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资料简介

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大兴区 2020~2021 学年度第一学期期末检测试卷高二数学150 分.考试时长 120 分钟.一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系中,斜率为 直线倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据斜率的定义,由直线的斜率,即可求出倾斜角.【详解】设所求直线的倾斜角为 ,其中 ,因为该直线的斜率为 ,所以 ,则 .故选:B.2. 已知数列 满足 , ,则 的值为( )A. B. C. 3 D. 6【答案】A【解析】【分析】由题中条件,根据递推公式,逐步计算,即可得出结果.【详解】因为 , ,所以 , ,的330° 60° 90° 120°θ 0 180θ≤  3tan 3θ = 60θ = { }na 1 1a = 1 1nnnaaa+=+ 6a16141 1a = 1 1nnnaaa+=+12111 2aaa= =+23211211 312aaa= = =+ +, , .故选:A.3. 经过点 且与直线 垂直的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由垂直关系,求出所求直线 斜率,再由直线的点斜式方程,即可得出结果.【详解】因为所求直线与直线 垂直,所以其斜率为 ,又所求直线过点 ,因此,所求直线方程为 ,即 .故选:C.4. 某班级举办投篮比赛,每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是 0.6,则他至少投中一次的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出对立事件:一次都未投中的概率,然后可得结论.【详解】由题意小明每次投篮不中的概率是 ,再次投篮都不中的概率是,∴他再次投篮至少投中一次的概率为 .故选:D.的34311311 413aaa= = =+ +45411411 514aaa= = =+ +56511511 615aaa= = =+ +(1,0) 2 1 0x y− + =2 1 0x y− − = 2 2 0x y− − =2 2 0x y+ − = 2 1 0x y+ − =2 1 0x y− + =1212k = − = −(1,0)( )2 1y x= − − 2 2 0x y+ − =0.24 0.36 0.6 0.841 0.6 0.4− =20.4 0.16=1 0.16 0.84− =【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式,在出现至少、至多等词语时,可先求其对立事件的概率,然后由对立事件概率公式得出结论.5. 已知空间向量 ,则向量 在坐标平面 Oxy 上的投影向量是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量在坐标平面上的投影的概念确定.【详解】向量 在坐标平面 Oxy 上的投影向量是 .故选:A.6. 已知圆 经过原点,且其圆心在直线 上,则圆 半径的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出原点到直线 的距离,即为所求.【详解】当 与直线 垂直时,圆 的半径最小,因此,圆 半径的最小值为 .故选:B.7. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题:有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进 1尺,以后每天进度是前一天的 倍.小老鼠第一天也打进尺,以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为 尺,则两鼠穿透此墙至少在第( )A. 天 B. 天 C. 天 D. 天【答案】B【解析】【分析】(1,2,3)a =a(1,2,0) (1,0,3) (0,2,3) (1,0,0)(1,2,3)a =(1,2,0)C 2 0x y− − = C1 2 2 2 22 0x y− − =OC 2 0x y− − = CC ( )2 2221 1d = =+ −1 21 103 4 5 6设两只老鼠在第 天相遇,利用等比数列的求和公式列方程可求得 的范围,即可得解.【详解】设两只老鼠在第 天相遇,则大老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比数列,小老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比列,由等比数列的求和公式可得 ,整理得 ,可得 (舍去)或 ,所以,两鼠穿透此墙至少在第 天.故选:B.8. 已知点 在抛物线 上, 为抛物线的焦点,直线 交 轴于点 .