北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程综合检测题(附解析)

时间:2018-10-08 作者:佚名 试题来源:网络

北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程综合检测题(附解析)

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(时间:100分钟,满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.双曲线x2-y2=3的渐近线方程为(  )
A.y=±x         B.y=±3x
C.y=±3x   D.y=±33x
解析:选A.双曲线的标准方程为x23-y23=1,故其渐近线方程为y=±bax=±x.
2.抛物线y2=8x的焦点坐标是(  )
A.(4,0)   B.(2,0)
C.(0,2)   D.(0,4)
解析:选B.y2=8x的焦点坐标为(p2,0),即(2,0).
3.若双曲线x216-y220=1上一点P到它的右焦点的距离是9,那么点P到它的左焦点的距离是(  )
A.17   B.17或1
C.45+9   D.以上都错
解析:选B.设F1,F2为其左、右焦点,由双曲线定义|PF1|-|PF2|=|PF1|-9=2a=8,
所以|PF1|=1或17.
4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率是(  )
A.36   B.13
C.12   D.33
解析:选D.因为|F1F2|=2c,所以|PF2||F1F2|=tan 30°,
所以|PF2|=233c,|PF1|=2|PF2|=43c3.
由椭圆定义:|PF1|+|PF2|=23c=2a,
故e=ca=33.
5.已知抛物线y=2px2(p>0)的准线与圆x2+y2-4y-5=0相切,则p的值为(  )
A.10   B.6
C.18   D.124
解析:选C.抛物线方程可化为x2=12py(p>0),由于圆x2+(y-2)2=9与抛物线的准线y=-18p相切,所以3-2=18p,所以p=18.
6.设F1,F2是双曲线x23-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为π4的弦AB,则△F1AB的面积为(  )
A.6   B.26
C.233   D.433
解析:选B.直线AB的方程为y=x-2,将其代入x23-y2=1,整理得:2x2-12x+15=0,因为x1+x2=6,x1x2=152,所以y1+y2=x1-2+x2-2=2.
y1y2=(x1-2)(x2-2)=-12.
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=6.
S△F1AB=12|F1F2||y1-y2|=12×4×6=26.
7.若直线l过点(3,0)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则这样的直线有(  )
A.1条   B.2条
C.3条   D.4条
解析:选C.双曲线方程可化为x29-y24=1,知(3,0)为双曲线的右顶点,故符合要求的直线l有3条,其中一条是切线,另两条是交线(分别与两渐近线平行).
8.已知定直线l与平面α成60°角,点P是平面α内的一动点,且点P到直线l的距离为3,则动点P的轨迹是(  )
A.圆   B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分   D.椭圆
解析:选D.以l为轴,底面半径为3的圆柱被与l成60°的平面α所截,截面边界线为椭圆.
9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2-y22=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程是(  )
A.x22+y2=1   B.x23+y24=1
C.x29+y26=1   D.x225+y220=1
解析:选C.因为双曲线的离心率为31=3,所以椭圆的离心率为33,即ca=33,又因为a2-b2=c2=3,所以a=3,b=6.故椭圆的标准方程为x29+y26=1.
10.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离S为(  )
A.34   B.32
C.1   D.2
解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线准线方程为y=-1.根据梯形中位线定理,得所求距离为:S=y1+y22=y1+1+y2+12-1,由抛物线定义得S=|AF|+|BF|2-1≥|AB|2-1=2,当A、B、F三点共线时取等号,故选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.双曲线x24-y2=1的离心率等于________.
解析:因为a=2,b=1,所以c=a2+b2=5,所以e=ca=52.
答案:52
12.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是________.
解析:由此双曲线与x24+y2=1共焦点,故该双曲线可设为x2a2-y23-a2=1,将(2,1)代入双曲线得a2=2.
故双曲线方程为x22-y2=1.
答案:x22-y2=1
13.椭圆4x2+9y2=144内一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这条弦所在的直线方程为________.
解析:设该弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
4x21+9y21=144,①4x22+9y22=144,②
①-②得,4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又因为x1+x2=6,y1+y2=4.
所以k=y2-y1x2-x1=-23,
故该弦所在直线为y-2=-23(x-3),
即2x+3y-12=0.
