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2019黑龙江牡丹江第一高级中学高二(下)数学(文科)期中试卷(含解析)

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2019黑龙江牡丹江第一高级中学高二(下)数学(文科)期中试卷(含解析)

一、选择题

1.不等式x(2-x)<0>

A. (2, B. (- C. (0,2 D. (-

【答案】D

【解析】

【分析】

x2﹣x<0>x(x2)>0,再由xx2)=0的解是x0或x2,能求出原不等式的解集.

【详解】x2﹣x<0>

xx2)>0,

xx2)=0的解是x0或x2,

∴原不等式的解集是{x|x0或x>2}=(-.

故选:D

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查了转化思想,是基础题.

 

2.已知集合,则集合的真子集的个数是(   )

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意由A的意义,再结合交集的定义可得集合AB,分析可得答案.

【详解】由题意知,A为奇数集,

又由集合,

AB{1,3},共2个元素,

其子集有224个,所以真子集有3个;

故选A.

【点睛】本题考查集合的子集与真子集,关键是正确理解集合A,求出集合AB

 

3.已知a,b,c满足,那么下列选项一定正确的是(

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

cba,且ac0,可得c0且a>0.利用不等式的基本性质即可得出.

【详解】cba,且ac0,

c0且a>0,b与0的大小关系不定.

∴满足bc>ac,ac<ab,

故选:D

【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

 

4.已知集合,若,则实数的取值范围是(   

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合AB,根据BA,可得参数a的取值范围.

【详解】集合A{x|x3或x1},

集合B{x|xa},

BA,可得a≤1,

∴实数的取值范围是,

故选:C

【点睛】本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法,属于基础题.

 

5.已知是实数集,集合,则阴影部分表示的集合是(   

 

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

阴影部分对应的集合为AB,利用集合的基本运算即可得到结论.

【详解】由题可知阴影部分对应的集合为AB

A{x|或},

B{x|0<x},

AB{x|0<x}=(0,1],

故选:B

【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键.

 

6.若满足不等式组,则的最小值是(    

A. -2 B. -3 C. -4 D. -5

【答案】D

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数,找出最优解,求出z的最小值.

【详解】画出xy满足不等式组表示的平面区域,

如图所示:

 

平移目标函数z2x3y知,A2,3),B1,0),C0,1)

当目标函数过点A时,z取得最小值,

z的最小值为2×2﹣3×3=﹣5.

故选:D

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,是基本知识的考查.

 

7.定义在上的函数,已知是它的导函数,且恒有成立,则有(   

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

令,则其导数,又由,且有,所以,即函数为减函数,又由,则有,即,化简可得,故选C.

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

 

8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”;丙说:“丁获奖”;丁说:“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是(   )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

分析:因为四位歌手中只有一个人说的是真话,假设某一个人说的是真话,如果与条件不符,说明假设不成立,如果与条件相符,说明假设成立.

详解:若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说的真话,不符合题意;

      若丙是获奖的歌手,则甲、丁都说的真话,不符合题意;

      若丁是获奖的歌手,则乙、丙都说的真话,不符合题意;

     若甲是获奖的歌手,则甲、乙、丙都说的假话,丁说的真话,符合题意;

故选A.

点睛:本题考查合情推理,属基础题.

 

9.不等式的解集为(-4,1),则不等式的解集为(    

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式ax2+bx+c0的解集求得abc的关系,代入不等式bx2+1)﹣ax+3)+c0中,化简并求出该不等式的解集可得答案.

【详解】不等式ax2+bx+c0的解集为(﹣4,1),

则不等式对应方程的实数根为﹣4和1,且a0;

由根与系数的关系知,,

∴,

∴不等式bx2+1)﹣ax+3)+c0化为

3ax2+1)﹣ax+3)﹣4a0,

3(x2+1)﹣(x+3)﹣4<0,

解得﹣1<x

∴该不等式的解集为(﹣1,).

故选:A

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题.

 

10.已知函数的图象如图所示,下面四个图象中的图象大致是  

 

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数yxf′(x)的图象,依次判断fx)在区间(﹣∞,﹣1),(﹣1,0),(0,1),(1,+∞)上的单调性即可

【详解】由函数yxf′(x)的图象可知:

x<﹣1时,xf′(x)<0,f′(x)>0,此时fx)增,

当﹣1<x0时,xf′(x)>0,f′(x)<0,此时fx)减,

0<x1时,xf′(x)<0,f′(x)<0,此时fx)减,

x1时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时fx)增.