若 为线段 的中点,则 ( )A. 3 B. 6 C. D. 12【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线方程得出焦点坐标,根据 为线段 的中点,求出 的横坐标,由抛物线定义,得到 ,进而可求出结果.【详解】因为抛物线 的焦点为 ,直线 交 轴于点 , 为线段 的中点,所以 的横坐标为 ,又点 在抛物线 的上,所以 ,因此 .故选:B.9. 已知椭圆 C: 的左、右顶点分别为 , ,且以线段 为直径的n 2nn n 2n 12111 2 2 1011 2 12n n−− + ≥− −( )22 9 2 2 0n n− ⋅ − ≥9 8922n −≤ ( )9 892 8,162n +≥ ∈ 4M 2 8y x= F FM y N MFN FN =6 2M FN MFM2 8y x= ( )2,0FFM y N M FNM0 212Mx+= =M 2 8y x=2 3MFM x= + =2 6FN FM= =2 22 21( 0)x ya ba b+ = 1A 2A 1 2A A圆与直线 相切,则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程得到以 为直径的圆的半径和圆心坐标,再由该圆与直线相切,得到 ,进而可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆 C: 的左、右顶点分别为 , ,因此以 为直径的圆的半径为 ,圆心坐标为 ,又该圆与直线 相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 ,则 ,因此 ,即 ,所以离心率为 .故选:D.10. 已知数列 的前 n 项和 ,若 , 恒成立,则实数的最大值是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】先由 求出 ,根据 得到 ,求出 的最小值,即可得出结果.【详解】因为数列 的前 n 项和 ,2 0bx ay ab− + =233323631 2A A 2 0bx ay ab− + =2 22abab a=+2 22 21( 0)x ya ba b+ = ( )1 ,0A a− ( )2 ,0A a1 2A A r a= ( )0,02 0bx ay ab− + =2 22abab a=+2 23a b=2 2 23 3a a c= − 2 23 2c a=2 63 3cea= = ={ }na 12 2nnS += − *n∀ ∈ N 24n na Sλ ≤ + λnS na 24n na Sλ ≤ +24 nnSaλ +≤ 24 nnSa+{ }na 12 2nnS += −当 时, ;当 时, 满足上式,所以 ,又 , 恒成立,所以 , 恒成立;令 ,则 对任意 ,显然都成立,所以 单调递增,因此 ,即 的最小值为 ,所以 ,即实数 的最大值是 .故选:C【点睛】思路点睛:根据数列不等式恒成立求参数时,一般需要分离参数,构造新数列,根据新数列 通项公式,判断其单调性,求出最值,即可求出参数范围(或最值).二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.11. 双曲线 的渐近线方程是________________.【答案】【解析】【分析】将方程 改为 ,解出来即可【详解】因为所以渐近线方程为即为的2n ≥ ( ) ( )11 2 2 2 2 2n n nn n na S S +−= − = − − − =1n = 21 1 2 2 2a S= = − =2nna = ( )*n N∈*n∀ ∈ N 24n na Sλ ≤ + *n∀ ∈ N24 nnSaλ +≤22 1 2 114 2 2 2 2 222 2 24 n n nnn n nnnSba+ +++ − += = = = ++2 1 11 12 2 12 2 2 02 2 2n n nn n n n nb b + + ++ +   − = + − + = −       *n∈ N1 222nn nb += +( ) 21min22 52nb b= = + = 24 nnSa+55λ ≤ λ 52 2 1x y− =0x y± =2 2 1x y− = 2 2 0x y− =2 2 1x y− =2 2 0x y− =0x y± =故答案为:【点睛】焦点在 轴上的双曲线方程为: ,渐近线方程为:焦点在 轴上的双曲线方程为: ,渐近线方程为:渐近线方程就是将标准方程中右边的 1 变为 0,然后解出来就是.12. 已知入射光线经过点 被 x 轴反射,反射光线经过点 ,则反射光线所在直线的方程为________.【答案】【解析】【分析】先求出 关于 x 轴对称的点 的坐标,反射光线必过 点,又反射光线经过点 ,即可求出直线方程.【详解】由题意, 关于 x 轴对称的点为 ,反射光线必过 点,又反射光线经过点 ,故直线的斜率 ,故直线方程为 ,化成一般式得 ,故答案为:13. 