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安徽合肥2018-2019学年高二数学上学期期中考试(解析)

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安徽省合肥市第八中学2018-2019学年第一学期

高二年级期中考试数学(文)试卷

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)

1.直线x=-1的倾斜角为(  )

A. 0 B. C. D. 不存

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意,分析可得直线x=-1与x轴垂直,即可得其倾斜角,即可得答案.

【详解】解:根据题意,直线x=-1与x轴垂直,

其倾斜角为;

故选:C.

【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的概念,涉及直线的方程,属于基础题.


2.已知直线l1:(k-3)x+(4-ky+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(  )

A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2

【答案】C

【解析】

【分析】

当k-3=0时,求出两直线的方程,检验是否平行;当k-3≠0时,由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k的值.

【详解】解:由两直线平行得,当k-3=0时,两直线的方程分别为  y=-1 和y=,显然两直线平行.

当k-3≠0时,由 ,可得 k=5.综上,k的值是3或5,

故选:C.

【点睛】本题主要考查了两直线平行之间方程系数的关系,考查了分类讨论的数学思想及计算能力,属于基础题.


3.如图正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(  )


A. 8cm B. 6cm C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析:由题意得,正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,所以,对应原图形平行四边形的高为,如图所示,所以原图形中,,所以原图形的周长为,故选A


考点:平面图形的直观图.


4.若mn表示两条不同直线,α表示平面,则下列命题中真命题是(  )

A. 若,,则 B. 若,,则

C. 若,,则 D. 若,,则

【答案】A

【解析】

对于A,因为垂直于同一平面的两条直线相互平行,故A正确;对于B,如果一条直线平行于一个平面,那么平行于已知直线的直线与该平面的位置关系有平行或在平面内,故B错;对于C,因同平行于一个平面的两条直线异面、相交或平行,故C错;对于D,与一个平面的平行直线垂直的直线与已知平面是平行、相交或在面内,故D错,选A.


5.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(  )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由题意,过点原点和的直线的斜率,

要使得过且与原点的距离最大值,则过点的直线与直线是垂直的,

即所求直线的斜率为,

由直线的点斜式方程可得,即,故选A.


6.若三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是(  )


A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D

【解析】

该几何体原图如下图所示的.由图可知,三棱锥的个面都是直角三角形,故选.



7.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积和表面积分别为(  )


A. , B. ,

C. , D. ,

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥,结合图中数据,即可求出它的体积和表面积.

【详解】解:根据三视图知,该几何体是圆柱,在中间挖去一个同底等高的圆锥,如图所示;


结合图中数据,计算该几何体的体积为:

V=π•12•1-π•12•1=π;

表面积为:

S=π•12+2π•1•1+π•1•=(3+)π.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了几何体三视图的应用问题,几何体的体积以及表面积的计算,是基础题


8.已知点A(2,-3),B(3,2),直线ax+y+2=0与线段AB相交,则实数a的取值范围是(  )

A. B. 或 C. D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

直线ax+y+2=0经过定点C(0,-2),斜率为-a,,求出,数形结合得到直线的斜率范围,即可求得实数a的取值范围.

【详解】解:如图:直线ax+y+2=0经过定点C(0,-2),斜率为-a


当直线ax+y+2=0经过点A(2,-3)时,有AC=.

当直线ax+y+2=0经过点B(3,2)时,有BC=.

∴,即,

故选:C.

【点睛】本题主要考查了考查恒过定点的直线,直线的斜率公式的应用,考查了数形结合思想及计算能力,属于中档题.


9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )



A. B. C. D. 8

【答案】B

【解析】

由图可知该几何体底面积为8,高为2的四棱锥,如图所示:


∴该几何体的体积

故选B

点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.