故选:C

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查函数的图象问题.属于基础题.

 

11.函数在区间上是减函数,则实数a的取值范围是(

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导,转化成在上有恒成立,从而求出a的取值范围.

【详解】,,

又在上是减函数,

在上恒有,

即在上恒成立,

因为,所以,

所以:.

实数a的取值范围是.

故选:A

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题,是高考中的热点问题.

 

12.设函数,若是的极大值点,则的取值范围为(

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析:,,,由得,

,若,由,得,当,,此时单调递增;,,此时单调递减;所以是的极大值点.‚若,则由,得或.时的极大值点,,解得.综合‚得,的取值范围时.故选B.

考点:函数的极值.

【方法点晴】本题是一道关于函数极值题目,考虑运用导数求函数的极值.对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可.

 

二、填空题

13.函数的导函数=______________

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的导数公式进行计算即可.

【详解】∵f(x)

由导数的运算法则可知:(′=,(′=,

f′(x)=+,

故答案为f′(x)=+.

【点睛】本题主要考查函数的导数的计算,根据函数的导数公式是解决本题的关键.比较基础.

 

14.已知集合,若,则实数=______________

【答案】

【解析】

【分析】

根据ABB,集合的基本运算即可实数m的值.

详解】ABBA{1,m,9},B{1,m2},

BA

mm2m2=9,且m≠1,

解得:m1(舍去)或m0,或m=3或-3,

故答案为0,3,-3.

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了集合元素的特性,关键是元素的互异性,比较基础.

 

15.已知在上不单调,则实数的取值范围是______________

【答案】

【解析】

【分析】

先由函数求f′(x)=﹣x3,再由“函数fxx23x+4lnx(tt+1)上不单调”转化为“f′(x)=﹣x30在区间(tt+1)上有解”从而有0在(tt+1)上有解,进而转化为:x2+3x4=0在(tt+1)上有解,进而求出答案.

【详解】∵函数fxx23x+4lnx

f′(x)=﹣x3,

∵函数fxx23x+4lnx在(tt+1)上不单调,

f′(x)=﹣x30在(tt+1)上有解

∴0在(tt+1)上有解

gx)=x2+3x4=0在(tt+1)上有解,

x2+3x4=0得:x1,或x=﹣4(舍),

∴1∈(tt+1),

t∈(0,1),

故实数t的取值范围是(0,1),

故答案为:(0,1).

【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系,考查了转化思想,属于中档题.

 

16.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是______________

【答案】

【解析】

【分析】

求出函数的导数f′(x),x∈[1,e].通过当a≥﹣1时,当a≤﹣e时,当﹣ea<﹣1时,判断导函数的符号,得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可.

【详解】f′(x),x∈[1,e].

a≥﹣1时,f′(x≥0,fx)在[1,e]上单调递增,不合题意.

a≤﹣e时,f′(x≤0,fx)在[1,e]上单调递减,也不合题意.

当﹣ea<﹣1时,则x∈[1,﹣a)时,f′(x)<0,fx)[1,﹣a)上单调递减,

x∈(﹣ae]时,f′(x)>0,fx)在(﹣ae]上单调递增,又f1)=0,

所以fx)在x∈[1,e]上有两个零点,

只需fe)=1a≥0即可,解得a<﹣1.

综上,a的取值范围是:[,﹣1).

故答案为.

【点睛】本题考查函数的导数的应用,导函数的符号以及函数的单调性的判断,考查分类讨论思想的应用.

 

三、解答题

17.求证:

【答案】见解析

【解析】

【分析】

构造函数hx)=exx1,利用导数求解函数的最值,即可证明exx+1,

【详解】hx)=exx1,所以h'(x)=ex1,

x≥0时,h'(x≥0,hx)为增函数,

x0时,h'(x)<0,hx)为减函数,

所以hxh0)=0,所以exx+1,

【点睛】本题考查了导数的应用,考查了构造法的应用,函数的最值的求法,属于基础题.

 

18.(1)解关于不等式

2)若函数的定义域为,求实数的取值范围。

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

1)根据分式不等式的解法进行求解即可.