已知数列 的通项公式为 ,则数列 中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)【答案】 , , (答案不唯一)【解析】【分析】根据等差数列的通项公式,写出数列 的部分项,根据观察法,即可得出结果.【详解】因为数列 的通项公式为 ,所以数列 中的项依次为 , , , , , , , , , , ,,……,0x y± =x2 22 21x ya b− =by xa= ±y2 22 21y xa b− =ay xb= ±(0,1)M (2,1)N1 0x y− − =(0,1)M M ′ M ′ (2,1)N(0,1)M ( )0, 1M ′ − ( )0, 1M ′ −(2,1)N1 110 2k− −= =−1 2y x− = − 1 0x y− − =1 0x y− − ={ }na 3 1na n= − { }na2 8 32{ }na{ }na 3 1na n= −{ }na 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 3235显然 ,所以 , , 能构成等比数列.故答案为: , ,14. 如图,在四面体 ABCD 中,其棱长均为 1,M,N 分别为 BC,AD 的中点.若,则 ________;直线 MN 和 CD 的夹角为________.【答案】 (1). . (2). 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算把 用 表示即可得 ,再由向量的数量积得向量夹角,从而得异面直线所成的角.【 详 解 】 由 已 知 得, 又 且不共面,∴ , ,∴ ,是棱长为 1 的正四面体,∴ ,同理,,8 322 8=2 8 322 8 32MN xAB y AC z AD= + +   x y z+ + =12−4πMN, ,AB AC AD  , ,x y zMN 1 12 2MB BA AN CB AB AD= + + = − +     1 1 1 1 1( )2 2 2 2 2AB AC AB AD AB AC AD= − − + = − − +      MN xAB y AC z AD= + +   , ,AB AC AD   12x y= = − 12z = 12x y z+ + = −ABCD11 1 cos602AB AC⋅ = × × ° = 12AB AD AC AD⋅ = ⋅ =   2 2 2 21 1 1 1 1 14 4 4 2 2 2MN MN AB AC AD AB AC AB AD AC AD= = + + + ⋅ − ⋅ − ⋅          1 1 1 1 1 1 24 4 4 4 4 4 2= + + + − − =,,∴ ,∴ ,∴异面直线 MN 和 CD 所成的角为 .【点睛】关键点点睛:本题考查空间向量基本定理,考查用向量法求异面直线所成的角.在空间任意不共面的三个向量可作为空间的一个基底,空间所有向量都可用基底表示,且表示方法唯一,因此在用同一个基底用两种不同方法表示出同一向量时,两种表示法中对应的系数相等.由此结合向量的运算法则可表示得结论.同样用向量法求异面直线所成的角,可以直接计算,不需要作图与证明.15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 表示没有出现连续 3 次正面的概率.给出下列四个结论:① ;② ;③当 时, ;④ .其中,所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】CD AD AC= −  1 1 1( ) ( )2 2 2MN CD AB AC AD AD AC⋅ = − − + ⋅ −      2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2AB AD AB AC AC AD AC AD AD AC= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + − ⋅         1 1 1 1 1 1 14 4 4 2 2 4 2= − + − + + − =122cos ,2212MN CDMN CDMN CD⋅ = = =×    ,4MN CDπ = 4πnP378P =41516P =2n ≥ 1n nP P+ 1 2 31 1 1( 4)2 4 8n n n nP P P P n− − −= + + ≥由 的对立事件概率可得 和 ,可判断①②,再由第 n 次分正反面,依次讨论前 n-1 的正反及前 n-2 次,从而得到概率的递推关系,可判断④,由及 ,可得 ,从而可判断③.【详解】当 时, ,①正确;当 时,出现连续 3 次正面的情况可能是:正正正反、正正正正、反正正正,所以 ,②错误;要求 ,即抛掷 n 次没有出现连续 3 次正面的概率,分类进行讨论,若第 n 次反面向上,前 n-1 次未出现连续 3此正面即可;若第 n 次正面向上,则需要对第 n-1 进行讨论,依次类推,得到下表:第 n 次 n-1 次 n-2 次 概率反面 正面 反面正面 正面 反面所以 ,④正确;由上式可得,所以 ,又 ,满足当 时, ,③正确.