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高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语测试卷(含解析新人教A版)

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第一章 常用逻辑用语
 (时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列语句中是命题的为( )
①x2-3=0;②与一条直线相交的两直线平行吗?③3+1=5;④∀x∈R,5x-3>6.
A.①③     B.②③
C.②④     D.③④
解析:选D.①无法判断真假,②是疑问句,都不是命题;③④为命题.
2.命题“若a>0,则a2>0”的逆命题是( )
A.若a>0,则a2≤0
B.若a2>0,则a>0
C.若a≤0,则a2>0
D.若a≤0,则a2≤0
解析:选B.将原命题的条件和结论互换即得.
3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.有一个α,使tan(90°-α)=1tan α
B.存在实数x,使sin x=π2
C.对一切α,sin(180°-α)=sin α
D.sin 15°=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°
解析:选A.B中命题为假命题,C中命题为全称命题,D不是特称命题.A中命题既是真命题又是特称命题.故选A.
4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(﹁p)∨q     B.p∧q
C.(﹁p)∧(﹁q)     D.(﹁p)∨(﹁q)
解析:选D.易得命题p为真命题,命题q为假命题,结合各选项知只有(﹁p)∨(﹁q)为真命题.
5.已知f(x)=ex+x-1,命题p:∀x∈(0,+∞),f(x)>0,则( )
A.p是真命题,﹁p:∃x∈(0,+∞),f(x)<0
B.p是真命题,﹁p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0
C.p是假命题,﹁p:∃x∈(0,+∞),f(x)<0
D.p是假命题,﹁p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0
解析:选B.由于函数y=ex和y=x-1在R上均是增函数,则f(x)=ex+x-1在R上是增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以p为真命题,﹁p:∃x∈(0,+∞),f(x)≤0,故选B.
6.命题p:a2+b2<0(a,b∈R);命题q:a2+b2≥0(a,b∈R),下列结论正确的是( )
A.“p∨q”为真     B.“p∧q”为真
C.“﹁p”为假     D.“﹁q”为真
解析:选A.p为假,q为真,故选A.
7.已知命题p:△ABC中,若A>B,则cos A>cos B,则下列命题为真命题的是( )
A.p的逆命题     B.p的否命题
C.p的逆否命题     D.p的否定
解析:选D.命题p的否命题是“△ABC中,若A≤B,则cos A≤cos B”,是假命题,所以它的逆命题也是假命题,故A,B错误.命题p是假命题,所以p的逆否命题是假命题,p的否定是真命题,故C错误,D正确.
8.给出下列四个命题:
①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;
②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;
③若x=y=0,则x2+y2=0;
④已知x,y∈N*,若x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数.那么( )
A.①的逆命题为真
B.②的否命题为真
C.③的逆否命题为假
D.④的逆命题为假
解析:选A.易知A正确;②的否命题为“若x<-2或x≥3,则(x+2)(x-3)>0”,故②的否命题为假;③为真,故③的逆否命题为真;④的逆命题显然为真.
9.给定下列命题:
①“x∈N”是“x∈N*”的充分不必要条件;
②“若sin α≠12,则α≠π6”;
③“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
④命题“∃x0∈R,使x20-x0+1≤0”的否定.
其中是真命题的是( )
A.①②③     B.②④
C.③④     D.②③④
解析:选B.“x∈N”是“x∈N*”的必要不充分条件,①错误;②的逆否命题为:若α=π6,则sin α=12正确,故②正确;若xy=0,则x=0或y=0,③错误;④正确.
10.已知命题p:“∀x∈R,∃m∈R,使4x+2xm+1=0”.若命题﹁p是假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[-2,2]  
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]  
D.(-∞,-2)∪[2,+∞)
解析:选C.由题意可知命题p为真,即方程4x+2xm+1=0有解,
所以m=-4x+12x=-2x+12x≤-2.
11.设f(x)=x2-4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A.x<0     B.x<0或x>4
C.|x-1|>1     D.|x-2|>3
解析:选C.由f(x)=x2-4x>0,得x<0或x>4.由|x-1|>1,得x<0或x>2.由|x-2|>3,得x<-1或x>5,所以只有C是f(x)>0的必要不充分条件.故选C.
