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北京市丰台区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试卷(Word版附解析)

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丰台区 2020—2021 学年度第一学期期末练习高二数学一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知 、 ,则直线 的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线 的倾斜角为 ,利用直线的斜率公式求出直线 的斜率,进而可得出直线 的倾斜角.【详解】设直线 的倾斜角为 ,由斜率公式可得 ,,因此, .故选:B.2. 过点 且与直线 平行的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设所求直线方程为 ,将点 的坐标代入所求直线方程,求出 的值,即可得出所求直线的方程.【详解】因为所求直线与直线 平行,可设所求直线方程为 ,将点 的坐标代入直线的方程 得 ,解得 .( )2, 3A ( )1 0B , AB6π3π 23π 56πAB α AB ABAB α 3 0tan 32 1α −= =−0 α π≤ 3πα =( )1,2 2 9 0x y+ − =2 0x y− = 2 3 0x y− − =2 5 0x y+ − = 2 4 0x y+ − =2 0x y m+ + = ( )1,2 m2 9 0x y+ − = 2 0x y m+ + =( )1,2 2 0x y m+ + = 1 2 2 0m+ × + = 5m = −因此,所求直线方程为 .故选:C.【点睛】结论点睛:已知直线 的一般方程为 .(1)与直线 平行的直线的方程可设为 ;(2)与直线 垂直的直线的方程可设为 .3. 已知等比数列 满足 , ,则 等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意,由等比数列的通项公式可得公比 ,进而计算可得答案.【详解】根据题意,设等比数列 的公比为 ,若 , ,则有 ,解得 ,故 ,故选:D.4. 抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件 A=“第一枚硬币正面朝上”,事件 B=“第二枚硬币反面朝上”,则 A 与 B 的关系为( )A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【详解】显然事件 A 和事件 B 不相等,故 D 错误,由于事件 A 与事件 B 能同时发生,所以不为互斥事件,也不为对立事件,故 AB 错误;因为事件 A 是否发生与事件 B 无关,事件 B 是否发生也与事件 A 无关,故事件 A 和事件 B 相互独立,故 C 正确.2 5 0x y+ − =l 0Ax By C+ + =l ( )1 10Ax By C C C+ + = ≠l 2 0Bx Ay C− + ={ }na 1 1a = − 4 8a = 7a32 32− 64 64−q{ }na q1 1a = − 4 8a =3 418aqa= = − 2q = −67 1 64a qa = ⋅ = −故选:C.5. 若平面 的法向量分别为 ,并且 ,则 的值为( )A. 10 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据面面垂直,得到两平面的法向量垂直,其数量积为 0,计算即得解.【详解】平面 的法向量相互垂直故选:B【点睛】本题考查了利用向量表示面面垂直,考查了学生转化化归,数学运算的能力,属于基础题.6. 已知圆 与圆 ,则圆 与圆 的位置关系是( )A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切【答案】D【解析】【分析】利用圆心距与半径和的关系可判断两者的位置关系.【详解】圆 ,其半径为 3,又 ,因为 即圆心距为两个圆的半径之和,故两圆外切,故选:D.7. 如图,在三棱锥 中, 是 的中点,若 , , ,则等于( ),α β ( 1, 2, 4), ( , 1, 2)a b x= − = − − α β⊥ x10−1212−α β⊥Q∴ ,α β( 1, 2, 4) ( , 1, 2) 2 8 0a b x x∴ ⋅ = − ⋅ − − = − − − = 10x∴ = −1 :C2 2 1x y+ = 2 :C 2 2 8 7 0x y y+ − + = 1C 2C2 :C ( )2 24 9x y− + =( ) ( )2 21 2 0 4 0 0 4C C = − + − =4 1 3= +O ABC− D BC OA a= OB b= OC c= ADA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出 关于 、 、 的表达式.【详解】 ,因此, .故选:C.8. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 在抛物线 上,点 在准线上,且 .