【此处有视频,请去附件查看】



10.若直线l1l2是异面直线,l1⊂α,l2⊂β,α∩β=l,则下列命题正确的是(  )

A. l至少与,中的一条相交 B. l与,都相交

C. l至多与,中的一条相交 D. l与,都不相交

【答案】A

【解析】

【分析】

由线线、线面之间的位置关系直接判断即可。

【详解】解:由直线l1和l2是异面直线,l1⊂α,l2⊂β,α∩β=,知:

在A中,当l1,l2都平行时,l1∥l2,与直线l1和l2是异面直线矛盾,

∴至少与l1,l2中的一条相交,故A正确;

在B中,可以与l1,l2中的一条相交,与另一条平行,故B错误;

在C中,可以与l1,l2中的两条都相交,故C错误;

在D中,当l1,l2都与平行时,l1∥l2,与直线l1和l2是异面直线矛盾,

∴至少与l1,l2中的一条相交,故D错误.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识,考查空间思维能力,属于基础题.


11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(


A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析:以D点为坐标原点,以DADC所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系则A200),B220),C020),021

∴=-201),=-220),且为平面BB1D1D的一个法向量.

∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

考点:直线与平面所成的角

【此处有视频,请去附件查看】



12.三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABCABBCPA=2,AB=BC=1,则其外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

分析:将三棱锥的外接球转化为以为长宽高的长方体的外接球,从而可得球半径,进而可得结果.

详解:因为平面,平面,

,,

所以三棱锥的外接球,就是以为长宽高的长方体的外接球,

外接球的直径等于长方体的对角线,

即,所以外接球的表面积为:

,故选A.

点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题.要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有:

①若三条棱两垂直则用(为三棱的长);

②若面(),则(为外接圆半径)

③可以转化为长方体的外接球;

④特殊几何体可以直接找出球心和半径.


二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.已知平面α,β,直线l,若α∥β,l⊂α,则直线l与平面β的位置关系为______.

【答案】l∥β

【解析】

【分析】

根据平面与平面平行的定义可以得出直线与平面平行.

【详解】解:因为平面α∥β,且⊂α,

所以∥β.

故答案为:∥β.

【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的定义以及直线与平面平行的转化问题,是基础题.


14.若两平行直线3x-y+m=0,6x+ny+7=0之间的距离为,则m的值为______.

【答案】6或1

【解析】

【分析】

由两直线平行可求得,把两条平行线方程中xy的系数化为相同的,根据两条平行直线间的距离等于列方程,求得m的值.

【详解】解:由两直线3x-y+m=06x+ny+7=0平行,

可得∴n=,m≠,故两平行直线方程为: 6x-2y+2m=06x-2y+7=0.

又它们之间的距离为,

∴,求得m=6或m=1,

故答案为:6或1.

【点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式的应用及两平行线之间方程的系数关系,属于基础题.


15.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若ABBCAB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是______.

【答案】

【解析】

要使球的体积V最大,必须使球的半径R最大.

因为△ABC内切圆的半径为2,所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时,

球的半径取得最大值为,此时球的体积为πR3=,故填.


16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点EFG分别为棱ABAA1C1D1的中点.下列结论中,正确结论的序号是______.

①过EFG三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;

B1D1∥平面EFG

BD1⊥平面ACB1

④异面直线EFBD1所成角的正切值为;

⑤四面体ACB1D1的体积等于a3


【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据公里3,作截面可知①正确;根据直线与平面的位置关系可知②不正确;根据线面垂直的判定定理可知③正确;根据异面直线所成的角的定义求得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为,可知④正确;用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确.

【详解】解:延长EF分别与B1A1,B1B的延长线交于N,Q,连接GN交A1D1于H,

设HG与B1C1的延长线交于P,连接PQ交CC1于I,交BC于M,


连FH,HG,GI,IM,ME,则截面六边形EFHGIM为正六边形,故①正确;

B1D1与HG相交,故B1D1与平面 EFG相交,所以②不正确;

∵BD1⊥AC,BD1⊥B1C,且AC与B1C相交,所以BD1⊥平面ACB1,故③正确;

取的中点,连接,则,

所以就是异面直线EF与BD1的夹角,

设正方体的边长为,可得:,,,

所以是直接三角形.可得:.