12.下列命题中的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“∃x0∈R,使得x20+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1>0”
D.命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆否命题为真命题
解析:选D.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A不对;“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故B不对;命题“∃x0∈R,使得x20+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故C不对;在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B为真,则它的逆否命题也为真命题,故D正确.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.命题“∃x0∈{x|x是正实数},使x0<x0”的否定为________命题.(填“真”或“假”)
解析:原命题的否定为“∀x∈{x|x是正实数},使x≥x”,是假命题.
答案:假
14.设p:x>2或x<23;q:x>2或x<-1,则﹁p是﹁q的________条件.
解析:﹁p:23≤x≤2.
﹁q:-1≤x≤2.﹁p⇒﹁q,且﹁q⇒/﹁p.
所以﹁p是﹁q的充分不必要条件.
答案:充分不必要
15.命题“∀x∈R,ax2-2ax+3>0”是假命题,则实数a的取值范围是________.
解析:当a=0时,3>0恒成立,当a≠0时,
由a>0,4a2-12a<0,得0<a<3,
综上可得,0≤a<3.
因为命题“∀x∈R,ax2-2ax+3>0”是假命题,
所以a的取值范围是(-∞,0)∪[3,+∞).
答案:(-∞,0)∪[3,+∞)
16.给出下列说法:
①若“p且q”为假,则p,q中至少有一个是假命题;
②当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增.
其中说法错误的是________(填序号).
解析:若“p且q”为假,则p,q中至少有一个是假命题,故①说法正确;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减,故②说法错误.
答案:②
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定形式,并判断真假:
(1)q:存在一个实数x0,使得x20+x0+3≤0;
(2)r:等圆的面积相等,周长也相等.
解:(1)﹁q:∀x∈R,x2+x+3>0.真命题.
因为x2+x+3=x+122+114>0.
(2)﹁r:存在两个等圆,其面积不相等或周长不相等.假命题.等圆的面积和周长都相等.
18.(本小题满分12分)写出命题“若x2+7x-8=0,则x=-8或x=1”的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.
解:逆命题:若x=-8或x=1,则x2+7x-8=0.
逆命题为真.
否命题:若x2+7x-8≠0,则x≠-8且x≠1.
否命题为真.
逆否命题:若x≠-8且x≠1,则x2+7x-8≠0.
逆否命题为真.
19.(本小题满分12分)写出由下述各命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并指出所构成的这些命题的真假.
(1)p:连续的三个整数的乘积能被2整除,q:连续的三个整数的乘积能被3整除.
(2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.
解:(1)p或q:连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q:连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p:存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
因为连续的三个整数中有一个(或两个)是偶数,且有一个是3的倍数,
所以p真,q真,
所以p或q与p且q均为真,而非p为假.
(2)p或q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
因为p假q假,
所以p或q与p且q均为假,而非p为真.
20.(本小题满分12分)已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0.若﹁p是﹁q的必要条件,求实数a的取值范围.
解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a<x<a,
所以p:3a<x<a,
即集合A={x|3a<x<a}.
由x2-x-6≤0得-2≤x≤3,
所以q:-2≤x≤3,
即集合B={x|-2≤x≤3}.
因为﹁q⇒﹁p,
所以p⇒q.
所以A⊆B,
所以3a≥-2,a≤3,a<0⇒-23≤a<0,
所以a的取值范围是-23,0.
21.(本小题满分12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
解:逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2图象的开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,
所以4a-7<0.
即二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.
22.(本小题满分12分)给出两个命题:
命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为∅,
命题乙:函数y=(2a2-a)x为增函数.
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围:
(1)甲、乙至少有一个是真命题;
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
解:命题甲为真命题时,Δ=(a-1)2-4a2<0,
即a>13或a<-1.
命题乙为真命题时,2a2-a>1,
即a>1或a<-12.
(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时,
a的取值范围是aa<-12或a>13.
(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题,有两种情况:
甲真乙假时,13<a≤1;
甲假乙真时,-1≤a<-12,
所以甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时,a的取值范围为a13<a≤1或-1≤a<-12.

 
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