故答案为:①③④.【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是找到第 n 次和第 n-1 和第 n-2 次的关系,通过分类讨nP 3P 3P1 2 31 1 1( 4)2 4 8n n n nP P P P n− − −= + + ≥1 1 21 1 12 4 8n n n nP P P P+ − −= + + 1 3 0, (114)6n n nP P P n+ − = −− ≥3n = 331 71 ( )2 8P = − =4n =431 131 3 ( )2 16P = − × =nP112 nP −214 nP −318 nP −1 2 31 1 1( 4)2 4 8n n n nP P P P n− − −= + + ≥1 1 21 1 12 4 8n n n nP P P P+ − −= + +1 1 2 1 2 3 31 1 1 11 1 1 1 1(2 4 81) ( )2 2 4 82 2 16n n n n n n n n n nP P P P P P P P P P+ − − − − − −= + + + −=+− −1 3 0, (114)6n n nP P P n+ − = −− ≥1 32 41,7 13,8 16P PP P= = == 2n ≥ 1n nP P+ 论及列表格的形式得到 ,属于难题.三、解答题共 6 小题,共 85 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 从 2 名男生(记为 和 )和 3 名女生(记为 , ,和 )组成的总体中,任意依次抽取 2 名学生.(1)分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间;(2)在(1)中的两种抽样方式下,分别求出抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率.【答案】(1)见详解;(2)有放回简单随机抽样下,抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为 ;不放回简单随机抽样下,抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为 .【解析】【分析】(1)用列举法,分别写出两种抽取方法对应的基本事件,即可得出结果;(2)先列举出两种抽样方式下,“抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生”所包含的基本事件,确定基本事件个数,再由古典概型的概率计算公式,即可求出结果.【详解】(1)由题意,有放回简单随机抽样的样本空间为 , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , ;共包含 个基本事件;不放回简单随机抽样的样本空间为: , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , ;共包含 个基本事件;(2)由(1)可得,两种抽样方式下,抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生,所包含的基本事件都是: , , , , , , ,, , , , ;共 个,1 2 31 1 1( 4)2 4 8n n n nP P P P n− − −= + + ≥1B 2B 1G 2G 3G122535( ){1 1 1,B BΩ = ( )1 2,B B ( )1 1,B G( )1 2,B G ( )1 3,B G ( )2 1,B B ( )2 2,B B ( )2 1,B G ( )2 2,B G ( )2 3,B G ( )1 1,G B( )1 2,G B ( )1 1,G G ( )1 2,G G ( )1 3,G G ( )2 1,G B ( )2 2,G B ( )2 1,G G ( )2 2,G G( )2 3,G G ( )3 1,G B ( )3 2,G B ( )3 1,G G ( )3 2,G G ( )}3 3,G G 25( ){2 1 2,B BΩ = ( )1 1,B G ( )1 2,B G ( )1 3,B G( )2 1,B B ( )2 1,B G ( )2 2,B G ( )2 3,B G ( )1 1,G B ( )1 2,G B ( )1 2,G G ( )1 3,G G( )2 1,G B ( )2 2,G B ( )2 1,G G ( )2 3,G G ( )3 1,G B ( )3 2,G B ( )3 1,G G ( )}3 2,G G20( )1 1,B G ( )1 2,B G ( )1 3,B G ( )2 1,B G ( )2 2,B G ( )2 3,B G ( )1 1,G B( )1 2,G B ( )2 1,G B ( )2 2,G B ( )3 1,G B ( )3 2,G B 12有放回简单随机抽样下,抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为 ;不放回简单随机抽样下,抽到的 2 人为 1 名男生和 1 名女生的概率为 .17. 