = −1x =3(1, )2A3(1, )2B −3 3 5= (1, ) (1, ) -2 2 4OA OB⋅ = ⋅ − = λ1x = −3 3 5= ( 1, ) ( 1, ) -2 2 4OA OB⋅ = − ⋅ − − = λl5= -4OA OB⋅ = λl l y kx m= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x yl2| |11mdk= =+2 2 1m k= +2 214 3y kx mx y= ++ =y 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =显然 .所以 , .……………………12分因此 由 代入得: ………………13分因为 ,所以 . ………………14分综上所述, . ……………………15分(若用其他方法解题,请酌情给分)0∆1 2 284 3kmx xk−+ =+21 2 24 124 3mx xk−=+1 2 1 2 1 2 1 2( )( )OA OB x x y y x x kx m kx m= ⋅ = + = + + + λ2 21 2 1 2(1 ) ( )k x x km x x m= + + + +2 227 12 124 3m kk− −=+2 2 1m k= +( )2 2 22 227 12 1 5 513 4 4 1 4m k mk mm− + − −λ = = =+ − −2 2 1 1m k= + ≥5 53 4− ≤ −λ5 53 4− ≤ ≤ −λ

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