可得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为,故④正确;

四面体ACB1D1的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,

即为,故⑤不正确.

故答案为:①③④

【点睛】本题主要考查了命题的真假判断,考查空间思维能力及作图能力、线面位置关系,还考查了求异面直线所成的角,还考查了空间几何体的体积计算,属于难题.


三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)

17.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-3),求:

Ⅰ)若BC的中点为D,求直线AD的方程;

Ⅱ)求△ABC的面积.

【答案】Ⅰ)x-3y+1=0Ⅱ)10

【解析】

【分析】

Ⅰ)求出中点D的坐标,利用直线方程的两点式即可得解。

Ⅱ)求出的长度,再求出直线的方程及点到直线的距离,问题得解。

详解】解:(Ⅰ)∵B(-2,3),C(0,-3),

D(-1,0).

∴直线AD的方程为,

整理得:x-3y+1=0;

Ⅱ)∵B(-2,3),C(0,-3),

∴|BC|=.

又直线BC的方程为3x+y+3=0,则A点到直线BC的距离为,

∴△ABC的面积为=10.

【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及直线方程的两点式,考查了两点距离公式及点到直线的距离公式及三角形面积公式,考查计算能力,属于中档题。


18.已知直线l方程为(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,mR

Ⅰ)求证:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;

Ⅱ)若直线lx轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程.

【答案】Ⅰ)直线l恒过定点P(4,1).(Ⅱ)x +y-5=0或

【解析】

分析】

Ⅰ)整理直线的方程得mx-y-3)+2x-y-7=0,令,解方程组即可求得定点P的坐标。

Ⅱ)令,求得直线l的纵截距,再令,求得直线l的横截距,由题意列方程即可求得的值,问题得解。

【详解】解:(Ⅰ)直线l方程为(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,mR,即mx-y-3)+2x-y-7=0,

x-y-3=0,可得2x-y-7=0,联立方程组求得,可得直线l恒过定点P(4,1).

Ⅱ)直线lx轴,y轴上的截距相等,

x=0,求得y=-;令y=0,求得,

∴-=,解得:m=-或,

∴直线l方程为x+y-=0或,即x +y-5=0或

【点睛】本题主要考查了直线过定点问题,考查转化能力,还考查了直线横、纵截距定义及方程思想、计算能力,属于中档题。


19.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCDCD=2ABEPC的中点,且PAB=∠PDC=90°.

Ⅰ)证明:BE∥平面PAD

Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PAD


【答案】Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析

【解析】

【分析】

Ⅰ)取PD的中点F,连接AFEF证明,即可得证BE∥平面PAD.

Ⅱ)证明,即可证明平面PAD,问题得证。

【详解】证明:(I)取PD的中点F,连接AFEF


EF分别是PCPD的中点,

EFCD,又ABCD

EFAB

∴四边形ABEF是平行四边形,

AFBE,又AF⊂平面PADBE⊄平面PAD

BE∥平面PAD

II∵∠PDC=90°PDDC

ABCD

ABPD

∵∠PAB=90°PAAB

PA⊂平面PADPD⊂平面PADPAPD=P

AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB

【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及面面垂直的证明,考查了转化思想及空间思维能力,属于中档题。


20.如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBCABBCAS=AB,点EFG分别在棱SASBSC上,且平面EFG∥平面ABC,点ESA的中点.求证:

