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江苏省徐州市第二学期期中考试高二数学(理科)试题

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高二年级第二学期期中考试数学试题(理)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上

1. 设复数z满足zi12i(i为虚数单位),则z的模为

2. 在平面上,若两个正方形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4;类似地,在空间内,若两个正方体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为

3. 2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有种.

4.因为指数函数yax是增函数(大前提),而y3(1)x是指数函数(小前提),所以函数y3(1)x是增函数(结论),上面推理的错误在于错误导致结论错.

5. 用数学归纳法证明n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除,要利用归纳假设证nk1时的情况,只需展开的式子是

6. abc均为正实数,则下列关于三个数ab(1)bc(1)ca(1)的结论,正确的序号是

都大于2;  ②都小于2;  ③至少有一个不大于2;  ④至少有一个不小于2.

7. 如果复数1+2i(2-bi)(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于


8. 如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内任意的x1x2xn,有n(f(x1)+f(x2)+…+f(xn))≤fn(x1+x2+…+xn)成立.已知函数ysin x在区间[0π]上是凸函数,则在ABC中,sin Asin Bsin C的最大值是

9.海山联合—2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机;俄方有5艘军舰、2架飞机,若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同),且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种.

10. (x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则a0a2a4的值为

11. 某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是 (用数字作答)

12. 已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,则z2

13. 设函数f(x)x+2(x)(x>0),观察: f1(x)f(x)x+2(x) f2(x)f(f1(x))3x+4(x) f3(x)f(f2(x))7x+8(x) f4(x)f(f3(x))15x+16(x)……根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*n≥2时,fn(x)f(fn1(x))

14. 数字1,2,39这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有 种.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题满分14分)

已知z是复数,z2i2-i(z)均为实数(i为虚数单位),且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.

16. (本题满分14分)

已知+2x(1)n

(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.






17. (本题满分14分)

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2anxan0有一根为Sn1n1,2,3….

(1)a1a2

(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.


18. (本题满分16分):()学&&Z

现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数

19.(本题满分16分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足anSn2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

20. (本题满分16分)

对于给定的数列{cn},如果存在实常数pq,使得cn1pcnq对于任意nN*都成立,我们称数列{cn}优美数列”.

(1)an2nbn3·2nnN*,数列{an}{bn}是否为优美数列?若是,指出它对应的实常数pq,若不是,请说明理由;

(2)已知数列{an}满足a12anan13·2n(nN*).若数列{an}优美数列,求数列{an}的通项公式.

高二数学理科试题参考答案

1 21∶8 312 4大前提错 5(k3)3 673(2) 82(3) 9180

108 1120 1242i 13(2n-1)x+2n(x) 1412

15.解 zxyi(xyR),所以z2ix(y2)i,由题意得y=-2.……3

因为2-i(z)2-i(x-2i)5(1)(x2i)(2i)5(1)(2x2)5(1)(x4)i.由题意得x4……6

所以z42i. ……………………………8

所以(zai)2(124aa2)8(a2)i……………………………10

由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限,

所以8(a-2)>0,(12+4a-a2>0,)解得2<a,……………………………12

故实数a的取值范围是(2,6)……………………………14

16.解 (1)∵Cn(4)Cn(6)2Cn(5)n221n980.n7n14……………3

n7时,展开式中二项式系数最大的项是T4T5.

T4的系数为C7(3)2(1)4232(35)T5的系数为C7(4)2(1)32470……………………5

n14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.

T8的系数为C14(7)2(1)7273 432. ……………………………7

(2)∵Cn(0)Cn(1)Cn(2)79n2n1560.n12n=-13(舍去)…………………10

Tk1项的系数最大,∵+2x(1)122(1)12(14x)12……………………………12

∴4k+1.(k+1)∴9.4≤k≤10.4k10.∴展开式中系数最大的项为T11 T11C12(10)·2(1)2·210·x1016896x10. ……………………………14

17.解 (1)n1时,x2a1xa10有一根为S11a11

于是(a11)2a1(a11)a10,解得a12(1).……………………………2

n2时,x2a2xa20有一根为S21a22(1)

于是2(1)2a22(1)a20,解得a26(1).……………………………4

(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0,即Sn(2)2Sn1anSn0.

n≥2时,anSnSn1,代入上式得Sn1Sn2Sn10.

(1)S1a12(1)S2a1a22(1)6(1)3(2).

可得S34(3).由此猜想Snn+1(n)n1,2,3….    ………………………8

下面用数学归纳法证明这个结论.

(ⅰ)n1时已知结论成立.……………………………9

(ⅱ)假设nk(kN*)时结论成立,即Skk+1(k)……………………………11

nk1时,由Sk12-Sk(1),即Sk1k+2(k+1),故nk1时结论也成立.

综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知Snn+1(n)对所有正整数n都成立.……………………14

18 若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有C4(1)×C4(1)×C4(1)64()……………………………4

2张同色,则有C3(2)×C2(1)×C4(2)×C4(1)144()……………………………8

若红色卡片有1张,剩余2张不同色,则有C4(1)×C3(2)×C4(1)×C4(1)192()……10

剩余2张同色,则有C4(1)×C3(1)×C4(2)72()……………………………12

所以共有6414419272472()不同的取法.……………………………16

19.(1)解 n1时,a1S12a12,则a11. ……………………………3

anSn2,所以an1Sn12,两式相减得an12(1)an…………………6

所以{an}是首项为1,公比为2(1)的等比数列,所以an2n-1(1).……………………8

(2)证明 反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap1aq1ar1(pqr,且pqrN*)……………………………10

2·2q(1)2p(1)2r(1),所以2·2rq2rp1.①……………………………12

又因为pqr,所以rqrpN*.

所以式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,……………………………14

所以假设不成立,原命题得证.……………………………16

20.解 (1)∵an2n,则有an1an2nN*.

数列{an}优美数列,对应的pq值分别为12……………………………3

bn3·2n,则有bn12bnnN*.

数列{bn}优美数列,对应的pq值分别为20. ……………………………6

(2)∵数列{an}优美数列存在实常数pq

使得an1panq对于任意nN*都成立,

且有an2pan1q对于任意nN*都成立,……………………………8

因此(an1an2)p(anan1)2q对于任意nN*都成立,……………………10

anan13·2n(nN*),且an1an23·2n1(nN*)

则有3·2n13·2np2q对于任意nN*都成立,……………………………12

3·2n(2p)2q对于任意nN*都成立,p20,即p2q0.……………14

此时,an12an,又a12an2n(nN*)……………………………16

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