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东辽一中高二上学期数学(理)期末考试题及答案

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东辽一中高二上学期数学(理)期末考试题及答案本试卷分选择题和非选择题两部分共22题,共150分,共2页.考试时间为120分钟.考试结束后,只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共计60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1. 已知命题“”为假,且“”为假,则( )A.或为假 B.为假 C.为真 D.不能判断的真假2.椭圆的焦距为,则的值等于( )A.或 B.或 C.或 D.或 正视图俯视图侧视图.3.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是腰长为,底边长为的等腰三角形,则该几何体的体积是( )A. B. C. D. 4. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A. B. C. D.5. 已知直线,则是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:学#科#网Z#X#X#K]6. 已知是正方体中平面与下底面所在平面的交线,下列结论错误的是( ). A. // B. 平面 C. //平面 D. 7. 设原命题:若向量构成空间向量的一组基底,则向量 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A. B. C. D. 8. 已知双曲线上一点与双曲线的两个焦点、的连线互相垂直,则三角形的面积为( )A. B. C. D. 9. 两个圆与的公切线有且仅有 ( )A.条 B.条 C.条 D.条新$课$标$第$一$网10. 已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为(  )A. B. C. D.11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为,底面边长为,则该球的表面积为(  )A. B. C. D.12. 如图,为四棱锥的棱的三等分点, 且,点在上,.四边形为平行四边形,若四点共面,则实数等于( )A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共计90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“”的否定是 .14. 平面的法向量,平面β的法向量,若∥,则 __________________.15. 已知点的坐标为,是抛物线的焦点,点是抛物线上的动点,当取得最小值时,点的坐标为 .16. 已知双曲线的左、右焦点分别为,DABCOP若双曲线上存在一点使,x_k_b_1则该双曲线的离心率的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为 ,求它的表面积和体积.18.(本小题满分12分)已知直线方程为.(1)求证:不论取何实数值,此直线必过定点;(2)过这定点作一条直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程.19.(本小题满分12分)在棱长为的正方体中,分别是棱的中点.(1) 求证:平面;(2)求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知圆满足:①过原点;②圆心在直线上;③被轴截得的弦长为.(1) 求圆的方程;(2) 若是圆上的动点,求点到直线距离的最小值.21.(本小题满分12分).在斜三棱柱中,点、分别是、的中点,⊥平面.,.(1)证明:∥平面;(2)求异面直线与所成的角;(3)求与平面所成角的正弦值. 22.(本小题满分12分)已知椭圆:和直线:, 椭圆的离心率,坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点,若直线与椭圆相交于、两点,试判断是否存在实数,使以为直径的圆过定点?若存在求出这个值,若不存在说明理由.新*课*标*第*一*网]高二数学(理)答案一. 选择题: 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 14. 15. 16. 三. 解答题: 17.解:过点作,垂足为,由勾股定理得:所以,棱锥的表面积 -----5分过点作,垂足为,连接.由勾股定理得:所以,棱锥的体积 ------10分18.(1)证明:将方程变形为解方程组得:所以,不论取何实数值,此直线必过定点.-----6分(2)解:设所求直线交x轴y轴分别为点由中点坐标公式得 所以直线的方程为: 即 ------12分19. 解: (1)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,可得: ,则中点 因所以 而 所以 平面 -------- 6分(2)设平面的一个法向量为,因由 令 得 同理平面的法向量为由 所以二面角的余弦值是 -------12分 FEDCBA 20.解:(1)设圆的方程为由已知可得: ,解方程组得: 所以, 圆的方程为或-----6分(2)当圆的方程为时,圆心到直线的距离为: 同理, 当圆的方程为时,圆心到直线的距离也为: 所以, 点到直线距离的最小值为 -------12分 21.解 解法1:(1)证明:∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点,∴OE∥AC1,又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,∴OE∥平面AB1C1. -------4分(2)∵AO⊥平面A1B1C1,∴AO⊥B1C1,又∵A1C1⊥B1C1,且A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面A1C1CA,∴A1C⊥B1C1.又∵AA1=AC,∴四边形A1C1CA为菱形, ∴A1C⊥AC1,且B1C1∩AC1=C1,∴A1C⊥平面AB1C1, ∴AB1⊥A1C,即异面直线AB1与A1C所成的角为90°. ------8分(3)∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,∴AC1=AA1=2,又A1C1=AC=2,∴△AA1C1为正三角形,∴AO=,又∠BCA=90°,∴A1B1=AB=2,设点C1到平面AA1B1的距离为d,∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1,即·(·A1C1·B1C1)·AO=·S△AA1B·d.又∵在△AA1B1中,A1B1=AB1=2,∴S△AA1B1=,∴d=,∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为. -------12分解法2:∵O是A1C1的中点,AO⊥A1C1,∴AC=AA1=2,又A1C1=AC=2,∴△AA1C1为正三角形,∴AO=,又∠BCA=90°,∴A1B1=AB=2,如图建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,),A1(0,-1,0),E(0,-,),C1(0,1,0),B1(2,1,0),C(0,2,).(1)∵=(0,-,),=(0,1,-), ∴=-,即OE∥AC1,又∵EO⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1, ∴OE∥平面AB1C1. -------4分(2)∵=(2,1,-),=(0,3,), ∴·=0, 即∴AB1⊥A1C,∴异面直线AB1与A1C所成的角为90°. -------8分 (3)设A1C1与平面AA1B1所成角为θ,=(0,2,0),=(2,2,0),=(0,1,),设平面AA1B1的一个法向量是n=(x,y,z),则即不妨令x=1,可得n=(1,-1,),∴sinθ=cos〈,n〉==,∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为. -------12分22. 解:(1)直线L:,由题意得: 又有, 解得:椭圆的方程为. ——5分(2)若存在,则,设,则: 联立 ,得:代入(*)式,解得:,满足 —— 12分

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