已知前 n 项和为 的数列 中, .(1)若 是等比数列, ,求 的通项公式;(2)若 是等差数列, ,求 的最大值.【答案】(1) 或 ;(2) .【解析】【分析】(1)先设等比数列 的公比为 ,根据等比数列的求和公式,求出公比,进而可求出通项公式;(2)先设等差数列 的公差为 ,根据题中条件,求出公差,得出前 项和,即可得出最大值.【详解】(1)设等比数列 的公比为 ,因为 , ,q≠1所以 ,即 ,解得 或 ,所以 或 ;(2)设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 ,因此 ,所以 ,因为 是开口向下,对称轴为 的二次函数,又 ,所以当 或 时, 取得最大值 .18. 如图,在长方体 中, , ,E 为 AB 的中点.11225P =212 320 5P = =nS { }na 1 5a ={ }na 3 35S = { }na{ }na 5 6S S= nS( ) 15 3 nna−= × − 15 2nna−= × 15{ }na q{ }na d n{ }na q1 5a = 3 35S =( )31 1351a qq−=−2 6 0q q+ − = 3q = − 2q =( ) 15 3 nna−= × − 15 2nna−= ×{ }na d5 6 5 6S S S a= = + 6 0a = 6 1 15a ad−= = −( ) 21 1152 2nn n n nS n d− −= + =nS112n =*n N∈ 5n = 6 nS 5 6 15S S= =1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AD AA= = 2AB =(1)证明: ;(2)求点 E 到平面 的距离;(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .【解析】【分析】(1)首先建立空间直角坐标系,证明 ;(2)求平面 的法向量,利用点到平面的距离的向量公式代入求解;(3)求平面 与平面 的法向量,利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】(1)如图,以 , , 为 轴的正方形建立空间直角坐标系,建立空间直角坐标系,, , , , , ,1 1D E A D⊥1ACD1AD E 1ACD132 231 1 0D E A D⋅ = 1ACD1AD E 1ACDDADC1DD, ,x y z( )1 0,0,1D ( )1,1,0E ( )1 1,0,1A ( )0,0,0D( )1 1,1, 1D E = −( )1 1,0, 1A D = − −( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 0 1 1 0D E A D⋅ = × − + × + − × − = 所以 ;(2) , , , , , 设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,令 则 ,所以 ,则点 到平面 的距离 ;(3)由(1)可知 ,又 , ,且 ,平面 , 是平面 的法向量,,平面 与平面 夹角是锐角,所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .【点睛】思路点睛:本题第二问涉及点到平面的距离,1.可以采用等体积转化求解;2.利用向量法,直接代入公式求解;3.几何法,确定点在平面内的射影,或是利用面面垂直,点到交线的距离就是点到平面的距离.19. 已知直线 : 与直线 : , .(1)若 ,求 a 的值;(2)求证:直线 与圆 恒有公共点;(3)若直线 与圆心为 C 的圆 相交于 A,B 两点,且 为直角三角形,求 a 的值.1 1D E A D⊥( )1,0,0A ( )0, 2,0C ( )1 0,0,1D ( )1,1,0E( )1,2,0AC = −, ( )1 1,0,1AD = − ( )0,1,0EA =1ACD ( ), ,n x y z=r100n ACn AD ⋅ =⋅ =2 00x yx z− + =− + =1,y = 2, 2x z= =( )2,1,2n =E 1ACD2 2 21 132 1 2EA ndn⋅= = =+ + 1 1A D D E⊥1AD AA=Q 1 1A D AD∴ ⊥ 1 1 1AD D E D=1A D∴ ⊥ 1AD E ( )1 1,0, 1A D = − −1AD E( ) ( )1112 1 2 1 2 2cos ,33 1 1n A Dn A Dn A D× − + × −⋅ = = = −× + 1AD E 1ACD1AD E 1ACD2 231l 2 2 0x y− + = 2l 2 0x ay− − = a ∈ R1 2l l//2l2 2 4x y+ =2l2 2( ) ( 1) 4x a y− + − = ABCV【答案】(1) ;(2)证明见详解;(3) .