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安徽省蚌埠市2020-2021学年高二数学上学期期末试题(Word版附答案)

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蚌埠市 2020——2021 学年度第一学期期末学业水平监测高二数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A,B,C,D 的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卡上﹒1.直线 的倾斜角是A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知 P,Q 是不同的点,l,m,n 是不同的直线, , 是不同的平面,则下列数学符号表示的命题中,不是公理的是A. , , ,B. , 存在唯一直线 l, ,且C. ,D. ,3.抛物线 的焦点坐标是A. B. C. D.4.如图所示一平面图形的直观图,则此平面图形可能是A. B. C. D.5.直线 和圆 相交于 A,B 两点,则A.2 B.4 C. D.66.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M,A,B,C 共面的是3 2 0x y+ + =α βP l∈ Q l∈ P α∈ Q lα α∈ ⇒ ⊂P α∈ P β∈ ⇒ lα β = P l∈/ /l m / / / /m n l n⇒m α⊥ / /n m nα⊥ ⇒214y x=( )0,1 ( )1,0 1 ,016 −   1,016   : 2 1 0l x y− − = 2 2: 4 6 4 0M x y x y+ − − + = AB =2 5A. B.C. D.7.如图,用一个平面截圆柱得一椭圆面,平面与圆柱底面所成的锐二面角为 ,则椭圆的离心率为A. B. C. D.8.已知空间中 l,m,n 是三条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若 , ,则 B.若 , ,则C.若 , ,则 D.若 , ,则9.下列说法中,错误的是A.命题“ , ”否定为“ , ”B.命题“若 ,则 且 ”的否命题是“若 ,则 或 ”C.命题“若 ,则方程 有实根”的逆否命题是真命题D.命题“若 a,b 都是偶数,则 是偶数”的逆命题是假命题10.设离心率为 e 的双曲线 的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F 且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是A. B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为OM OA OB OC= + +   2OM OA OB OC= − −   1 12 3OM OA OB OC= + +    1 1 13 3 3OM OA OB OC= + +   60°13122232α β/ /m α / /n α / /m n / /m α / /m β / /α βm α⊥ m β⊥ / /α β l m⊥ l n⊥ / /m n0x∃ ∈ R20 02 2 0x x+ + ≤ x∀ ∈ R2 2 2 0x x+ + ≤2 2 0m n+ = 0m = 0n = 2 2 0m n+ ≠ 0m ≠ 0n ≠0m 2 0x x m+ − =a b+2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = 2 2 1k e− 2 2 1k e− 2 2 1e k− 2 2 1e k− A. B. C. D.12.直线 l 与抛物线 相交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,点 P 是 y 轴左侧一点,若线段 PA,PB 的中点都在抛物线上,则A.PM 与 y 轴垂直 B.PM 的中点在抛物线上C.PM 必过原点 D.PA 与 PB 垂直第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案直接填在答题卡上.13.空间直角坐标系中,点 关于平面 xOz 的对称点坐标为_________.14.正方体 中,点 P 是 的中点,则异面直线 AP 与 所成角的大小为_________.15.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为 O),地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角,点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 ,则晷针与点 A 处的水平面所成角的大小为_________.16.在三棱锥 中, 平面 ABC, , , ,D 是线段 AC 上一点且.三棱锥 的各个顶点都在球 O 表面上,过点 D 作球 O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 ,则三棱锥 的体积为_________.三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)正四棱台 的高是 17cm,两底面的边长分别是 4cm 和 16cm,求这个棱台侧棱的长和斜高.18.(本小题满分 12 分)7π 8π 9π 10π2 2 ( 0)y px p= ( )1,3,41 1 1 1ABCD A B C D− 1CC 1BC40°P ABC− PA ⊥ AB AC⊥ 6AB = 8AC =3AD DC= P ABC−16π P ABC−1AC已知直线 ,直线 .(1)当 时,直线 l 经过 m 与 n 的交点,且 ,求直线 l 的方程;(2)若 ,求直线 m 与 n 间的距离.19.(本小题满分 12 分)已知 , (其中实数 ).