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高二数学上册(理)第三次月考试卷及答案

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高二数学上册(理)第三次月考试卷及答案一、选择题1.已知空间直角坐标系中 A(1,1,0)且 AB=(4,0,2),则 B 点坐标为( )A.(9,1,4) B.(9,-1,-4)C.(8,-1,-4) D.(8,1,4)2.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 4 ,高 SE=8,则过点 A,B,C,D,S 的球的半径为( )A.3 B.4 C.5 D.63.过点 的直线与圆 相切,且与直线 垂直,则 ( ).A. B.1 C.2 D.4.已知两条不同直线 、 ,两个不同平面 、 ,给出下列命题:①若 ∥ ,则 平行于 内的所有直线;②若 , 且 ⊥ ,则 ⊥ ;③若 , ,则 ⊥ ;④若 , 且 ∥ ,则 ∥ ;其中正确命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知直线 ax+y+2=0 及两点 P(-2,1)、Q(3,2),若直线与线段 PQ 相交,则 a 的取值范围是( )A.a≤- 或 a≥ B.a≤- 或 a≥ C.— ≤a≤ D.— ≤a≤6.下列说法正确的有( )个①“ ”是“θ=30°”的充分不必要条件②若命题 p:∃x∈R,x2-x+1=0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1≠0③命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”④已知 a,b∈R+,若 log3a>log3b,则 .A.0 B.1 C.2 D.37.已知直二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D到平面 ABC的距离等于(  )A. B. C. D.18.设 A: ,若 B 是 A 成立的必要不充分条件,则 m 的取值范围是( )A.m<l B.m≤1 C.m≥1 D.m>19.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三棱锥C-ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )2(2,2)P 2 2( 1) 5x y− + = 1 0ax y− + =a =12− 12m l α βl α l αm ⊂ α l ⊂ β l m α βl ⊂ β α⊥l α βm ⊂ α l ⊂ β α β m lA. B. C. D.10.下面说法正确的是( )A.命题“∃x∈R,使得 x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R,使得 x2+x+1≥0”B.实数 x>y 是 成立的充要条件C.设 p、q 为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“¬p∧¬q”也为假命题D.命题“若 x2-3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为假命题11.已知命题 p:“对∀x∈R,∃m∈R,使 4x+m•2x+1=0”.若命题¬p 是假命题,则实数 m 的取值范围是( )A.-2≤m≤2 B.m≥2 C.m≤-2 D.m≤-2 或 m≥212.如图,在正方体 中,点 为线段 的中点.设点 在线段 上,直线与平面 所成的角为 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).则以 为边的平行四边形的面积为________.14.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B为切点,若四边形 PACB的最小面积是 2,则 k的值为________.15.已知两点 A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2)点 Q 在直线 OP 上运动,则当取得最小值时,Q 点的坐标 .16.如图,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得 C 点至 C′,E 点在线段 AC′上,若二面角A-BD-E 与二面角 E-BD-C′的大小分别为 15°和 30°,则= .1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CCOP 1A BD α sinα3[ ,1]36[ ,1]36 2 2[ , ]3 32 2[ ,1]3,AB AC 三、解答题17.如图,在三棱锥 中, , 平面 , , 分别为 , 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)求证:平面 平面 .18. 命题 p :关于 x 的不等式 x2+2ax+4 > 0 ,对一切 x∈R 恒成立;命题 q :函数在(0,+∞)上是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假.求实数 a 的取值范围.19. 已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=AC=1,AA1=2,点O是 B1C与 BC1的交点.(1)求 AO的距离;(2)求异面直线 AO与 BC所成的角的余弦值;20. 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.FEA CPBP ABC− 90ABC∠ =  PA ⊥ ABC E F PB PC//EF ABCAEF ⊥ PABxxf a23log)( −=(1)若 为圆 C上任意一点,求 的最大值与最小值;(2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引切线 PM,M 为切点,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求当|PM|最小时的点 P的坐标。21.