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浙江省嘉兴理科高二下期末数学复习试卷(答案)

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高二(下)期末数学复习试卷一、选择题(每题4分)1.直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为(  )A.45° B.60° C.135° D.150°2.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0相互垂直,则a的值为(  )A.﹣1 B. C.1 D.或13.直线l经过点A(1,2),在y轴上的截距的取值范围是(﹣2,3),则其斜率的取值范围是(  )A.(﹣1,) B.(﹣1,)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞) D.(﹣1,4)4.若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是(  )A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=05.已知点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧,则(  )A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0 C.3x0+2y0<8 D.3x0+2y0>86.若点A(2,﹣3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是(  )A.2x﹣3y+1=0 B.3x﹣2y+1=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.3x﹣2y﹣1=07.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点,则的最小值为(  )A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣48.设直线l过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,且与双曲线相交于A、B两点,若以AB为直径的圆与y轴相切,则|AB|的值为(  )A.1+ B.1+2 C.2+2 D.2+9.如图,椭圆x2+2y2=1的右焦点为F,直线l不经过焦点,与椭圆相交于点A,B,与y轴的交点为C,则△BCF与△ACF的面积之比是(  )第16页(共16页)A.|| B.|| C. D.10.过点P(﹣1,2)的动直线交圆C:x2+y2=3于A,B两点,分别过A,B作圆C的切线,若两切线相交于点Q,则点Q的轨迹为(  )A.直线的一部分 B.圆的一部分C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 二、填空题(每题3分)11.两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是      .12.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心,则a的值为      .13.已知实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为      .14.已知双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是(,0),则其渐近线方程为      .15.直线mx+(1﹣m)y+2m﹣2=0(m∈R)恒过定点P,则点P的坐标为      .16.点P在圆C1:(x﹣4)2+(y﹣2)2=9,点Q在圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4上,则||的最小值是      .17.已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于      .18.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0),F1(﹣c,0)是左焦点,圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P,若直线PF1与双曲线右支有交点,则双曲线的离心率的取值范围是      . 三、解答题19.已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0,2x+3y﹣1=0,5x﹣y﹣11=0第16页(共16页)(1)求顶点A的坐标;(2)求BC边上的高所在直线的方程.20.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(﹣1,2)两点(1)求证:A,B,C,D四点共面;(2)记(1)中的圆的圆心为M,直线l:2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q,求弦长PQ.21.如图,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A是椭圆C上任意一点,且△AF1F2的周长为2(+1)(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点B在直线l:y=上,且OA⊥OB,点O到直线AB的距离为d(A,B),求证:d(A,B)为定值.22.如图,已知抛物线y2=4x,过点P(2,0)作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点(1)若k1+k2=0,,求线段MN的长;(2)若k1•k2=﹣1,求△PMN面积的最小值. 参考答案与试题解析一、选择题(每题4分)1.直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为(  )A.45° B.60° C.135° D.150°第16页(共16页)【考点】直线的倾斜角.【分析】将直线方程化为斜截式,求出直线的斜率,由斜率与倾斜角的关系求出答案.【解答】解:由2x+2y﹣1=0得y=﹣x+,∴直线2x+2y﹣1=0的斜率是﹣1,则直线2x+2y﹣1=0的倾斜角是135°,故选C. 2.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0相互垂直,则a的值为(  )A.