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北京市房山区2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题(Word版附答案)

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资料简介

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房山区 2020-2021 学年度第一学期期末检测试卷高二数学本试卷共 5页,150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 50 分)一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知点 ,则线段 的中点坐标为(A) (B)(C) (D)(2)圆心为 ,半径为 的圆的方程为(A) (B)(C) (D)(3)已知直线 和 互相平行,则(A) (B)(C) 或 (D) 或(4)下列双曲线中以 为渐近线的是 (A) (B)(C) (D)(5)在 的展开式中, 的系数为(A) (B)(C) (D)(1, 1), (2,5)M N− MN(3, 4)3( , 2)2(1,6)1( ,3)2( 1, 2)− 52 2( 1) ( 2) 5x y− + + = 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − =2 2( 1) ( 2) 25x y− + + = 2 2( +1) ( 2) 25x y+ − =1 : 7 0l x ay+ + = 2 : ( 2) 3 1 0l a x y− + + =3a = 1a = −1a = − 3a = 1a = 3a = −xy 2±=22 14yx − =22 12yx − =22 14xy − =22 12xy − =5( 2)x − 4x5 5−10 10−(6)已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ,现有 位患有该病的患者服用了这种药物,位患者是否会被治愈是相互独立的,则恰有 位患者被治愈的概率为(A) (B)(C) (D)(7)已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点,则(A) (B)(C) (D)(8)已知圆 ,从圆上任意一点 向 轴作垂线段 , 为垂足,则线段的中点 的轨迹方程为(A) (B)(C) (D)(9)已知直线 和圆 : ,则直线 与圆 的位置关系为(A)相交 (B)相切(C)相离 (D)不能确定(10)如图,在正方体 中,点 分别是棱 上的动点.给出下面四个命题:①直线 与直线 平行;②若直线 与直线 共面,则直线 与直线 相交;③直线 到平面 的距离为定值;④直线 与直线 所成角的最大值是 .其中,真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4343 312764964364342221( 0)xy aa− = 2 218 3x y+ = a =6 2 32 42 2: 4O x y+ = M x MN NMNP22 14xy+ =22 + 14yx =2 2116 4x y+ =2 214 16x y+ =01 =−+− kykxl: C 2 2 4 0x y x+ − = l C1111 DCBAABCD − ,E F 1111 , DADCEF ACAF CE AF CEEF ABCDAF CE3π第二部分(非选择题 共 100 分)二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。(11)电影《夺冠》要在 4所学校轮流放映,每所学校放映一场,则不同的放映次序共有____种.(用数字作答)(12)设随机变量 的分布列为: 则 ____;随机变量 的数学期望 ____. (13)某班级的学生中,寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生 女生有参加滑雪运动打算 8 10无参加滑雪运动打算 10 12从这个班级中随机抽取一名学生,则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为____;若已知抽到的人是男生,则他有参加滑雪运动打算的概率为____. (14)设抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线上. 则抛物线的准线方程为____;____. (15)已知曲线 .给出下列四个命题:①曲线 过坐标原点;②若 ,则 是圆,其半径为 ;③若 ,则 是椭圆,其焦点在 轴上;④若 ,则 是双曲线,其渐近线方程为 .其中所有真命题的序号是  .ξξ 0 1 2p2131mm = ξ Eξ =2 8x y= F 0( ,3)M xMF =2 2: 1( 0)x yC mnm n+ = ≠C0m n= C m0m n C x0mn C ny xm= ± −三、解答题共 6 小题,共 75 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题 12分)已知直线 过点 ,再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知,求直线 的方程.条件①:直线 经过直线 与 的交点;条件②:直线 与圆 相切;条件③:直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(17)(本小题 12分)已知点 在抛物线 上,过点 且斜率为 的直线与抛物线的另一个交点为 .(Ⅰ)求 的值和抛物线的焦点坐标;(Ⅱ)求弦长 .