【解析】【分析】(1)根据两直线平行,可直接得出 的值;(2)求出直线 所过定点在圆上,即可证明结论成立;(3)根据题中条件,由 为直角三角形,得到 为斜边,且 ,由点到直线距离公式,求出圆心到直线 的距离 ,再由圆的几何法表示出弦长,列出等量关系求解,即可得出 的值.【详解】(1)因为直线 : 的斜率为 ,又 ,直线 : ,所以 ,则 ;(2)由 ,令 可得 ,所以直线 过定点 ,因为 显然满足 ,即点 在圆 上,所以直线 与圆 恒有公共点;(3)因为圆 的圆心为 ,半径为 ,又直线 与圆心为 C 的圆 相交于 A,B 两点, 为直角三角形,所以 ,则 为斜边,且 ,又圆心 到直线 的距离为 显然恒成立,根据圆的性质可得: ,所以 ,解得 .【点睛】关键点点睛:求解本题第三问的关键在于根据圆的性质,以及题中条件,确定 为 的斜边,并得到 的长度,再结合点到直线距离公式,以及弦长公式,即可求解.20. 如图四棱锥 中, 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形, ,12a = 1a = ±a2lABCV AB 2 2AB =2l da1l 2 2 0x y− + = 21 2l l// 2l 2 0x ay− − =12a= 12a =2 0x ay− − = 0y = 2x = 2l ( )2,0( )2,0 2 22 0 4+ = ( )2,0 2 2 4x y+ =2l2 2 4x y+ =2 2( ) ( 1) 4x a y− + − = ( ),1a 2r =2l2 2( ) ( 1) 4x a y− + − = ABCV2CA CB r= = = AB 2 2AB =( ),1a 2 0x ay− − =2 22 221 1a ad ra a− −= = =+ +2 22AB r d= −242 2 2 41 a= −+1a = ±AB ABCVABP ABCD− PAD△ / /BC AD, , ,E 为 PD 的中点.(1)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值;(2)设 F 是 BE 的中点,判断点 F 是否在平面 PAC 内,并证明结论.【答案】(1) ;(2) 在平面 内.证明见解析.【解析】【分析】(1)计算出 ,证明 ,然后取取 中点 ,连接 ,可证明 平面 ,这样可建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求线面角的正弦值;(2) 在平面 内.只要证明 与 共面即可得.【详解】直角梯形 中,由已知可得 , ,∴ ,即 ,又 是以 为斜边的等腰直角三角形,∴ ,取 中点 ,连接 ,则 , ,则 ,∴ ,又 ,∴ ,∴ , ,而 , 平面 ,∴ 平面 ,因此可以 为 轴,过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系 ,如AB AD⊥ 2 2 2AD AB BC= = = 2PC =13F PAC2PA PD= = AC CD⊥ AD O ,OC OPOP ⊥ ABCDF PAC AF,AC AP ABCD 2AC = 2CD = 2 2 2AC CD AB+ =AC CD⊥APD△ AB 2PA PD= =AD O ,OC OP 1OC OA OD= = = 1OP =OAP OCP ODP≅ ≅△ △ △ POA POC POD∠ = ∠ = ∠180POA POD∠ + ∠ = ° 90POA POC POD∠ = ∠ = ∠ = °OP AD⊥ OP OC⊥ OC AD O= ,OC AD ⊂ ABCDOP ⊥ ABCD,AB AD ,x y A OP z A xyz−图,则 , , , , ,, ,设平面 的一个法向量为 ,则 ,取 ,则 ,即 ,又 ,,直线 PB 与平面 PAC 所成角为 ,则 .(2)由(1) , , ,设 ,则 , ,解得 ,∴ ,∴ 与 共面,∴ 在平面 内.【点睛】方法点睛:本题考查求线面角,判断点到平面的关系.解题方法是空间向量法,通(0,0,0)A (1,0,0)B (1,1,0)C (0,2,0)D (0,1,1)P(0,1,1)=AP (1,1,0)AC =PAC ( , , )n x y z=00n AP y zn AC x y ⋅ = + =⋅ = + = 1y = − 1x z= = (1, 1,1)n = −( 1,1,1)BP = −1 1 1 1cos ,33 3BP nBP nBP n⋅ − − += = = −×   θ 1sin cos ,3BP nθ = = 3 1(0, , )2 2E1 3 1( , , )2 4 4F1 3 1( , , )2 4 4AF =AF xAC y AP= +   1 3 1( , , ) (1,1,0) (0,1,1)2 4 4x y= +123414xx yy = + = =1214xy = =1 12 4AF AC AP= +  AF,AC AP F PAC过求出直线与平面法向量的夹角的余弦值得线面角的正弦值.