﹣1 B. C.1 D.或1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】当a=1时,经检验,两直线不垂直;当a≠1时,由斜率之积等于﹣1可得=﹣1,解得a值.【解答】解:当a=1时,直线l1:x+2y+6=0,直线l2:x+a2﹣1=0,显然两直线不垂直.当a≠1时,由斜率之积等于﹣1可得=﹣1,解得a=.故选B. 3.直线l经过点A(1,2),在y轴上的截距的取值范围是(﹣2,3),则其斜率的取值范围是(  )A.(﹣1,) B.(﹣1,)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞) D.(﹣1,4)【考点】直线的斜率.【分析】设直线方程为y﹣2=k(x﹣1),求出直线在y轴上的截距,利用直线l在y轴上的截距的取值范围是(﹣2,3),即可求出斜率的取值范围.【解答】解:设直线方程为y﹣2=k(x﹣1),令x=0,可得y=2﹣k∵直线l在y轴上的截距的取值范围是(﹣2,3),∴﹣2<2﹣k<3,第16页(共16页)∴﹣1<k<4.故选:D. 4.若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B,则以AB为直径的圆的方程是(  )A.x2+y2+4x﹣3y=0 B.x2+y2﹣4x﹣3y=0C.x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D.x2+y2﹣4x﹣3y+8=0【考点】圆的标准方程.【分析】先求出A、B两点坐标,AB为直径的圆的圆心是AB的中点,半径是AB的一半,由此可得到圆的方程.【解答】解:由x=0得y=3,由y=0得x=﹣4,∴A(﹣4,0),B(0,3),∴以AB为直径的圆的圆心是(﹣2,),半径r=,以AB为直径的圆的方程是,即x2+y2+4x﹣3y=0.故选A. 5.已知点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧,则(  )A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0 C.3x0+2y0<8 D.3x0+2y0>8【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.【分析】根据点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式(组)与平面区域可知,将两点的坐标代入直线方程式的左式,得到的值符号相反.【解答】解:将点的坐标代入直线的方程,得:3x0+2y0﹣8;3×1+2×2﹣8,∵点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y﹣8=0的异侧,∴(3x0+2y0﹣8)(3×1+2×2﹣8)<0,即:3x0+2y0﹣8>0故选D. 第16页(共16页)6.若点A(2,﹣3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是(  )A.2x﹣3y+1=0 B.3x﹣2y+1=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.3x﹣2y﹣1=0【考点】直线的两点式方程;两条直线的交点坐标.【分析】把点A(2,﹣3)代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程,发现点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上,从而得到点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程.【解答】解:∵A(2,﹣3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,∴2a1﹣3b1+1=0,且2a2﹣3b2+1=0,∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上,故 点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0,答案选 A. 7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点,则的最小值为(  )A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣4【考点】抛物线的简单性质.【分析】设直线AB的方程为x=my+t,代入抛物线方程,消去x,得到y的方程,设A(,y1),B(,y2),运用韦达定理和判别式大于0,结合向量的数量积的坐标表示,转化为t的函数,由配方即可得到所求最小值.【解答】解:设直线AB的方程为x=my+t,代入抛物线y2=2x,可得y2﹣2my﹣2t=0,由题意可得△=4m2+8t>0,且t≠0,设A(,y1),B(,y2),则y1+y2=2m,y1y2=﹣2t,可得=+y1y2=t2﹣2t=(t﹣1)2﹣1,当t=1时,取得最小值﹣1.第16页(共16页)故选:B. 8.设直线l过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,且与双曲线相交于A、B两点,若以AB为直径的圆与y轴相切,则|AB|的值为(  )A.1+ B.1+2 C.2+2 D.2+【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用双曲线的焦半径公式求出A(x1,y1),B(x2,y2)到F2的距离,根据以AB为直径的圆与y轴相切,得到x1+x2=|AB|=(x1+x2)﹣2,代入坐标后整理即可得到线段AB的长.【解答】解:双曲线方程为x2﹣y2=1,F2(,0),e=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由双曲线的焦半径公式得:|AF2|=ex1﹣a=x1﹣1,|BF2|=ex2﹣a=x2﹣1,∵以AB为直径的圆与y轴相切,∴x1+x2=|AB|=(x1+x2)﹣2∴|AB|=x1+x2==2+2故选:C. 9.如图,椭圆x2+2y2=1的右焦点为F,直线l不经过焦点,与椭圆相交于点A,B,与y轴的交点为C,则△BCF与△ACF的面积之比是(  )A.|| B.|| C. D.【考点】椭圆的简单性质.【分析】根据椭圆的性质,求得a、b和c的值及焦点坐标,设出A和B的坐标,将三角形的面积关系转化为,根据椭圆的第二定义求得AF、BF与x1和x2的关系,即可求得答案.