(18)(本小题 12分)袋中有 10个大小、材质都相同的小球,其中红球 3个,白球 7个.每次从袋中随机摸出 1个球,摸出的球不再放回.求:(Ⅰ)第一次摸到红球的概率;(Ⅱ)在第一次摸到红球的条件下,第二次也摸到红球的概率;(Ⅲ)第二次摸到红球的概率.l (0,3)ll 1 : 1 0l x y+ + = 2 : 2 4 0l x y− − =l 2 2 3x y+ =l 3(1, 2)A − 2 2 ( 0)y px p= A 2BpAB(19)(本小题 13分)某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类 APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况,在某地区随机抽取了 100人,调查结果整理如下:(Ⅰ)现随机抽取 1名顾客,试估计该顾客年龄在 且未使用这款 APP的概率;(Ⅱ)从被抽取的年龄在 且使用这款 APP 的顾客中,随机抽取 2 人进一步了解情况,用 表示这 2人中年龄在 的人数,求随机变量 的分布列及数学期望;(Ⅲ)为鼓励居民使用,该机构拟对使用这款 APP的居民赠送 1张 5元的代金劵.若某区预计有 6000人具有购物能力,试估计该机构至少应准备多少张代金券.(20)(本小题 13分)如 图 , 在 四 棱 锥 中 , 平 面 , 底 面 为 正 方 形 ,,为 中点.(Ⅰ)求证: 平面 ;(Ⅱ)求二面角 的余弦值;(21)(本小题 13分)顾客年龄 20岁以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70 岁 以上使用人数 5 10 18 8 4 2 0未使用人数 0 0 2 12 36 3 0[30,50)[50,70]X [50,60) XP ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD2PA AB= =E PDBD ⊥ PACP AC E− −已知椭圆 的离心率为 ,且经过点 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)不过点 的直线 与椭圆交于 两点,以线段 为直径的圆经过点 ,证明:直线 过定点.房山区 2020-2021 学年度第一学期期末检测参考答案高二年级 数学学科一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B D C A D B C A A B二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。(第一空 3分,第二空 2分)(11) (12) ; (13) ;(14) (15) ③④(错选 0 分,漏选 3 分)三、解答题共 6 小题,共 75 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题 12 分)选择条件①:解方程组 得 ……………………………4则直线 的斜率为 , ……………………………8所以直线 的方程为 ,即 .………………………12选择条件②:设直线 的方程为 (显然直线 的斜率存在),即 .圆 的圆心为 ,半径为 . ……………………………4因为 直线 与圆 相切,)0(1:2222=+ babyaxC23)0,2(ACA l QP, PQ Al241 2,6 31 4,5 92, 5y = −1 02 4 0x yx y+ + = − − =, 12.xy= = −,l3 250 1k+= = −−l 5 3y x= − + 5 3 0x y+ − =l 3y kx= + l 3 0kx y− + =2 2 3x y+ = (0,0) 3l 2 2 3x y+ =所以 . 解得 . ……………………………8所以直线 的方程为 ,即 . ………………12选择条件③:设直线 的方程为 (显然直线 不与坐标轴平行),…………………1令 得 .则 . ……………………………4解得 . ……………………………8所以直线 的方程为 ,即, .………………………12(17)(本小题 12 分)(Ⅰ)由点 在抛物线 上,得 .…………………………2所以抛物线的方程为 ,焦点坐标为 . ……………………………5 (Ⅱ)直线 的方程为 ,即 , ……………………7解方程组 得 或 ……………………9所以点 的坐标为 . 所以 . ………………………………12(18)(本小题 12 分)设事件 :第一次摸到红球;事件 :第二次摸到红球,则事件 :第一次摸到白球.(Ⅰ)第一次从 10个球中摸一个共 10种不同的结果,其中是红球的结果共 3种,所以 . ……………………4 (Ⅱ)第一次摸到红球的条件下,剩下的 9个球中有 2个红球,7个白球,第二次从这 9个球2331k=+2k = ±l 2 3y x= ± + 2 3 0x y± − + =l 3y kx= + l0y =3xk= −1 33 32Sk= × × − =32k = ±l332y x= ± + 3 3 02x y± − + =(1, 2)A − 2 2 ( 0)y px p= 2p =2 4y x= (1,0)AB 2 2( 1)y x+ = − 2 4y x= −2 42 4y xy x == −, 12.xy= = −, 44.xy= =,B (4, 4)2 2(1 4) ( 2 4) 3 5AB = − + − − =A BA3( )10P A =中摸一个共 9种不同的结果,其中是红球的结果共 2种.所以 . ……………………8(Ⅲ) .……………………12所以第二次摸到红球的概率 .(19)(本小题 13 分)(Ⅰ)在随机抽取的 100名顾客中,年龄在[30, 50)且未使用这款 APP 的共有 2+12=14人,所以,随机抽取 1名顾客,估计该顾客年龄在[30, 50)且未使用这款 APP 的概率为. ……………………2 (Ⅱ) 的所有可能取值为 0,1,2,则 , , .