利用向量法证明向量 与共面共面从而可得点与平面的位置关系.21. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍,焦距是 .(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 l: 与椭圆 C 交于两个不同点 , ,以线段 为直径的圆经过原点,求实数 的值;(3)设 , 为椭圆 的左、右顶点, 为椭圆 上除 , 外任意一点,线段 的垂直平分线分别交直线 和直线 于点 和点 ,分别过点 和 作 轴的垂线,垂足分别为 和 ,求证:线段 的长为定值.【答案】(1) ;(2) ;(3)证明见详解.【解析】【分析】(1)记焦距为 ,根据题中条件,列出关于 的方程组求解,得出 ,即可得出椭圆方程;(2)设 , ,联立直线与椭圆方程,由韦达定理,得到 和 ,由判别式大于零求出 范围,根据题中条件,得到 ,由此求出 ,即可得出结果;(3)设 ,由此得到 ,利用 分别表示出直线 和 的方程,联立两直线方程,求出 点横坐标,根据 和 两点的坐标得出 和 的横坐标,进而可求出线段 的长,得出结论成立.【详解】(1)记该椭圆的焦距为 ,由题意可得 ,解得 ,AF,AC AP 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 2 3C4 0x my− − = D E DEmA B C H C A B BHBH AH P Q P Q xM N MN22 14xy+ = 19±2c , ,a b c ,a b( )1 1,D x y ( )2 2,E x y 1 2y y+ 1 2y ym 1 2 1 2 0x x y y+ = m( )0 0,H x y 0 02,2 2x yP+    0 0,x y PQ AHQ P Q M NMN2c2 2 22 2 32 4ca ba b c == = +213abc == =因此椭圆 的方程为 ;(2)设 , ,由 消去 ,整理得 ,所以 , ,则 ;又以线段 为直径的圆经过原点,所以 ,则 ,所以 ,即 ,则 ,整理得 满足 ,所以 ;(3)因为 , 为椭圆 的左、右顶点,所以 , ,由题意,设 ,则 ,所以 ,则 ,因为线段 的垂直平分线分别交直线 和直线 于点 和点 ,则 为 中点,所以 ,又直线 斜率为 ,所以其垂直平分线 的斜率为 ,因此直线 的方程为,即 ;的C22 14xy+ =( )1 1,D x y ( )2 2,E x y224 014x myxy− − =+ =x ( )2 24 8 12 0m y my+ + + =1 2 21 2 284124my ymy ym + = − + = +( )2 264 48 4 0∆ = − + m m 2 12m DE OD OE⊥ 1 2 1 2 0OD OE x x y y⋅ = + = ( )( )1 2 1 24 4 0my my y y+ + + = ( ) ( )2 1 2 1 21 4 16 0m y y m y y+ + + + =( )2 22 212 1 3216 04 4m mm m+− + =+ +2 19m = 2 12m 19m = ±A B C ( )2,0A − ( )2,0B( )( )0 0 0, 2H x y x ≠ ±2200 14xy+ = 2 20 04 4x y− = −0 00 02 42x yy x− −=+BH BH AH P QP BH 0 02,2 2x yP+   BH00 2BHykx=−PQ 002PQxky−= −PQ0 0 0 0 0 0 000 0 0 02 2 4 4 2 422 2 2 2 2 2y x x y y x yy x x x yy x x x− + + − = − − = − ⋅ = −  + + + 0 004 32 2y yy xx= −+又直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 ,由 可得 ,则 ,解得 ,即 ,又 、 分别为 、 在 轴的垂足,则 , ,所以 为定值.【点睛】关键点点睛:求解本题第二问的关键在于,根据线段 为直径的圆经过原点得到 ,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理进行求解;求解本题第三问的关键在于设出点 坐标,根据点 坐标表示出直线方程,求出 和 的坐标,即可求解.AH00 2AHykx=+AH ( )0022yy xx= ++( )0 00004 32 222y yy xxyy xx = − + = + +( )0 0 00 04 322 2 2y y yx xx x− = ++ + 0 04 3 22 2 2x xx x+− =+ +0 52 3xx = + 0 52 3Qxx = +M N PM QN x0 02 12 2M Px xx x+= = = + 0 52 3N Qxx x= = +23M NMN x x= − =DE OD OE⊥H H P Q

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