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2019上海华东师范大学第二附属中学高二(下)数学月考试卷(含解析)

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2019上海华东师范大学第二附属中学高二(下)数学月考试卷(含解析)

一、选择题(本大题共4小题,共12.0分)

1.对于实系数一元二次方程,在复数范围内其解是,下列结论中不正确的是(    

A. 若,则 B. 若,则且

C. 一定有 D. 一定有

【答案】D

【解析】

【分析】

实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论,对选项逐一研究筛选。

【详解】选项A、B显然成立;

在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论,在复数范围内由计算可得,同样也能成立;

选项D:复数范围内,故选D

【点睛】在复数范围内,实系数方程的判别式时,方程的根可以通过虚数进行表示。

 

2. 教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线 ( )

A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面

【答案】B

【解析】

分析:由题设条件可知,可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项

解答:解:由题意,直尺所在直线若与地面垂直,则在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线垂直

若直尺所在直线若与地面不垂直,则其必在地面上有一条投影线,在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直

综上,教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线垂直

故选B

 

3.若为非零实数,则以下四个命题都成立:③若,则④若,则.则对于任意非零复数,上述命题中仍为真命题的个数为(    )个.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的性质,可根据复数的运算性质进行判断。

【详解】解:在复数范围内,存在使,命题①错误;

②在复数范围内,复数满足,根据运算性质可得到,故成立;

③在复数范围内表示是复数与的模长,模长相等,复数可以不相等。

④在复数范围内,由于是非零复数,所以在得两边同时除以可得,故成立。

故选B

【点睛】实数运算成立的等式,在复数范围内未必成立,不同范围成立条件不一样,注意合理使用。

 

4.(2013•浙江)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπA).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fαP)],Q2=fα[fβP)],恒有PQ1=PQ2,则(  )

A. 平面α与平面β垂直

B. 平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°

C. 平面α与平面β平行

D. 平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

【答案】A

【解析】

P1=fαP),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足

∵Q1=fβ[fαP)]=fβP1),

∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足

同理,若P2=fβP),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足

因此Q2=fα[fβP)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P,恒有PQ1=PQ2

∴点Q1Q2重合于同一点

由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角

∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直

故选:A

 

 

二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)

5.设,则______.

【答案】1

【解析】

分析】

通过运算,将复数转化为形式,即可得解.

【详解】解:,所以Imz=1

【点睛】本题考查复数的除法运算,复数的虚部的定义,其中正确进行复数的除法运算是解题的关键,是基础题.

 

6.设m∈R,m2+m﹣2+(m21)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=

【答案】﹣2

【解析】

【考点定位】考查复数的定义及运算,属容易题。

 

 

 

7.若复数满足,则______.

【答案】

【解析】

【分析】

设,则,利用复数相等,求出,的值,结合复数的模长公式进行计算即可.

【详解】设,则,

则由得,

即,

则,得,

则,

故答案:.

【点睛】本题主要考查复数模长的计算,利用待定系数法,结合复数相等求出复数是解决本题的关键.

 

8.若是实系数方程的一个虚根,且,则         

【答案】4

【解析】

设,则方程的另一个根为,且,

由韦达定理直线 

所以

 

 

 

9.已知空间四边形中,,点分别是边和的中点,且,则异面直线和所成角的大小是_________________________;

【答案】

【解析】

【分析】

要求异面直线和所成角,先找出与异面直线和平行的两条相交的直线,探寻出异面直线和所成角,进而在三角形中解决角的大小问题

【详解】解:取的中点,连接

因为,为中点

所以,

同理:

所以,异面直线和所成角即为所成角

异面直线和所成角即为或其补角

在中,由余弦定理得

异面直线和所成角为60°

【点睛】异面直线所成角问题,要借助平行关系,找出具体角,然后在三角形中,求出角的大小。

 

10.已知在长方体中,,,,则直线与平面所成角的大小是______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用面面垂直的性质作出在平面上的垂足,连接得的射影,即得斜线与平面所成的角,进而可得解.

【详解】如图,在上底面作于,

连接,

易知即为与平面所成的角,

利用所给数据,求得,,

故答案为:.

 

【点睛】此题考查了斜线与平面所成的角,难度不大.

 

11.已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点,且,则点到平面的距离是_________________________;

【答案】

【解析】

【分析】

由于,所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心,设重心为点,所以,,在三角形求解。

【详解】解:设等边三角形的重心为点,连接

因为且,

所以,平面

所以,

在等边中,

在中,。

【点睛】点到面的距离常见解决方法是:1.找出点到面的距离对应线段;2.等体积法求解。

 

12.已知直线、与平面、,下列命题:

①若平行内的一条直线,则②若垂直内的两条直线,则③若,,且,,则④若,,且,则⑤若,且,则⑥若,,,则.

其中正确的命题为______(填写所有正确命题的编号).

【答案】⑤⑥

【解析】

【分析】

①,根据直线与平面平行的判定定理知命题错误;

②,根据直线与平面垂直的判定定理知命题错误;

③,根据平面与平面平行的判定定理知命题错误;

④,根据平面与平面垂直的判定定理知命题错误;

⑤,由直线与平面平行的性质定理知命题正确;

⑥,由平面与平面平行的性质定理知命题正确.

【详解】对于①,若平行内的一条直线,则不一定成立,如时,①错误;

对于②,若垂直内的两条直线,则不一定成立,如内的这两条直线平行时,②错误;

对于③,若,,且,,当时,则由平面与平面平行的判定定理,不能得出③错误;

对于④,若,,且,则由平面与平面垂直的判定定理,不能得出④错误;

对于⑤,若,且,则由直线与平面平行的性质定理,得出⑤正确;

对于⑥,若,,,则由平面与平面平行的性质定理,即可判定⑥正确.