第16页(共16页)【解答】解:椭圆x2+2y2=1,a2=1,b2=,c2=,焦点F(,0),令A(x1,y1),B(x2,y2),==,椭圆的右准线:x=,∴=, =,∴AF=a﹣=1﹣,BF=a﹣=1﹣,∴=1﹣AF, =1﹣BF,===丨丨,故答案选:A. 10.过点P(﹣1,2)的动直线交圆C:x2+y2=3于A,B两点,分别过A,B作圆C的切线,若两切线相交于点Q,则点Q的轨迹为(  )A.直线的一部分 B.圆的一部分C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据圆的对称性可得,Q点是经过C点垂直于AB的直线与过A点切线的交点.由此设A(m,n),Q(x,y),根据圆的切线的性质与直线斜率公式,分别求出直线AQ、CQ方程,两个方程消去m、n得关于x、y的一次方程,即为点Q轨迹所在直线方程,再根据图形可得直线与圆C相交而Q不可能在圆上或圆内,可得Q轨迹是直线的一部分.【解答】解:设A(m,n),Q(x,y),根据圆的对称性可得,Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点,∵圆x2+y2=3的圆心为C(0,0)∴切线AQ的斜率为k1=﹣=﹣,得AQ方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得y=﹣x+…①又∵直线PA的斜率kPA=,∴直线CQ的斜率k2=﹣,第16页(共16页)得直线CQ方程为y=x…②①②联立,消去m、n得x﹣2y+3=0,即为点Q轨迹所在直线方程.由于直线x﹣2y+3=0与圆C:x2+y2=3相交,∴直线位于圆上或圆内的点除外.故选:A. 二、填空题(每题3分)11.两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是  .【考点】两条平行直线间的距离.【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解:两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是d==.故答案为:. 12.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心,则a的值为 1 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据所给的圆的一般式方程,求出圆的圆心,根据圆心在直线3x+y+a=0上,把圆心的坐标代入直线的方程,得到关于a的方程,解方程即可.【解答】解:∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是(﹣1,2)圆心在直线3x+2y+a=0上,∴﹣3+2+a=0,∴a=1故答案为:1 13.已知实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为 5 .【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时,第16页(共16页)直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,且B(2,1)将B(2,1)的坐标代入目标函数z=2x+y,得z=2×2+1=5.即z=2x+y的最大值为5.故答案为:5 14.已知双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是(,0),则其渐近线方程为 y=±2x .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的标准方程借助焦点坐标建立方程即可【解答】解:双曲线的标准方程为x2﹣=1,∵双曲线x2﹣my2=1的一个焦点是(,0),∴焦点在x轴上,则c=,a2=1,b2=>0,则1+=c2=5,即=4,即b2=4,b=2,则双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x,故答案为:y=±2x. 15.直线mx+(1﹣m)y+2m﹣2=0(m∈R)恒过定点P,则点P的坐标为 (0,2) .【考点】恒过定点的直线.第16页(共16页)【分析】直线mx+(1﹣m)y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m(x﹣y+2)=0,根据x=0,y=2时方程恒成立,可知直线过定点P的坐标.【解答】解:直线mx+(1﹣m)y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m(x﹣y+2)=0,得,解得x=0,y=2.∴直线mx+(1﹣m)y+2m﹣2=0(m∈R)恒过定点P(0,2).故答案为:(0,2). 16.点P在圆C1:(x﹣4)2+(y﹣2)2=9,点Q在圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4上,则||的最小值是 3 .【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】分别找出两圆的圆心的坐标,以及半径r和R,利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d,根据d大于两半径之和,得到两圆的位置关系是外离,又P在圆C1上,Q在圆C2上,由d﹣(R+r)即可求出||的最小值.【解答】解:∵圆C1:(x﹣4)2+(y﹣2)2=9的圆心坐标C1(4,2),半径r=3,圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4的圆心坐标C2(﹣2,﹣1),半径R=2,∵d=|C1C2|=>2+3=R+r,∴两圆的位置关系是外离,又P在圆C1上,Q在圆C2上,则||的最小值为d﹣(R+r)=3.故答案为:3. 17.已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于  .【考点】抛物线的简单性质.【分析】确定抛物线的准线方程,利用抛物线的定义及弦长,可得弦AB的中点到准线的距离,进而可求弦AB的中点到y轴的距离.【解答】解:由题意,抛物线y=x2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=﹣,根据抛物线的定义,∵|AB|=4,∴A、B到准线的距离和为4,∴弦AB的中点到准线的距离为2第16页(共16页)∴弦AB的中点到y轴的距离为2﹣=,故答案为:. 18.