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荆州中学高二数学(理)上学期期末试卷及答案

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时间:2020-10-14

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荆州中学高二数学(理)上学期期末试卷及答案本试题卷共4页,三大题22小题.全卷满分150分,考试用时120分钟.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某单位员工按年龄分为A、B、C三个等级,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则从C等级组中应抽取的样本数为 A.2 B.4 C.8 D.10 2.下列有关命题的说法错误的是A.若“”为假命题,则均为假命题 B.“”是“”的充分不必要条件 C.“”的必要不充分条件是“” D.若命题:,则命题: 3.若向量,,则A. B. C. D.4.如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为 A.分 B.分 C.分 D.分5.已知变量与负相关,且由观测数据计算得样本平均数,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,输出的等于 A. B. C. D.7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示,则其表面积为 A. B. C. D. 8.函数图象上的动点P到直线的距离为,点P到y轴的距离为,则A. B. C. D. 不确定的正数 9. 如果实数满足条件,则的最大值为( )A. B. C. D.10.椭圆的长轴为,短轴为,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为D1ABCDA1C1B1PA. 75°    B. 60°    C. 45°    D. 30°11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线12. 过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线,与双曲线分别交于、两点,若,则双曲线离心率的值所在区间是 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.13.已知椭圆+=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m=________.14.下列各数 、 、中最小的数是___________.15.已知函数,其中实数随机选自区间,对的概率是_________.16.已知的三边长分别为,,,是边上的点,是平面外一点.给出下列四个命题:[来源:学科网ZXXK]①若平面,且是边中点,则有;②若,平面,则面积的最小值为;③若,平面,则三棱锥的外接球体积为;④若,在平面上的射影是内切圆的圆心,则三棱锥的体积为;其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上).三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)设是实数,有下列两个命题:空间两点与的距离.抛物线上的点到其焦点的距离.已知“”和“”都为假命题,求的取值范围.18.(本小题满分12分)已知圆过点,,且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)若点在圆上,求的最大值.19.(本题满分12分)某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数,满分100分)分成六段[40,50),[50,60)…,[80,90),[90,100],然后画出如图所示部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高;(2)估计这次考试的及格率(60分及60分以上为及格)和平均分;(3)把从[80,90)分数段选取的最高分的两人组成B组,[90,100]分数段的学生组成C组,现从B,C两组中选两人参加科普知识竞赛,求这两个学生都来自C组的概率.20.(本题满分12分)在直角梯形PBCD中,∠D=∠C=,BC=CD=2,PD=4,A为PD的中点,如图1.将△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,点E在SD上,且,如图2.(1)求证:SA⊥平面ABCD; (2)求二面角E-AC-D的正切值; (3)在线段BC上是否存在点F,使SF∥平面EAC?若存在,确定F的位置,若不存在,请说明理由. 21.(本题满分12分)已知直线经过椭圆:的一个焦点和一个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)如图,分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接,并延长交椭圆于点,设直线的斜率为.① 若直线平分线段,求的值;② 对任意,求证:.22.(本题满分10分)已知平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线方程为;的参数方程为(为参数). [来源:学+科+网Z+X+X+K](Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和的普通方程; (Ⅱ)设点为曲线上的任意一点,求点到曲线距离的取值范围.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案ACDBCCDBBBDC12【解析】选C 设为左焦点,由双曲线的对称性,不妨设点的纵坐标为,则由得, 又∵直线的方程为,∴,即, 又∵,∴, 两边同除以,得,即, 令,∵,,∴双曲线离心率的值所在区间是.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13. 8 14. 15. 16. ①④三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.解答:和都是假命题,为真命题,为假命题. ………………2分, ;…………………………………………6分又抛物线的准线为,为假命题,,.…………………………………10分故所求的取值范围为. ………………………………12分18.解答:(1)设圆心坐标为,则解得:,故圆的方程为: ……………6分(2)因为z=x+y,即,当这条直线与圆相切时,它在y轴上的截距最大或最小,即可求出的最大和最小值.将代入圆的方程,令,或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为: ……………………………………12分19.解答:(1)第四小组分数在[70,80)内的频率为:1-(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025)10=0.30  第四个小矩形的高为=0.03 ……4分(2)由题意60分以上的各组频率和为:(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75, [来源:学.科.网Z.X.X.K]故这次考试的及格率约为75%, ………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71, 得本次考试中的平均分约为71: ………………8分 (3)由已知可得C组共有学生60×10×0.005=3人,则从B,C两组共5人中选两人参加科普知识竞赛,设5人分别为,共有等10种不同情况,其中这两个学生都来自C组有3种不同情况, ∴这两个学生都来自C组的概率. ……………………………………12分20.解法一:(1)证明:在题图1中,由题意可知,BA⊥PD,ABCD为正方形, 所以在题图2中,SA⊥AB,SA=2, 四边形ABCD是边长为2的正方形, 因为SB⊥BC,AB⊥BC, 所以BC⊥平面SAB,又SA⊂平面SAB, 所以BC⊥SA, 又SA⊥AB, 所以SA⊥平面ABCD, ……………………4分 (2)在AD上取一点O,使,连接EO. 因为,所以EO∥SA 所以EO⊥平面ABCD, 过O作OH⊥AC交AC于H,连接EH, 则AC⊥平面EOH, 所以AC⊥EH. 所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角,. 在Rt△AHO中,,,即二面角E-AC-D的正切值为.……………………8分(3)当F为BC中点时,SF∥平面EAC理由如下:取BC的中点F,连接DF交AC于M, 连接EM,AD∥FC, 所以,又由题意,即 SF∥EM, 所以SF∥平面EAC,即当F为BC的中点时, SF∥平面EAC ……………12分 解法二:(1)同方法一 ………………………………4分(2)如图,以A为原点建立直角坐标系, A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E 易知平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为,由所以,可取 所以 所以即二面角E-AC-D的正切值为. ………………………………8分[来源:Z。xx。k.Com](3)设存在F∈BC, 所以SF∥平面EAC, 设F(2,a,0) 所以,由SF∥平面EAC, 所以,所以4-2a-2=0, 即a=1,即F(2,1,0)为BC的中点. ……………………………………12分21.解:(1)在直线中令x=0得y=1;令y=0得x=-1,由题意得c=b=1, ∴,则椭圆方程为. …………………………3分(2)①由,,的中点坐标为,所以. ……………………………………………6分②解法一:将直线PA方程代入,解得,记,则,于是,故直线的方程为,代入椭圆方程得,由,因此, ………………………………………………9分∴, ,∴,∴,故.…………12分解法二:由题意设,,,则,∵三点共线, ∴,……………………………………8分又因为点在椭圆上, ∴,两式相减得:,……………………………………………10分∴,∴. ……………………………………………………12分22.解:(I)曲线方程为,可得,可得∴的直角坐标方程:,的参数方程为,消去参数可得: 的普通方程:.………………………………5分(II)由(I)知,为以(0,1)为圆心,为半径的圆,的圆心(0,1)到的距离为,则与相交,到曲线距离最小值为0,最大值为,则点到曲线距离的取值范围为.…………………10分

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