答案:2x+3y-12=0
14.抛物线y2=2x上距点M(m,0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点,则m的取值范围是________.
解析:设P(x,y)为抛物线上任一点,则|PM|2=(x-m)2+y2=x2-2(m-1)x+m2
=[x-(m-1)]2+2m-1.
因为m>0,所以m-1>-1.
由于x≥0,且由题意知当x=0时,|PM|最小.
则对称轴x=m-1应满足-1<m-1≤0,所以0<m≤1.
答案:(0,1]
15.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆离心率e的取值范围是________.
解析:由对称性知矩形中心在原点,且两组对边平行于x轴,y轴,设矩形在第一象限的顶点坐标为(x,y)(x>0,y>0),
S矩形=4xy=2ab(2xa•yb)≤2ab(x2a2+y2b2)=2ab∈[3b2,4b2],
所以3b2≤2ab≤4b2,即12≤ba≤23,e2=c2a2=1-(ba)2∈[59,34],故e∈[53,32].
答案:[53,32]
三、解答题(本大题共5小题,共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分.求椭圆的标准方程及其离心率.
解:设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意知:2a=18,2a=6c,解得a=9,c=3,故b2=a2-c2=72,所以椭圆C的方程是x281+y272=1,离心率e=ca=39=13.
17.(本小题满分10分)k代表实数,讨论方程kx2+2y2-8=0所表示的曲线.
解:当k<0时,曲线y24-x2-8k=1为焦点在y轴上的双曲线;
当k=0时,曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y=2或y=-2;
当0<k<2时,曲线x28k+y24=1为焦点在x轴上的椭圆;
当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆;
当k>2时,曲线y24+x28k=1为焦点在y轴上的椭圆.
18.(本小题满分10分)已知直线l:y=x+t与椭圆C:x2+2y2=2交于A,B两点.
(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标;
(2)若|AB|=423,求t的值.
解:(1)因为x2+2y2=2,所以x22+y2=1,
所以a=2,b=1,所以c=1,
所以长轴为2a=22,焦点坐标分别为F1(-1,0),
F2(1,0).
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).
因为x2+2y2-2=0,y=x+t,消元化简得3x2+4tx+2t2-2=0,
所以Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,
所以|AB|=1+12|x1-x2|=2324-8t2,
又因为|AB|=423,
所以2324-8t2=423,解得t=±1.
19.(本小题满分12分)已知:双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别为F1、F2,动点P满足|PF1|+|PF2|=4.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若M是曲线E上的一个动点,求|MF2|的最小值.并说明理由.
解:(1)由题意知,F1(-3,0),F2(3,0),
且|PF1|+|PF2|=4>23,
所以P点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
且a=2,c=3,从而b=1.
所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1.
(2)设M(x,y),则|MF2|=(x-3)2+y2,
因为x24+y2=1,所以y2=1-x24,
所以|MF2|=34x2-23x+4=(32x-2)2=32x-2.
因为M∈E,所以x∈[-2,2],
所以|MF2|=2-32x,x∈[-2,2].
显然|MF2|在[-2,2]上为减函数,
所以|MF2|有最小值2-3.
20.(本小题满分13分)已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.
(1)求证:|MA|、|MC|、|MB|成等比数列;
(2)设=α,=β,试问α+β是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
解:(1)证明:设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),
联立方程y=kx+2,y2=4x,得k2x2+(4k-4)x+4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-2k,0),
则x1+x2=-4k-4k2,x1x2=4k2.①
|MA|•|MB|=[x21+(y1-2)2]•[x22+(y2-2)2]
=(1+k2)2x21x22=(1+k2)x1x2=4(1+k2)k2,
|MC|2=(-2k)2+(-2)2=4(1+k2)k2,
所以|MC|2=|MA|•|MB|,即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列.
(2)由=α,=β,得
(x1,y1-2)=α(-2k-x1,-y1),
(x2,y2-2)=β(-2k-x2,-y2),
即α=-kx1kx1+2,β=-kx2kx2+2,
则α+β=-2k2x1x2-2k(x1+x2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4.
将①代入得α+β=-1,故α+β为定值且定值为-1.

 


 

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