(1)分别求出 p,q 中关于 x 的不等式的解集 M,N;(2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 ,且与圆 外切于点 ,点 是 x 轴上的一个动点.(1)求圆 C 的标准方程;(2)当圆 C 上存在点 Q,使 ,其中 O 为坐标原点,求实数 m 的取值范围.21.(本小题满分 12 分)如图所示,在七面体 ABCDEFG 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且 ,, 底面 ABCD, .(1)求证: 平面 BCFE;(2)在线段 BC 上是否存在点 M,使得平面 AGE 与平面 MGE 所成锐二面角的余弦值为 ,若存在求出线段 BM 的长;若不存在说明理由﹒22.(本小题满分 12 分)温馨提示:本题为选做题,其中省示范高中、北师大附校、北大培文一律选择 B 题作答,其它学校的考生自主选择,请先在答题卷相应位置按要求做标注再答题.(A)已知圆 ,点 ,P 是圆 C 上一动点,若线段 PG 的垂直平分线和 CP相交于点 Q,点 Q 的轨迹为曲线 E.动直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,且始终满足 ,O 为坐标原点,作 交 MN 于点 H.: ( 1) (2 3) 6 0m a x a y a− + + − + = : 2 3 0n x y− + =0a = l n⊥/ /m n2: 2 35 0p x x− − ≤ :[ ( 1)][ (2 1)] 0q x m x m− + − − ≤ 2m ( )1,0 2 2( 3) 4x y+ − = (0,1) ( ) ( ),0 0P m m ≠30OPQ∠ = °60BAD∠ = °/ / / /BE CF DG BE ⊥ 2BE CF DG= = =/ /AG2114( )2 2: 3 16C x y− + = ( )3,0G −OM ON⊥OH MN⊥(1)求曲线 E 的方程;(2)证明: 为定值.(B)已知圆 ,点 ,P 是圆 C 上一动点,若线段 PG 的垂直平分线和 CP相交于点 Q,点 Q 的轨迹为曲线 E.曲线 E 与 x 轴的正半轴交于 A 点,与 y 轴的正半轴交于 B 点,动直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,且始终满足 ,O 为坐标原点,作 交 MN 于点H.(1)求曲线 E 的方程;(2)求 的取值范围.蚌埠市 2020——2021 学年度第一学期期末学业水平监测高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D A C B D D C A D C A二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)13. 14. 15.40° 16.三、解答题:17.(本题满分 10 分)解:如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 和 O, 和 BC 的中点分别是 和 E,连接 ,, ,OB, ,OE,则四边形 和 都是直角梯形.∵ , ,∴ , , , .∴ ,.OH( )2 2: 3 16C x y− + = ( )3,0G −OM ON⊥ OH MN⊥HA HB⋅ ( )1, 3,4−4π16 31O 1 1B C 1E 1O O1E E 1 1O B 1 1O E 1 1OBB O 1 1OEE O1 1 4cmA B = 16cmAB =1 1 2cmO E = 8cmOE = 1 1 2 2cmO B = 8 2cmOB =( )22 21 1 1 1 361B B O O OB O B= + − =( )22 21 1 1 1 325E E O O OE O E= + − =∴ , .即棱台的侧棱长为 19cm,斜高为 cm.18.(本题满分 12 分)解:(1)当 时,直线 ,由 ,解得 ,即 m 与 n 的交点为 .由 ,设直线 l 的方程为 ,代入点 ,解得 ,直线 l 的方程为 .(2)由 ,得 ,解得 ,此时直线 m 的方程为 ,直线 m 与 n 间的距离为 .19.(本题满分 12 分)解:(1)由 ,得 ,解得 ,即 ,由 ,得 ,所以 ,解得 ,即 .(2)由 p 是 q 的必要不充分条件,知 ,所以 ,等号不同时取,解得 ,又 ,则实数 m 的取值范围是 .20.(本题满分 12 分)1 19cmB B = 1 5 13cmE E =5 130a = : 3 6 0m x y− − =3 6 02 3 0x yx y− − = − + =219xy= − = −( )–21, 9−/ /l n 2 0x y t+ + =( )–21, 9− 51t =2 51 0x y+ + =/ /m n 2( 1) 2 3a a− − = + 14a = −2 5 0x y− − =2 23 ( 5) 8 551 ( 2)− −=+ −2 2 35 0x x− − ≤ ( 7)( 5) 0x x− + ≤5 7x− ≤ ≤ [ ]5,7M = −2m ( ) ( )2 1 1 2 0m m m− − + = − 2 1 1m m− +1 2 1m x m+ ≤ ≤ − [ ]1,2 1N m m= + −N MÜ5 17 2 1mm− ≤ + ≥ −6 4m− ≤ ≤2m ( ]2, 4解:(1)设圆 ,则 ,解得, , ,故圆 C 的标准方程为: ;(2)当圆 C 上存在点 Q,使 ,等价于直线 或 与圆 C 有交点,由对称性可知点 O 到直线 或 距离相等.点 O 到直线 的距离小于等于半径 1,即 ,解得 ,故实数 m 的取值范围是 .21.(本题满分 12 分)(1)证明:∵ , 面 BCFE 且 面 BCFE∴ 面 BCFE又∵ , 面 BCFE 且 面 BCFE∴ 面 BCFE∵ 面 ADG, 面 ADG,且∴面 面 BCFE∵ 面 ADG,∴ 面 BCFE.