若 , ,则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接 ,根据抛物线的定义可得 为等边三角形,从而可求 的值.a b c− + +  a b c− + −  1 12 2a b c− + +   1 12 2a b c− − −  ADabc( )1 1 1 12 2 2 2OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC= + = + = + − = +         1 1 1 12 2 2 2AD OD OA OA OB OC a b c= − = − + + = − + +        2: 2 ( 0)C y px p= F l M C Nl MN l⊥ | | 8MF = 60MFN∠ = ° p8 4 2 1NF MFN△ p【详解】连接 ,根据抛物线的定义可得 ,因为 ,故 为等边三角形,所以 且 ,因为 平行于 轴,故 的倾斜角为 .故 , 到准线的距离为 ,故选:B.9. 已知等差数列 是无穷数列,若 ,则数列 的前 项和 ( )A. 无最大值,有最小值 B. 有最大值,无最小值C. 有最大值,有最小值 D. 无最大值,无最小值【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的定义及通项公式,判断数列的单调性,进而判断数列前 项和 的最值.【详解】由数列 为等差数列,且 ,得 ,故数列 为递增数列,且 ,所以 有最小值,无最大值,故选:A.10. 已知点 在椭圆 上运动,点 在圆 上运动,则 的最NF MN MF= 60MFN∠ = °MFN△ 60NMF∠ = ° 8MN MF NF= = =MN x MF 60°60NFO∠ = ° F 8cos 60 4° ={ }na 1 2 0a a { }na n nSn nS{ }na 1 2 0a a 2 1 0d a a= − { }na 1 0a nSM2 2118 9x y+ = N 22 ( 1) 1yx + − = | |MN大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根 据 条 件 将 的 最 大 值 转 化 为 的 最 值 , 设 , 表 示 出,结合 消去 ,得到关于 的二次函数配成顶点坐标式即可得出答案.【详解】解:设圆 的圆心为 ,则 ,设 则所以,当且仅当 时取得最大值,所以 .故选:B.【点睛】椭圆几何性质的应用技巧:(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形;(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如:,三角形两边之和大于第三边,在求椭圆相关量的范围或最值时,要注意应用这些不等关系.二、填空题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.11. 椭圆 的离心率是___________.【答案】【解析】1 19+ 1 2 5+ 5112| |MN MC 0 0( , )M x y2 20 0( 1)MC x y= + −2 20 0 118 9x y+ = 0x 0y22 ( 1) 1yx + − = (0,1)C 1MN MC r MC≤ + = +0 0( , )M x y2 22 20 00 0118 918 2x yx y+ = ⇒ = −202 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0( 1) 2 1 18 2 2 1MC x y x y y y yy= + − = + − + = − + − +2020 02 19 ( 1) 20 2 5y yy= − − + = − + + ≤ 0 1y = −1 2 5 1MN MC≤ + ≤ +, ,0 1a x a b y b e− ≤ ≤ − ≤ ≤ 22 19xy+ =2 23【分析】利用题目所给的标准方程,求出 ,然后求解 ,即可求解离心率.【详解】解:椭圆 的长半轴为 ,短半轴为 ,则半焦距为 ,所以椭圆的离心率为: ,故答案为: .【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,离心率的求法,属于基础题型;解题方法是根据椭圆标准方程的性质分别逐步求出 ,然后再求出离心率;解题的关键点是根据 求出离心率.12. 已知圆 与 轴相切,则 ___________.【答案】【解析】【分析】根据圆的方程可得圆心坐标,要使圆与 轴相切,则需要使半径等于圆心到 轴的距离,即纵坐标的绝对值.【详解】解:由题可知圆心坐标为: ,要使圆与 轴相切,则需要使半径等于圆心到 轴的距离,即 时,圆与 轴相切,故答案为:1.【点睛】本题主要考查圆的方程和位置,考查运算求解能力,属于基础题型;解题方法是求出圆心坐标,然后令半径等于纵坐标的绝对值;解题的关键是圆心坐标的求解.13. 已知直线 与圆 交于 , 两点,则 ___________.【答案】【解析】【分析】,a b c22 19xy+ = 3a = 1b =9 1 2 2c = − =2 23cea= =2 23, ,a b ccea=2 2 2 ( 0)( 3) ( 1) rx y r + + − = x r =1x x( 3,1)−x x1r = x2 0x y− + = 2 2 3x y+ = A B | |AB =2算出圆心到直线的距离后利用垂径定理可求弦长.【详解】圆心到直线的距离为 ,故 ,故答案为:2.14. 