Ⅰ)AF⊥平面SBC

Ⅱ)SABC


【答案】Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析

【解析】

【分析】

Ⅰ)由平面EFG∥平面ABC证得,即可说明点是的中点,即可证得AFSB,利用平面SAB⊥平面SBC即可证得AF⊥平面SBC,问题得证。

Ⅱ)由(Ⅰ)中结论可证得BCAF,结合BABC即可证得BC⊥平面SAB,问题得证。

【详解】证明:(Ⅰ)平面EFG∥平面ABC

平面EFG平面=,平面ABC平面=,

,又点是的中点

点是的中点,


AS=AB

AFSB

∵在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB

AF⊥平面SBC

Ⅱ)∵AF⊥平面SBCBC⊂平面SBC

BCAF

BABCBAAF=A

BC⊥平面SAB

SA⊂平面SABSABC

【点睛】本题主要考查了面面平行的性质及面面垂直的性质,考查转化能力,还考查了线线垂直、线面垂直的证明,考查空间思维能力,属于中档题。


21.如图,已知AB是圆O的直径,C是圆O上一点,AC=BC,且PA⊥平面ABCEAC的中点,FPB的中点,PA=,AB=2.求:

Ⅰ)异面直线EFBC所成的角;

Ⅱ)点A到平面PBC的距离.


【答案】Ⅰ)60°Ⅱ).

【解析】

【分析】

Ⅰ)连接OEOF,说明FEO是异面直线EFBC所成的角,解三角形即可。

Ⅱ)证明BC⊥平面PAC,即可计算出SPBC=2,利用等体积法列方程即可得解。

【详解】解:(I)连接OEOF


OAB的中点,EAC的中点,

OEBC

∴∠FEO是异面直线EFBC所成的角,

OAB的中点,FPB的中点,

OFPA,又PA⊥平面ABC

OF⊥平面ABC

AB是圆O的直径,ACBC

AC=BCAB=2BC=OE=BC=,

OF=PA=∴tan∠FEO==,

∴异面直线EFBC所成的角为60°.

IIPA⊥平面ABCBC⊂平面ABC

PABC

AB是圆O的直径,ACBC

PAAC=A

BC⊥平面PACBCPC

PC==2SPBC==2.

A到平面PBC距离为h,则VA-PBC==.

VA-PBC=VP-ABC===,

h=,即A到平面PBC的距离为.

【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角求法,考查空间思维能力及转化能力,还考查了等体积法求三棱锥的高,考查计算能力,属于中档题。


22.在梯形ABCD中,DCABDCCBEAB的中点,且AB=2BC=2CD=4(如图所示),将△ADE沿DE翻折,使AB=2(如图所示),F是线段AD上一点,且AF=2DF

Ⅰ)求四棱锥A-BCDE的体积;

Ⅱ)在线段BE上是否存在一点G,使EF∥平面ACG?若存在,请指出点G的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.


【答案】Ⅰ)Ⅱ)线段BE上存在一点GGBE上靠近点B的三等分点,使EF∥平面ACG

【解析】

【分析】

Ⅰ)取BE中点O,连结AO,证明AO⊥平面BCDE即可计算四棱锥A-BCDE的体积。

Ⅱ)过FFHDC,交ACH,在EB上取EG=FH,连结GH,证明FHEG,即可证明EF∥,问题得解。

【详解】解:(Ⅰ)∵在梯形ABCD中,DCABDCCBEAB的中点,AB=2BC=2CD=4(如图1所示),


将△ADE沿DE翻折,使AB=2(如图2所示),

,∴平面ABE

∴平面ABE⊥平面BCDE,四边形BCDE是以2为边长的正方形,

BE中点O,连结AO,则AOBE

AO⊥平面BCDE,且AO==,

∴四棱锥A-BCDE的体积V===.

Ⅱ)过FFHDC,交ACHEB上取EG=FH,连结GH

F是线段AD上一点,且AF=2DF

,

EG=2GB,即GBE上靠近点B的三等分点,

此时,FHEG∴四边形GEFH是平行四边形,EFGH

EF⊄平面ACGGH⊂平面ACG

∴线段BE上存在一点GGBE上靠近点B的三等分点,使EF∥平面ACG

【点睛】本题主要考查了锥体体积计算,考查空间中的线面垂直证明、面面垂直的性质,还考查了线面平行的证明及线线、线面平行的转化,考查计算能力,属于中档题。





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