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九江一中高二数学(理)上学期期末试卷及答案

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九江一中高二数学(理)上学期期末试卷及答案注意事项:1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,答题时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2. 第I卷(选择题)答案必须使用2B铅笔填涂;第II卷(非选择题)必须将答案卸载答题卡上,写在本试卷上无效。3. 考试结束,将答题卡交回,试卷由个人妥善保管。第I卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、如果,那么下列不等式成立的是( )A. B. C. D.2、( )A.15 B.30 C.31 D.643、已知双曲线的离心率等于,且点在双曲线上,则双曲线的方程为( )A. B. C. D.4、已知命题,命题,则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、若实数满足,则的最小值为( )A. B.2 C. D.6、已知数列为等比数列,则下列结论正确的是( )A. B.若,则C.若,则 D.7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,一个月(按30天计算)总共织布尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( )A.尺 B.尺 C.尺 D.尺8、若双曲线的渐近线与圆()相切,则(A)5 (B) (C)2 (D)9、设正数满足:,则的最小值为( )A. B. C.4 D.210、若椭圆和圆,(为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D.11、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)812、如图,为椭圆的长轴的左、右端点,为坐标原点,为椭圆上不同于的三点,直线,围成一个平行四边形,则( )A.5 B. C.9 D.14第II卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13、在△ABC中,若,则 14、在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=___________________15、已知中,,则的最大值是 16、设数列是首项为0的递增数列,,满足:对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为_________三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)在中,角所对的边分别为,且(1)求的值;(2)若,,求三角形ABC的面积.(18)(本小题满分12分)已知数列满足,.(1)计算,,,的值;(2)根据以上计算结果猜想的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.(19)(本小题满分12分)数列的前项和记为,,.(Ⅰ)当为何值时,数列是等比数列;(Ⅱ)在(I)的条件下,若等差数列的前项和有最大值,且,又,,成等比数列,求.20、(本小题满分12分)由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形,沿折起,使平面平面.(1)求证:;(2)求二面角的正切值.21、(本小题满分12分)已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且.(1)求的值;(2)若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.22、(本小题满分12分)已知椭圆的中心为坐标原点,其离心率为,椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程(2)过点的动直线交椭圆于、两点,试问:在平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点,若存在,说出点的坐标,若不存在,说明理由.高二数学试卷注意事项:1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,答题时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2. 第I卷(选择题)答案必须使用2B铅笔填涂;第II卷(非选择题)必须将答案卸载答题卡上,写在本试卷上无效。3. 考试结束,将答题卡交回,试卷由个人妥善保管。第I卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、如果,那么下列不等式成立的是( )A. B. C. D.【答案】D2、( )A.15 B.30 C.31 D.64【答案】A3、已知双曲线的离心率等于,且点在双曲线上,则双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D4、已知命题,命题,则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B5、若实数满足,则的最小值为( )A. B.2 C. D.【答案】A6、已知数列为等比数列,则下列结论正确的是( )A. B.若,则C.若,则 D.【答案】D7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,一个月(按30天计算)总共织布尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为( )A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B8、若双曲线的渐近线与圆()相切,则(A)5 (B) (C)2 (D)【答案】B9、设正数满足:,则的最小值为( )A. B. C.4 D.2【答案】A10、若椭圆和圆,(为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D.【答案】A11、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B12、如图,为椭圆的长轴的左、右端点,为坐标原点,为椭圆上不同于的三点,直线,围成一个平行四边形,则( )A.5 B. C.9 D.14【答案】D第II卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13、在△ABC中,若,则 【答案】714、在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=___________________【答案】15、已知中,,则的最大值是 【答案】16、设数列是首项为0的递增数列,,满足:对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为_________【答案】三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)在中,角所对的边分别为,且(1)求的值; (2)若,,求三角形ABC的面积.解析:(1)由已知及正弦定理可得……………2分由两角和的正弦公式得………………4分由三角形的内角和可得……………… 5分因为,所以…………………6分(2) 由余弦定理得:, ,………………9分由(1)知 ………………………10分所以.…………12分(18)(本小题满分12分)已知数列满足,.(1)计算,,,的值;(2)根据以上计算结果猜想的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解析:解:(1)由和,得,,,. (4分)(2)由以上结果猜测: (6分)用数学归纳法证明如下:(Ⅰ)当时 ,左边,右边,等式成立. (8分)(Ⅱ)假设当时,命题成立,即成立.那么,当时,这就是说,当时等式成立.由(Ⅰ)和(Ⅱ),可知猜测对于任意正整数都成立.(12分)(19)(本小题满分12分)数列的前项和记为,,.(Ⅰ)当为何值时,数列是等比数列;(Ⅱ)在(I)的条件下,若等差数列的前项和有最大值,且,又,,成等比数列,求.解析:(I)由,可得,两式相减得,∴当时,是等比数列, 要使时,是等比数列,则只需,从而.(II)设的公差为d,由得,于是, 故可设,又,由题意可得,解得:, ∵等差数列的前项和有最大值,∴ ∴.20、(本小题满分12分)由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形,沿折起,使平面平面.(1)求证:;(2)求二面角的正切值.解析:法一:(1)作于,连结.∵等腰,∴点为的中点.而等腰,∴,而,∴平面,∴.(2)∵等腰和等腰,∴,∴.又∵平面平面,平面平面,∴平面,作,连结,即为二面角的平面角.在中,,,,∴,∴二面角的正切值为2.法二:(1)作于,连结,∵平面平面,∴平面.∵等腰,∴点为的中点,而等腰,∴.如图,建立空间直角坐标系,∴,,,,,,,,∵,∴.(2)显然平面的法向量,平面中,,,∴平面的法向量,∴,∴,∴二面角的正切值为2.21、(本小题满分12分)已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且.(1)求的值;(2)若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.解析:(1)由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得.(2)由(1)得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,则直线的斜率,直线的斜率,所以.当直线不垂直于轴时, 设,则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为.联立方程,消得,,所以,故,综上, 直线与直线的斜率之积为.22、(本小题满分12分)已知椭圆的中心为坐标原点,其离心率为,椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程(2)过点的动直线交椭圆于、两点,试问:在平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点,若存在,说出点的坐标,若不存在,说明理由.解析:(1)抛物线焦点的坐标为,则椭圆的焦点在轴上设椭圆方程为由题意可得,,,∴ 椭圆方程为 ……3分(2)若直线与轴重合,则以为直径的圆是,若直线垂直于轴,则以为直径的圆是由即两圆相切于点 ……5分因此所求的点如果存在,只能是,事实上,点就是所求的点. ……6分证明:当直线垂直于轴时,以为直径的圆过点,若直线不垂直于轴,可设直线: 设点,由, ∴ ……9分又 , ,∴ ……11分 ∴ 即: 故以为直径的圆恒过点.综上可知:在坐标平面上存在一个定点满足条件. ……12分

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