对于数列 ,若点 都在函数 的图象上,则数列 的前 4 项和 ___________.【答案】30【解析】【分析】根据等比数列的前 项和公式可求 .【详解】由题设可得 ,故 ,故 为等比数列,其首项为 2,公比为 2,故 ,故答案为:30.15. 已知双曲线 ,则 的右焦点的坐标为__; 的焦点到其渐近线的距离为___________.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据双曲线方程求出 即可得出焦点坐标,利用点到直线距离公式即可求出焦点到渐近线的距离.【详解】由双曲线方程 ,可得 ,则 ,故右焦点的坐标为 ,由于双曲线的对称性,不妨取渐近线 ,即 ,222d = = | | 2 3 2 2AB = − ={ }na ( ) ( )nn a n∈*N, ( ) 2xf x = { }na4S =n 4S2nna =12nnaa −= { }na( )442 1 2301 2S−= =−22: 13xC y− = C C(2,0) 1c22 13xy− = 3, 1a b= = 2 2 2c a b= + =(2,0)13y x= 3 0x y− =故焦点到渐近线的距离为 .故答案为: ;1.16. 如果数列 满足 ( 为常数),那么数列 叫做等比差数列, 叫做公比差.给出下列四个结论:①若数列 满足 ,则该数列是等比差数列;②数列 是等比差数列;③所有的等比数列都是等比差数列;④存在等差数列是等比差数列.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】【分析】根据比等差数列的定义 ( 为常数),逐一判断①②③④中的四个数列是否是等比差数列,即可得到答案.【详解】①数列 满足 ,则 ,满足等比差数列的定义,故①正确;②数列 ,,不满足等比差数列的定义,故②错误;③等比数列 ,满足等比差数列,故③正确;( )222 011 3−=+ −(2,0){ }na2 11n nn na aka a+ ++− = k { }na k{ }na1 2nnana+ ={ 2 }nn ⋅2 11n nn na aka a+ ++− = k{ }na1 2nnana+ = 2 112( 1) 2 2n nn na an na a+ ++− = + − ={ 2 }nn ⋅+2 1 22 111( 2) 2 ( 1) 2 ( 2) 2 ( 1) 2 2( 1) 2 2 ( 1) ( 1)n nn nn nn na aa an n n n nn n n n n n++ +++− =+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅− = = −+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +2 110n nn na aa a+ ++− =④设等差数列的公差为 ,则 ,故当 时,满足 ,故存在等差数列是等比差数列,即④正确;故答案为:①③④三、解答题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17. 如图,已知正方体 的棱长为 , 为 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】【分析】(1)以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得 平面 ;(2)利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值.【详解】(1)以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .因为正方体 的棱长为 , 是 的中点,d22 112( )n n n nn n n n n na aa aa d a d da d a a a d+ ++−+ + −= − =+ +0d = 2 110n nn na aa a+ ++− =1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M 1AA1 //A B 1MCD1MCD 1 1C CD13A AB AD 1AA x y z1 //A B 1MCD1MCD 1 1C CDA AB AD 1AA x y zA xyz−1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M 1AA所以 、 、 、 、 、 、,, .设平面 的法向量为 ,由 ,令 ,则 , ,所以 .因为 ,所以 ,因为 平面 ,所以 平面 ;(2)由(1)知,平面 的法向量 .又平面 法向量为 .设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .【点睛】思路点睛:利用空间向量法求解二面角的步骤如下:(1)建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标;(2)设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量,求解出平面的法向量(注:若半平面为坐标平面,直接取法向量即可);的( )0,0,0A ( )2, 2,0C ( )0,2,0D ( )0,0,1M ( )1 0,2,2D ( )1 0,0,2A( )2,0,0B( )1 0,2,1MD =( )2,2, 1MC = −1MCD ( ), ,m x y z=1 2 02 2 0m MD y zm MC x y z ⋅ = + =⋅ = + − =1y = 2z = − 2x = − ( )2,1, 2m = − −( )1 2,0, 2A B = −uuur( ) ( )21 2 2 0 1 2 0A B m⋅ = × − + × + − = 1A B ⊄ 1MCD 1 //A B 1MCD1MCD ( )2,1, 2m = − −1 1C CD ( )0, 2,0AD =1MCD 1 1C CD θ2 1cos cos ,3 2 3m ADm ADm ADθ⋅= = = =×⋅   1MCD 1 1C CD13(3)计算(2)中两个法向量的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值.18. 已知等差数列 满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)若数列 满足 ,再从① ;② ;③ 这三个条件中任选一个作为已知,求数列 的前 项和 .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1) ;(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式直接求解;(2)分别求得数列 的通项公式,利用分组求和的方法求解.【详解】解:(1)设等差数列 的公差为 .由 ,可得 ,解得 .所以(2)选①:由 , 可得 , ,所以 是等比数列,公比 .所以 .所以{ }na 2 3 44 17a a a= =+,{ }na{ }nb 1 2b = 1 2n nb b+ = 12 n nb b+ = 1n nb b+ = −{ }n na b+ n nT3 2na n= −{ }nb{ }na d23 4417aa a= + =1142 5 17a da d+ = + =1 1 3a d= =,1 ( 1) 3 2na a n d n= + − = −1 2b = 1 2n nb b+ = 0nb ≠1 2nnbb+ ={ }nb 2q =11 2n nnb b q−= =1 2 1 2( ) ( )n n nT a a a b b b= + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(1 3 2) 2(1 2 )2 1 2nn n+ − −= +−213 2 22nn n +−= + −选②:由 , 可得 , ,所以 是等比数列,公比 .所以所以.选③:由 , 可得 , ,所以 是等比数列,公比 ,所以 .所以.19. 2020 年是我国 网络建设的加速之年.截至 2020 年底,中国已建成全球最大的 网络.为了切实推动移动网络质量提升,不断改善用户体验,中国信通院受工信部委托,定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段,以评估当地 网络发展水平.其中 5 座受测城市的 综合下载速率(单位:)数据如下表:城市 路段 综合下载速率(单位: )福州 五四路 708.921 2b = 12 n nb b+ = 0nb ≠1 12nnbb+ ={ }nb 12q =1 1 211 12 ( ) ( )2 2n n nnb b q− − −= = ⋅ =1 2 1 2( ) ( )n n nT a a a b b b= + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +12(1 ( ) )(1 3 2) 212 12nn n −+ −= +−223 1( ) 42 2nn n −−= − +1 2b = 1n nb b+ = − 0nb ≠1 1nnbb+ = −{ }nb 1q = −1 11 2 ( 1)n nnb b q− −= = ⋅ −1 2 1 2( ) ( )n n nT a a a b b b= + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(1 3 2) 2(1 ( 1) )2 1 ( 1)nn n+ − − −= +− −23 2( 1)2nn n− += − −5G 5G5G 5GMbps5G Mbps广州 大学城外/中/内环 817.13哈尔滨 红军街 630.34杭州 环城东路 88260成都 二环高架 916.02(1)从以上 5 座城市中随机选取 2 座城市进行分析,求选取的 2 座城市“ 综合下载速率”都大于 800 的概率;(2)甲、乙两家 网络运营商分别从以上 5 座城市中随机选取 1 座城市考察(甲、乙的选取互不影响),求甲、乙两家运营商中恰有 1 家选取的城市“ 综合下载速率”大于 800 的概率.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】(1)写出 5 座城市中随机选取 2 座城市的所有可能,找出选取的 2 座城市“ 综合下载速率”都大于 800 的所有可能,根据古典概型公式计算即可;(2)选取的城市“ 综合下载速率”大于 800 的概率 ,选取的城市“ 综合下载速率”不大于 800 的概率 ,根据对立事件与互斥事件的概率公式计算即可.【详解】解:(1)5 座城市中“ 综合下载速率”大于 800Mbps 的有 3 座,设为 ,“ 综合下载速率”不大于 800 的有 2 座,设为 .