综上,其中正确的命题序号为⑤⑥.

故答案为:⑤⑥.

【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的判定与性质的应用问题,是基础题.

 

13.设集合,其中是复数,若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素,则集合___________________;

【答案】或

【解析】

【分析】

根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素,分两种情况讨论,一种两者相乘等于自身的情况,第二种是均不等于自身情况,依次分析。

【详解】解:集合中任意两数之积仍是中的元素

所以会出现两者相乘等于自身的情况,也有可能均不等于自身情况

即其中有一项为或者 

(1)当时,或

若,则或

所以,或

又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素

所以,剩下的一个数必为-1,所以集合 

当时,则必须

又因为集合中任意一个数平方仍是中的元素

则,

解得,或,,

所以,集合。

(2)当时,三个等式相乘则得到

所以得到或

,则三者必有一个为0,同(1)可得集合 。

若,则得到,

当时,则可以得到且,则不成立;

当时,则,不成立。

故集合M为或

【点睛】求解这类问题时,要注意逻辑严谨分析,对每一个条件,每一种情况都要力求准确到位,在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充。

 

14.如图,已知正方体的棱长为,点为线段上一点,是平面上一点,则的最小值是______.

 

【答案】

【解析】

【分析】

当取得最小时,点必定是点在平面上的射影,即在上。

与在二面角的两个面内,此时可将在两个不同平面上的量通过对平面翻折,转化到同一平面上求解。

【详解】解:当取得最小时,

点必定是点在平面上的射影,即在上。

与在二面角的两个面内,

为此将绕旋转90°,使得平面与平面在同一平面内,

由,故当共线且与垂直时,取得最小。

在平面内,因为

所以,,

又,

所以与都是等腰直角三角形,

所以得到=,故的最小值为。

【点睛】空间中的最短(长)距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。

 

三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)

15.在正方体中,、分别是、的中点.

 

1)求证:四边形是菱形;

2)作出直线与平面的交点(写出作图步骤).

【答案】(1)证明见解析;(2)见解析.

【解析】

【分析】

1)取中点,连接,,可证四边形为平行四边形,四边形为平行四边形,得到四边形为平行四边形,

再由,可得,得到四边形是菱形;

2)连接和,则与的交点,即为直线与平面的交点.

【详解】(1)证明:取中点,连接,,如图所示,

 

则,,

四边形为平行四边形,则,

由为正方体,且,分别为,的中点,

可得为平行四边形,,,

则,且,

四边形为平行四边形,由,可得,

四边形是菱形;

2)连接和,则与的交点,

即为直线与平面的交点,如图所示.

 

【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题,也考查了空间想象与逻辑推理能力,是中档题.

 

16.如图,在长方体中,、分别是棱、的中点,,,求:

 

1)与所成的角;

2)与平面所成的角.

【答案】(1);(2);

【解析】

【分析】

(1)求直线与所成的角,通过可转化为直线与所成的角,然后在中利用余弦定理解可得;

(2)直线与平面所成的角,首先要求出在平面上射影,由长方体可得在平面上射影即为,所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角,在中解得线面角的大小。

【详解】解:因为,分别是棱的中点

所以,

所以,直线与所成的角即为直线与所成的角

所以,直线与所成的角为或其补角

连接

在中,,,

由余弦定理解得

所以,直线与所成的角

(2)因为长方体

所以,平面

连接

所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角,

在中,,,

所以

所以直线与平面所成角的平面角即为。

【点睛】异面直线所成角常见解法是通过平行找出异面直线所成角的平面角,然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小;线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影,射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角,然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。

 

17.如图,在空间四边形中,平面,,且,.

 

1)若,,求证:平面;

2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

【分析】

1)推导出,,从而平面,进而,再由,能证明平面.

2)以为原点,为轴,为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的大小.

【详解】证明:(1)平面,平面,,

,,平面,,

,,

平面.

解:(2)以为原点,为轴,为轴,过点作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,

,.

,,,,

,,,

设平面的法向量,

则,取,得,

设平面的法向量,

则,取,得,

设二面角的平面角为,

则.

二面角的大小为.

 

【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.

 

18.复数所对应的点在点及为端点的线段上运动,复数满足,求:

1)复数模的取值范围;

2)复数对应的点的轨迹方程.

【答案】(1);(2).

【解析】

【分析】

(1)根据条件可设,由此可表示出的模形式,进而得出模的范围;

(2)复数对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系,将用(1)中的形式进行表示,转化为参数方程,即可解决轨迹方程。

【详解】(1)设,则;

2);

【点睛】复数形式不确定时,可利用待定系数法,将复数表示出来,然后进行分析解题;求点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系,常见方法有常见曲线的定义、参数方程等方法。

 

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.

 

I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .

【解析】

试题分析:本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先证明线线平行,再证明线面平行;第二问,可以先找到线面角,再在三角形中解出正弦值,还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.

试题解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.

延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:

由已知,BC∥ED,且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

EB平面PBE,CM平面PBE,

所以CM∥平面PBE.

(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

Ⅱ)方法一:

由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA⊥平面ABCD,

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,

所以AH=.

Rt△PAH中,PH==,

所以sinAPH==.

 

方法二:

由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,

所以CD⊥平面PAD.

于CD⊥PD.

从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.

BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.

Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),

所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

由得x=2,解得n=(2,-2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα==.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

 

考点:线线平行、线面平行、向量法.

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