2)根据fx)定义域为R,从而得出不等式kx26kx+k+8≥0的解集为R,从而可讨论kk0时,显然满足条件;k≠0时,可得出,解出k的范围即可.

【详解】(1)由得即,

或,

得或,得或,

即不等式的解集为.

2)∵fx)的定义域为R

∴不等式kx26kx+k+8≥0的解集为R

k0时,8>0恒成立,满足题意;

k≠0时,则;

解得0<k≤1;

综上得,实数k的取值范围为[0,1].

【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合分式不等式的解法是解决本题的关键.

 

19.已知函数与的图像有3个不同的交点,求实数的取值范围。

【答案】

【解析】

【分析】

函数与gx)=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a3个不同的实根,即函数yagx的图象有3个不同的交点.画出函数gx)图象,结合图象,即可.

【详解】函数与gx)=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a3个不同的实根,

即函数yagx的图象有3个不同的交点.

g′(x)=x2+x6=(x+3)(x2)

x∈(﹣∞,﹣3),(2,+∞)时,gx)递增,x∈(﹣3,2)递减,

函数gx)图如下,结合图象,只需g2)<ag(﹣3)即可,

即,

故答案为.

 

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,考查了函数与方程思想,数形结合思想,属于中档题.

 

20.设函数,若函数的图象在点处与直线相切

1)求实数的值;

2)求函数在上的最大值。

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

1)求出原函数的导函数,得到f′(1),由f′(1)=且f1),列方程组求得实数ab的值;

2)由(1)求得函数fx)的解析式,然后利用导数求函数在[,e]上的最大值.

【详解】(1)由fx)=alnxbx2,得f′(x)2bx

f′(1)=a2b

则,解得a=,b

2)由(1)知,fx)=lnxx2

f′(xxx0).

∴当x∈(,)时,f′(x)>0,当x∈(,e)时,f′(x)<0.

fx)在(,)上为增函数,在(,e)上为减函数,

fxmaxf().

【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题,是中档题.

 

21.函数对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

对∀x1x2∈[0,1]不等式|fx1)﹣fx2|≤a1恒成立等价于|fx1)﹣fx2|maxa2,而|fx1)﹣fx2|maxfxmaxfxmin,利用导数可判断函数的单调性,由单调性可求得函数的最值,解不等式即可.

【详解】函数fx)=ax+x2xlnax∈[0,1],

f′(x)=axlna+2xlna=(ax1)lna+2x

0<a1时,显然|fx1)﹣fx2|≤a2不可能成立.

a1时,x∈[0,1]时,ax≥1,lna0,2x≥0,

此时f′(x≥0;

fx)在[0,1]上单调递增,

fxminf0)=1,fxmaxf1)=a+1﹣lna

|fx1)﹣fx2|≤fxmaxfxminalna

由题意得,alnaa2,解得ae2

故实数的取值范围为:[e2+∞).

【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,考查转化思想,考查了解决问题的能力.

 

22.已知函数其中,为常数且在处取得极值.

1当时,求单调区间;

2若在上的最大值为1,求的值.

【答案】(1)见解析;(2)或

【解析】

【分析】

由函数的解析式,可求出函数导函数的解析式,进而根据是的一个极值点,可构造关于ab的方程,根据求出b值;可得函数导函数的解析式,分析导函数值大于0和小于0时,x的范围,可得函数的单调区间;对函数求导,写出函数的导函数等于0的x的值,列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况,求出极值,把极值同端点处的值进行比较得到最大值,最后利用条件建立关于a的方程求得结果.

【详解】因为所以,

因为函数在处取得极值,

当时,,,

,随x的变化情况如下表:

x

1

0

0

极大值

极小值

 

 

 

所以的单调递增区间为,,单调递减区间为

因为

令,,

因为 处取得极值,所以,

当时,在上单调递增,在上单调递减

所以在区间上的最大值为,

令,解得

当,

当时,在上单调递增,上单调递减,上单调递增

所以最大值1可能在或处取得

所以,解得

当时,在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增

所以最大值1可能在或处取得

而,

所以,

解得,与矛盾.

当时,在区间上单调递增,在单调递减,

所以最大值1可能在处取得,而,矛盾。

综上所述,或

【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究函数在闭区间上的最值,其中根据已知条件确定ab值,得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析,是解答的关键属于中档题.

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