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0),F1(﹣c,0)是左焦点,圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P,若直线PF1与双曲线右支有交点,则双曲线的离心率的取值范围是 (,+∞) .【考点】双曲线的简单性质.【分析】设直线PF的方程为y=k(x+c),由直线和圆相交,可得k不为0,求得圆和双曲线的交点P,运用两点的斜率公式,由题意可得k<,解不等式可得b>2a,结合离心率公式计算即可得到所求范围.【解答】解:设直线PF1的方程为y=k(x+c),即kx﹣y+kc=0,由直线和圆有交点,可得<c,解得k≠0.联立圆x2+y2=c2与双曲线方程﹣=1,解得交点P,设为(﹣,).可得k=>0,由题意可得k<,结合a2+b2=c2,a<c2﹣ab,化简可得b>2a,即有b2>4a2,可得c2>5a2,即有e=>.故答案为:(,+∞)第16页(共16页) 三、解答题19.已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0,2x+3y﹣1=0,5x﹣y﹣11=0(1)求顶点A的坐标;(2)求BC边上的高所在直线的方程.【考点】待定系数法求直线方程.【分析】(1)把直线方程联立解得交点A的坐标;(2)设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0,代入点A,求出m,即可得出BC边上的高所在直线的方程.【解答】解:(1)由条件得x=3,y=4,所以A(3,4);(2)设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0,A代入可得9﹣8+m=0,所以m=﹣1,所以BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y﹣1=0. 20.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(﹣1,2)两点(1)求证:A,B,C,D四点共面;(2)记(1)中的圆的圆心为M,直线l:2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q,求弦长PQ.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)设出圆的一般式方程,由A,B,C的坐标求出过A,B,C的圆的方程,代入D的坐标成立,说明A,B,C,D四点共圆;(2)化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,再由垂径定理得答案.【解答】证明:(1)由已知,过点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程为:第16页(共16页)x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,解得.∴x2+y2﹣2x﹣6y+5=0,将D(﹣1,2)代入,适合方程,∴点D在圆x2+y2﹣2x﹣6y+5=0上,即A,B,C,D四点共圆;解:(2)∵圆M的方程为:(x﹣1)2+(y﹣3)2=5,∴圆心M(1,3)到直线l:2x﹣y﹣2=0的距离d=,∴弦长|PQ|=2. 21.如图,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A是椭圆C上任意一点,且△AF1F2的周长为2(+1)(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点B在直线l:y=上,且OA⊥OB,点O到直线AB的距离为d(A,B),求证:d(A,B)为定值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意可得: =,a2=b2+c2,2a+2c=2,联立解出即可得出.(2)设A(x0,y0),B,由OA⊥OB,可得=0,x1=﹣.分类讨论:①若x1≠x0,直线AB的方程为:y﹣=(x﹣x1),即x+(x1﹣x0)y+﹣x1y0=0,利用点到直线的距离公式与第16页(共16页),可得d(A,B)为定值1.②若x1=x0,设直线OA的方程为:y=kx,则B,A,代入椭圆方程解出k即可得出.【解答】(1)解:由题意可得: =,a2=b2+c2,2a+2c=2,解得a=,c=b=1.∴椭圆C的标准方程为=1.(2)证明:设A(x0,y0),B,∵OA⊥OB,∴=0.∴x1=﹣.①若x1≠x0,kAB=,直线AB的方程为:y﹣=(x﹣x1),即x+(x1﹣x0)y+﹣x1y0=0,∴d(A,B)=,∴[d(A,B)]2==,∵,∴[d(A,B)]2===1,∴d(A,B)=1,为定值.②若x1=x0,设直线OA的方程为:y=kx,则B,A,代入椭圆方程可得: +=1,解得k=.∴直线AB的方程为:x=±1,点O到直线AB的距离d(A,B)=1.综上可得:d(A,B)为定值1. 22.如图,已知抛物线y2=4x,过点P(2,0)作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点(1)若k1+k2=0,,求线段MN的长;(2)若k1•k2=﹣1,求△PMN面积的最小值.第16页(共16页)【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)若k1+k2=0,线段AB和CD关于x轴对称,利用,确定坐标之间的关系,即可求线段MN的长;(2)若k1•k2=﹣1,两直线互相垂直,求出M,N的坐标,可得|PM|,|PN|,即可求△PMN面积的最小值.【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,则设直线AB的方程为y=k1(x﹣2),代入y2=4x,可得y2﹣y﹣8=0∴y1+y2=,y1y2=﹣8,∵,∴y1=﹣2y2,∴y1=4,y2=﹣2,∴yM=1,∵k1+k2=0,∴线段AB和CD关于x轴对称,∴线段MN的长为2;(2)∵k1•k2=﹣1,∴两直线互相垂直,设AB:x=my+2,则CD:x=﹣y+2,x=my+2代入y2=4x,得y2﹣4my﹣8=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣8,∴M(2m2+2,2m).同理N(+2,﹣),∴|PM|=2|m|•,|PN|=•,|∴S△PMN=|PM||PN|=(m2+1)=2(|m|+)≥4,当且仅当m=±1时取等号,∴△PMN面积的最小值为4.第16页(共16页)

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