(2)解:取 BC 中点为 H,则 DA,DH,DG 三线两两垂直以D为坐标原点,以DA,DH,DG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 ,假设存在 M 满足条件,则 ,由题得: , , , , ,∵ ,2 2 2: ( )C x y b r+ − =2 2 22 2 21 (0 )0 (1 )b rb r + − =+ − =0b = 1r =2 2 1x y+ =30OPQ∠ = °3( )3y x m= − 3 ( )3y x m= − −3( )3y x m= − 3 ( )3y x m= − −3 0x y m− − =11 3m≤+2 2m− ≤ ≤[ ]2, 2−/ /DG CF CF ⊂ DG Ø/ /DG/ /AD BC BC ⊂ AD Ø/ /ADAD ⊂ DG ⊂ AD DG D=/ /ADGAG ⊂ / /AGD xyz−(0 1)BM BCλ λ= ≤ ≤ ( )2,0,0A ( )1, 3,0B ( )1, 3,0C − ( )1, 3,2E ( )0,0, 2GBM BCλ= ∴点 M 坐标为: ,∴ , , , ,设平面 AGE 的一个法向量为: ,平面 MGE 的一个法向量为: ,则 ,令 ,则 , ,∴ ,同理可得 ,由题意得: ,解得: 或 (舍),∴ .22.(A)(本题满分 12 分)(1)由圆 ,可得圆心 ,半径 ,因为 ,所以点 G 在圆 C 内,又由点 Q 在线段 PG 的垂直平分线上,所以 ,所以 ,由椭圆的定义知,点 Q 的轨迹是以 G,C 为焦点的椭圆,其中 , , ,所以曲线 E 的方程为 .(2)①当直线 l 的斜率不存在时:设 l 的方程为: ,则易得 ,即( )1 2 , 3,0λ−( 2,0, 2)AG = − ( )1, 3, 2AE = − ( )2 1, 3,2MG λ= − − ( )2 ,0,2ME λ=( )1 1 1 1, ,n x y z=( )2 2 2 2, ,n x y z=1 1 11 1 1 12 2 03 2 0n AG x zn AE x y z ⋅ = − + =⋅ = − + + =   1 3x = 1 1y = − 1 3z =1 ( 3, 1, 3)n = −231, ,3n λ = − −   1 221 24 33 21314473n nn nλλ−⋅ = =⋅ +   23λ = 269λ =43BM =( )2 2: 3 16C x y− + = ( )3,0C 4r =2 3 4GC = GQ PQ=4GQ QC PQ QC GC+ = + = 2a = 3c = 2 4 3 1b = − =22 14xy+ =x t=2 55t = ± 2 5:5l x = ±∴H 点的坐标为: , .②当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为: ,, ,联立 ,可得 .由 得 ,且, ,又因为 ,所以 ,即 ,即 ,代入解得 ,∴ ,从而 .综上, 为定值.22.(B)(本题满分 12 分)(1)由圆 ,可得圆心 ,半径 ,因为 ,所以点 G 在圆 C 内,又由点 Q 在线段 PG 的垂直平分线上,所以 ,所以 ,由椭圆的定义知,点 Q 的轨迹是以 G,C 为焦点的椭圆,其中 , , ,所以曲线 E 的方程为 .(2)当直线 l 的斜率不存在时:设 l 的方程为: ,2 5,05 ±   255OH =( 0)y kx m m= + ≠( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 14y kx mxy= ++ =( ) ( )2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m+ + + − =0∆ 2 24 1 0k m+ − 1 2 284 1kmx xk+ = −+( )21 2 24 14 1mx xk−=+OM ON⊥ 0OM ON⋅ = 1 2 1 2 0x x y y+ =( )( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =( )2 24 1 5k m+ =2222241 51m mkOHk = = =  ++ 255OH =OH( )2 2: 3 16C x y− + = ( )3,0C 4r =2 3 4GC = GQ PQ=4GQ QC PQ QC GC+ = + = 2a = 3c = 2 4 3 1b = − =22 14xy+ =x t=则易得 ,即∴H 点的坐标为:当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为: ,, ,联立 ,可得 .由 得 ,且, ,又因为 ,所以 ,即 ,即 ,代入解得 ,∴ ,综上:点 H 的轨迹方程为 .记线段 AB 的中点为 D,直线 AB 与圆 相切,则 ,,,∴ 的取值范围为 .2 55t = ± 2 5:5l x = ±2 5,05 ±   ( 0)y kx m m= + ≠( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 14y kx mxy= ++ =( ) ( )2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m+ + + − =0∆ 2 24 1 0k m+ − 1 2 284 1kmx xk+ = −+( )21 2 24 14 1mx xk−=+OM ON⊥ 0OM ON⋅ = 1 2 1 2 0x x y y+ =( )( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =( )2 24 1 5k m+ =2222241 51m mkOHk = = =  ++ 2 2 45x y+ =52OD =2 2 4:5O x y+ =2 2 2 54HA HB HD AD HD⋅ = − = −    5 2 5 5 2 5 5 9 5, ,2 5 2 5 10 10HD   ∈ − + =      2 5 6 14,4 5 5HD − ∈ −  HA HB⋅  6 14,5 5 −  (以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)

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