………8 所以 的分布列为……………………………9故 的数学期望为 …………………………11 (Ⅲ)在随机抽取的 100名顾客中,使用自助结算机的共有 人, 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为: 张 ………………………………13 (20)(本小题 13分)(Ⅰ)因为 平面 , 平面 , 所以 0 1 22( | )9P B A =3 2 7 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )10 9 10 9 10P B P A P B A P A P B A= + = × + × =3( )10P B =50710014 ==PX22261( 0)15CP XC= = =1 14 2268( 1)15C CP XC= = =24266( 2)15CP XC= = =XX1 8 6 40 1 215 15 15 3EX = × + × + × =4724818105 =+++++2820600010047 =× .PA ⊥ ABCD ,AB AD ⊆ ABCD,PA AB PA AD⊥ ⊥ .XP 115815615 因为底面 为正方形,所以 如图,以 为原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系…………………………………………1则因为所以 ………………………………2又 , ………………………………3所以 平面 …………………………………………4(Ⅱ)因为 为 中点, 所以 ,设平面 的法向量为 ,则 即令 ,则 .……………………………8由(Ⅰ)知, 为平面 的法向量, …………10所以 . ……………………12由题知,二面角 为锐角,所以其余弦值为 .…………13(21).(本小题 13分)(Ⅰ)由椭圆离心率为 ,且经过点 ,可知 .…………2所以 .所以 . ………………………………3ABCD AB AD⊥ .A , ,AB AD AP , ,x y z(0,0,0), (2,0,0), (2, 2,0), (0, 2,0), (0,0, 2)A B C D P(0,0, 2), (2, 2,0), ( 2, 2,0)AP AC BD= = = −  .(0,0, 2) ( 2, 2,0) 0 (2, 2,0) ( 2, 2,0) 0AP BD AC BD⋅ = ⋅ − = ⋅ = ⋅ − =   , ,,AP BD AC BD⊥ ⊥ .=AP AC ABD ⊥ PAC .E PD (0,1,1)E (0,1,1)AE =.EAC ( , , )n x y z=00AC nAE n ⋅ =⋅ =  ,,2 2 00.x yy z+ = + =,1y = ( 1,1, 1)n = − −BDPAC4 6cos ,33 2 2n BDn BDn BD⋅ = = =⋅   P AC E− −6323)0,2(A3, 22ce aa= = =3c =2 2 2 4 3 1b a c= − = − =所以椭圆 的方程为 . ……………………………………4(Ⅱ)当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 由 得 .……………………6.设 , 则 .…………8因为以线段 为直径的圆经过点 ,所以 . 所以 . ………………………………9由 ,整理得 .解得 或 (都满足 ).所以 或 . ………………………………10因为直线 不过点 ,所以直线 过定点 . …………………………………………11当直线 的斜率不存在时,设直线 的方程为 ,则 , .C 1422=+ yxl l y kx m= +22 14xyy kx m+ = = +, 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =2 2 2=(8 ) 4(1 4 )(4 4) 0km k m∆ − + − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y21 2 1 22 28 4 4+ = , =1 4 1 4km mx x x xk k−−+ +PQ AAQAP ⊥ 0AP AQ⋅ = 1 1 2 2( 2, ) ( 2, )AP x y AQ x y= − ⋅ = − 1 2 1 21 2 1 22 21 2 1 2 1 2 1 22 21 2 1 222 22 2( 2)( 2)( 2)( 2) ( )( )2( ) 4 ( )(1 ) ( 2)( ) 44 4 8(1 ) ( 2) 41 4 1 4AP AQ x x y yx x kx m kx mx x x x k x x km x x mk x x km x x mm kmk km mk k⋅ = − − += − − + + += − + + + + + += + + − + + +− −= + + − + ++ + 0AP AQ⋅ = 2 25 16 12 0m km k+ + =65m k= − 2m k= − 0∆6( )5y k x= − ( 2)y k x= −l )0,2(Al6( 0)5,l l 0 0( 2 2)x x x= − 0 0 0 0( , ), ( , )P x y Q x y− 412020xy −=解得 或 (舍).综上 直线 过定点 . …………………………………………13备注:解答题只提供一种解法,其他解法请仿此标准给分。20 0 022 00 020 0( 2)( 2)4 4 (1 )454 3 04AP AQ x x yxx xx x⋅ = − − −= − + − −= − + = 065x = 0 2x =l6( 0)5,

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