随机选取 2 座城市所有可能为: , , , , , , , ,, 共 10 种.其中 2 座城市“ 综合下载速率”都大于 800 的有 , , 共 3 种.设两个城市“ 综合下载速率”都大于 800 为事件 ,所以5GMbps5G5G Mbps31012255GMbps5G Mbps355GMbps255G 1 2 3A A A, ,5G Mbps 1 2,B B1 2A A 1 3A A 1 1A B 1 2A B 2 3A A 2 1A B 2 2A B 3 1A B3 2A B 1 2B B5G Mbps 1 2A A 1 3A A 2 3A A5G Mbps M3( )10P M =(2)设甲选取的城市“ 综合下载速率”大于 800 为事件 ,乙选取的城市“ 综合下载速率”大于 800 为事件 ,恰有 1 家运营商选取的城市“ 综合下载速率”大于 800 为事件 .依题意,事件 ,所以.【点睛】1.古典概型的概率求解步骤: (1)求出所有基本事件的个数 ;(2)求出事件 包含的所有基本事件的个数 ;(3)代入公式 求解.2.基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型;(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法;(3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求;(4)运用排列组合知识计算20. 已知椭圆 过点 ,且 .(1)求椭圆 的方程;(2)设 为原点,过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,且直线 与 轴不重合,直线 , 分别与 轴交于 , 两点.求证: 为定值.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题可得 ,进而得出 ,即可得出椭圆方程;5G Mbps C 5GMbps D 5GMbps N3( ) ( )5P C P D= =( ) ( )P N P CD CD=  ( ) ( )P CD P CD= + ( ) ( ) ( ) ( )P C P D P C P D= +3 2 2 35 5 5 5= × + ×1225=nA m( )mP An=2 22 2: 1( 0)x ya ba bω + = ( 2,0)A − 2a b=ωO (1,0)C l ω P Q l xAP AQ y M N | | | |OM ON⋅22 14xy+ =2a = 1b =(2)先考虑直线斜率不存在时,可得 ,当斜率存在时,设出直线方程,联立直线与椭圆,得出韦达定理,得出直线 的方程,可表示出 坐标,同理表示出 的坐标,进而利用韦达定理可求出 .【详解】解:(1)因为椭圆 过点 ,所以 .因为 ,所以 .所以椭圆 的方程为 .(2)当直线 斜率不存在时,直线 的方程为 .不妨设此时 , ,所以直线 的方程为 ,即 .直线 的方程为 ,即 .所以 .当直线 斜率存在时,设直线 的方程为 ,由 ,得 .依题意,设 , ,则 , .又直线 的方程为 ,令 ,得点 的纵坐标为 ,即 .同理,得 .所以1| | | | =3OM ON⋅AP M N| | | |OM ON⋅ω ( 2,0)A − 2a =2a b= 1b =ω22 14xy+ =l l 1x =3(1, )2P3(1, )2Q −AP3( 2)6y x= + 3(0, )3MAQ 3 ( 2)6y x= − + 3(0, )3N −1| | | | =3OM ON⋅l l ( 1)y k x= −22( 1)14y k xxy= −+ =2 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x k x k+ − + − =0∆ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y21 2 284 1kx xk+ =+21 2 24 44 1kx xk−=+AP11( 2)2yy xx= ++0x = M 1122Myyx=+112(0, )2yMx +222(0, )2yNx +| | | | =OM ON⋅ 1 21 24( 2)( 2)y yx x+ +21 21 24 ( 1)( 1)( 2)( 2)k x xx x− −=+ +.综上, 为定值,定值为 .【点睛】方法点睛:解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:(1)得出直线方程,设交点为 , ;(2)联立直线与曲线方程,得到关于 (或 )的一元二次方程;(3)写出韦达定理;(4)将所求问题或题中关系转化为 形式;(5)代入韦达定理求解.21 2 1 21 2 1 24 [ ( ) 1]2( ) 4k x x x xx x x x− + +=+ + +2 222 22 22 24 4 84 ( 1)4 1 4 14 4 16+ 44 1 4 1k kkk kk kk k− − ++ +=− ++ +2 2 2 22 2 24 (4 4 8 4 1)4 4+16 16 4k k k kk k k− − + +=− + +221236kk= 13=| | | |OM ON⋅ 13( )1 1A x y, ( )2 2B x y,x y1 2 1 2,x x x x+

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