苏教版高中数学选修1-1第3章导数及其应用章末检测题(带解析)

时间:2018-10-08 作者:佚名 试题来源:网络

苏教版高中数学选修1-1第3章导数及其应用章末检测题(带解析)

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(时间:120分钟;满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上)
1.如果质点按规律s(t)=t2-t(距离单位:m,时间单位:s)运动,则质点在3 s时的瞬时速度为________.
解析:质点在3 s时的瞬时速度即s′(3)=5 m/s.
答案:5 m/s
2.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0=________.
解析:∵f(x)=xln x,∴f′(x)=ln x+x•1x=ln x+1,
∴由f′(x0)=2得ln x0+1=2,∴x0=e.
答案:e
3.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则实数k的取值范围是________.
解析:∵f(x)=2x2-ln x的定义域为(0,+∞),
f′(x)=4x-1x,由f′(x)=0得x=12.
由题意知k-1<12<k+1k-1≥0,解得1≤k<32.
答案:1≤k<32

4.函数f(x)=(x-1)2(x-2)2的极大值是________.,解析:∵f(x)=(x-1)2(x-2)2,,∴f′(x)=2(x-1)(2x-3)(x-2);,令f′(x)=0,得可能的极值点x1=1,x2=32,x3=2.列表如下:
x (-∞,1) 1 1,32
32
32,2
2 (2,+∞)
f′(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ? 极小值 ?


∴f32=116是函数的极大值.
答案:?116
5.若直线y=kx-3与曲线y=2ln x相切,则实数k=________.,解析:依题意,设切点为(x0,y0),则有,k=2x0kx0-3=2ln x0,由此得2-3=2ln x0,∴x0=e-12.
∴k=2x0=2e-12=2e.
答案:2e
6.已知x∈R,奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在[1,+∞)上单调递增,则a,b,c应满足的条件是________.
解析:由f(x)是奇函数,得a=c=0.
∴f′(x)=3x2-b,
又f(x)在[1,+∞)上单调递增,故b≤3x2,
在[1,+∞)上恒成立,即b≤3.
答案:a=c=0,b≤3
7.已知函数f(x)=ln a+ln xx在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________.
解析:∵f′(x)=1x•x-ln a+ln xx2
=1-ln a+ln xx2,
又f(x)在[1,+∞)上为减函数,∴f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a≥1-ln x在[1,+∞)上恒成立,
故ln a应大于等于φ(x)=1-ln x的最大值,
∵φ(x)max=1,故ln a≥1,
∴a≥e.
答案:[e,+∞)
8.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对于任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为________.
解析:设h(x)=f(x)-(2x+4),则h′(x)=f′(x)-2>0,
故h(x)在R上为增函数,又∵h(-1)=f(-1)-2=0,
∴当x>-1时,h(x)>0,即f(x)>2x+4.
答案:(-1,+∞)
9.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是________.
解析:f′(x)=3x2+2ax+a+6,由已知,f′(x)=0应该有两个不等的实数根,∴Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a>6或a<-3.
答案:a>6或a<-3
10.函数y=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为________.
解析:∵y′=3x2-3a,令y′=0,可得:a=x2.
又x∈(0,1),∴0<a<1.
答案:0<a<1
11.设f(x)=x3-12x2-2x+5,当x∈[-2,2]时,f(x)-m<0恒成立,则实数m的取值范围为________.
解析:f′(x)=3x2-x-2,由f′(x)>0得3x2-x-2>0,即x<-23或x>1;
由f′(x)<0得3x2-x-2<0,即-23<x<1,
所以函数的单调增区间是-∞,-23,(1,+∞);
函数的单调减区间是-23,1;
∵f(x)<m恒成立,∴m大于f(x)的最大值;
∵当x∈-2,-23时,f(x)为增函数,
所以f(x)max=f-23=15727;
当x∈-23,1时,f(x)为减函数,
所以f(x)max=f-23=15727;
当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,所以f(x)max=f(2)=7;
因为7>15727,∴f(x)在x∈[-2,2]上的最大值为7;
∴m的取值范围为m>7.
答案:m>7
12.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是________.
解析:设f(x)=x3-6x2+9x-10,则f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),故函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数;而f(1)=-6,f(3)=-10;故函数f(x)的图象与x轴有且只有1个交点,即方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是1个.
答案:1
13.一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比,已知当速度为每小时20千米时,每小时消耗的煤的费用为40元;火车行驶的其它费用为每小时200元,则火车行驶的速度为________(千米/小时)时,火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米,且火车最高速度为每小时100千米).
解析:设火车速度为x千米/小时,每小时消耗的煤的费用为p元,依题意有p=kx3(k为比例系数),由x=20时,p=40,解得k=1200,故总费用y=1200x3+200•ax=ax2200+200x(0<x≤100),
由于y′=ax100-200x2,令y′=0,解得x=10320,
又当0<x<10320时,y′<0;
当10320<x≤100时,y′>0,
∴当x=10320时,y取最小值,即要使费用最省,火车速度应为10320千米/小时.
答案:10320
14.设a>0,b>0,e是自然对数的底数.则下列结论正确的是________.
①若ea+2a=eb+3b,则a>b;
②若ea+2a=eb+3b,则a<b;
③若ea-2a=eb-3b,则a>b;
④若ea-2a=eb-3b,则a<b.
解析:∵a>0,b>0,
∴ea+2a=eb+3b=eb+2b+b>eb+2b.
对于函数y=ex+2x(x>0),∵y′=ex+2>0,
∴y=ex+2x在(0,+∞)上单调递增,因而a>b成立.
答案:①
二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分) 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4,
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数的递减区间.
 