在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD= BC,∠ABC=60°,N 是 BC 的中点,将梯形 ABCD绕 AB旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图).(1)求证:AC⊥平面 ABC′;(2)求证:C′N∥平面 ADD′;(3)求二面角 A-C′N-C的余弦值.22. 已知定点 O(0,0),A(3,0),动点 P到定点 O距离与到定点 A的距离的比值是.(Ⅰ)求动点 P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线;(Ⅱ)当λ=4 时,记动点 P的轨迹为曲线 D。F,G是曲线 D上不同的两点,对于定点Q(-3,0),有|QF|•|QG|=4.试问无论 F,G两点的位置怎样,直线 FG能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.( , )M m n12n−+m12第三次月考参考答案(理科)一、选择题A CC AA DCDBD CB13. 14.2 15.( ) 16. 17.(1)在 中, 分别为 的中点 又 平面 , 平面 平面 (2)由条件, 平面 , 平面,即 , 由 , ,又 , 都在平面 内 平面又 平面 平面 平面 18. 解:若命题 p为真命题,则△=4a2-16<0,解得-2<a<2;若命题 q为真命题,则 3-2a>1,解得 a<1∵p∨q为真,p∧q为假.∴p与 q一真一假即 ,或解得 a≤-2,或 1≤a<2∴实数 a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,2)19. 解:设(1) = 所以(2)由(1), , ,所以 , , ,20.解:(1)设 ,则 表示直线 MA的斜率;其中 A(1,-2)是定点;因为 在圆 C上,所以圆 C与直线 MA有公共点,而直线 MA方程为:y+2= (x-1),则有:C点到直线 MA的距离不大于圆 C的半径即: ,解得: ,即 的最大值为-1,最小值为-7.(2)由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=(x+1)2+(y-2)2-2;7 3PBC∆ FE, PCPB, BCEF //∴⊂BC ABC ⊄EF ABC //EF∴ ABC⊥PA ABC ⊂BC ABCBCPA ⊥∴ °=∠ 90ABC BCAB ⊥//EF BC ∴ EF AB⊥ EF PA⊥AABPA =∩ ABPA, PAB EF∴ ⊥ PAB⊂EF AEF ∴ AEF ⊥ PAB26)(21 2 = ++== cbaAOAO12−+=mnkk( , )M m nk21|222|2≤+−−−kk17- −≤≤ k 12n−+m由|PM|=|PO|得:(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2;即 2x-4y+3=0, 即 x=2y-此时|PM|=|PO|=所以当 y= 即 P( )时,|PM|最小.21. (1)证明 ∵AD= BC,N是 BC的中点,∴AD=NC,又 AD∥BC,∴四边形 ANCD是平行四边形,∴AN=DC,又∠ABC=60°,∴AB=BN=AD,∴四边形 ANCD是菱形,∴∠ACB= ∠DCB=30°,∴∠BAC=90°,即 AC⊥AB,又平面 C′BA⊥平面 ABC,平面 C′BA∩平面 ABC=AB,∴AC⊥平面 ABC′.(2)证明:∵AD∥BC,AD′∥BC′,AD∩AD′=A,BC∩BC′=B,∴平面 ADD′∥平面 BCC′,又 C′N⊂平面 BCC′,∴C′N∥平面 ADD′.(3)解:∵AC⊥平面 ABC′,AC′⊥平面 ABC.如图建立空间直角坐标系,设 AB=1,则 B(1,0,0),C(0, ,0),C′(0,0, ),N ,∴ ′=(-1,0, ), ′=(0,- , ),设平面 C′NC 的法向量为 n=(x,y,z),则 即取 z=1,则 x= ,y=1,∴n=( ,1,1).∵AC′⊥平面 ABC,∴平面 C′AN⊥平面 ABC,又 BD⊥AN,平面 C′AN∩平面 ABC=AN,∴BD⊥平面C′AN,BD与 AN交于点 O,O则为 AN的中点,O ,∴平面 C′AN 的法向量 =.∴cos〈n, 〉= = ,由图形可知二面角 A­C′N­C 为钝角,所以二面角 A­C′N­C 的余弦值为-3 31 3( , ,0)4 4−OB3 3( , ,0)4 4−OBn OBOB n⋅ 555523209)53(54965)232( 222222 +−=+−=+−=+ yyyyyyx5353,103-12123 31 3( , ,0)2 2 BC3 CC3 3' 0' 0n BCn C C ⋅ =⋅ =3 3 03 0y zx z− + =− + =22. 解:(Ⅰ)设动点 P的坐标为(x,y),则由 ,得λ(x2+y2)=(x-3)2+y2,整理得:(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.∵λ>0,∴当λ=1 时,则方程可化为:2x-3=0,故方程表示的曲线是线段 OA的垂直平分线;当λ≠1时,则方程可化为 ,即方程表示的曲线是以 为圆心, 为半径的圆。(Ⅱ)当λ=4 时,曲线 D的方程是 x2+y2+2x-3=0,故曲线 D表示圆,圆心是 D(-1,0),半径是 2.解法一:设点 Q到直线 FG的距离为 d,∠FQG=θ,则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|,且圆的半径 r=2.即 .于是顶点 Q到动直线 FG的距离为定值,即动直线 FG与定圆(x+3)2+y2=1相切.②解法二:设 F,G两点的坐标分别为 F(x1,y1),G(x2,y2),则由|QF|•|QG|=4有: ,结合有: ,若经过 F、G两点的直线的斜率存在,设直线 FG的方程为 y=mx+n,由 ,消去 y有:(1+m2)x2+(2mn+2)x+n2-3=0,则 ,,所以 ,由此可得 8m2-6mn+n2=1,也即(3m-n)2=1+m2,假设存在定圆(x-a)2+(y-b)2=r2,总与直线 FG相切,则 是定值 r,即 d与 m,n无关,与 对比,有 , 此时,故存在定圆(x+3)2+y2=1,当直线 FG的斜率不存在时,x1=x2=-2,直线 FG的方程是 x=-2,显然和圆相切.故直线 FG能恒切于一个定圆(x+3)2+y2=1。

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