解:(1)函数的图象经过(0,0)点,
∴c=0,又图象与x轴相切于(0,0)点,y′=3x2+2ax+b,
∴0=3×02+2a×0+b,得b=0,
∴y=x3+ax2,y′=3x2+2ax;
令y′=0得:x=0或x=-23a,
结合f(x)图象知:-23a>0,
当0<x<-23a时,y′<0,当x>-23a时,y′>0;
∴当x=-23a时,函数有极小值-4;
∴-23a3+a-2a32=-4,得a=-3.
∴a=-3,b=0,c=0.
(2)由(1)可得f(x)=x3-3x2,∴f′(x)=3x2-6x<0,解得0<x<2,
∴递减区间是(0,2).
16.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f′(1)=g′(1),
即a+1=1+b,且2a=3+b,
解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,
h(x)=x3+3x2-9x+1,
h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.
h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,2) 2
h′(x) + 0 - 0 + 
h(x) ? 28 ? -4 ? 3
由此可知:
当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为
h(-3)=28;当-3<k<2时,函数h(x) 在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(-∞,-3].
17.(本小题满分14分) 已知函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点(-2,0),如图所示.
 

(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-k在区间[-3,2]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+4,且y=f′(x)的图象过点(-2,0),所以-2为3ax2+2bx+4=0的根,代入得:3a-b+1=0,①
由图象可知,f(x)在x=-2时取得极小值,
即f(-2)=-8,得b=2a.②
由①②解得a=-1,b=-2,∴f(x)=-x3-2x2+4x.
(2)由题意,方程f(x)=k在区间[-3,2]上有两个不等实根,
即方程-x3-2x2+4x=k在区间[-3,2]上有两个不等实根.
f′(x)=-3x2-4x+4,令f′(x)=0,解得x=-2或x=23,可列表:
x -3 (-3,-2) -2 (-2,23)
23
23,2
2
f′(x)  - 0 + 0 - 
f(x) -3 ? 极小值-8 ? 极大值4027
? -8


由表可知,当k=-8或-3<k<4027时,方程-x3-2x2+4x=k在区间[-3,2]上有两个不等实根,即函数y=f(x)-k在区间[-3,2]上有两个不同的零点.
18.(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A,B两座烟囱相距20 km,其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍,试求出两座烟囱连线上的一点C,使该点的烟尘浓度最低.
解:不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1,则B烟囱喷出的烟尘量为8,
设AC=x(0<x<20),则BC=20-x.
依题意得点C处的烟尘浓度y=kx2+8k20-x2(k为比例系数).
∴y′=-2kx3+16k20-x3
=2k9x3-60x2+1 200x-8 000x320-x3.
令y′=0,得(3x-20)•(3x2+400)=0,又0<x<20,
∴x=203.
∵当x∈0,203时,y′<0;当x∈203,20时,y′>0;
∴在区间(0,20)上,当x=203时,y取最小值.
故当点C位于距A点203 km处时,该点的烟尘浓度最低.
19.(本小题满分16分) 如图,四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分.新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积.
 

解:以M为原点,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则D(4,2).设抛物线方程为y2=2px(p>0).由点D在抛物线上,得22=8p,解得p=12.
 

∴抛物线方程为y2=x(0≤x≤4,y≥0).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,
则PQ=2+y,PN=4-y2,
∴矩形游乐园面积S=PQ•PN=(2+y)•(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
∴S′=-3y2-4y+4,令S′=0,
解得y=23或y=-2(舍去).
∵当y∈0,23时,S′>0,S为增函数;
当y∈23,2时,S′<0,S为减函数.
∴当y=23时,S有极大值,
此时PQ=2+y=2+23=83,
PN=4-y2=4-232=329,S=83×329=25627(km2).
又当y=0时,S=8;当y=2时,S=0.
∴当y=23,x=49时,游乐园面积最大,
最大面积为25627 km2.
故当点P到x轴距离为23、到y轴距离为49时,游乐园面积最大,最大面积为25627 km2.
20.(本小题满分16分)设f(x)=x3-kx(k>0).
(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)=x3-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数,设x0≥1,f(x0)≥1,且满足f(f(x0))=x0,已知0<k≤3,求证:f(x0)=x0.
解:(1)由f(x)=x3-kx得f′(x)=3x2-k,∵f′(2)=0,∴3×22-k=0,即k=12;
∴f(x)=x3-12x,故f(2)=23-12×2=-16,
∴f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-f(2)=f′(2)•(x-2),即为y+16=0.
(2)证明:设f(x0)=m,则由f(f(x0))=x0得f(m)=x0;又f(x)=x3-kx(k>0),
∴x30-kx0=mm3-km=x0,
两式相减得(x30-m3)-k(x0-m)=m-x0,
即(x0-m)(x20+m2+x0m+1-k)=0.
∵x0≥1,f(x0)≥1即m≥1,
∴x20+m2+x0m+1-k≥4-k,而0<k≤3,
∴x20+m2+x0m+1-k≥1>0,从而只有x0-m=0,
即m=x0,∴f(x0)=x0.


 

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