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2017-2018学年人教A版高中数学必修4阶段质量检测一三角函数(含答案)

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阶段质量检测(一)  三角函数

(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.y=sin x2是(  )
A.周期为4π的奇函数    B.周期为π2的奇函数
C.周期为π的偶函数   D.周期为2π的偶函数
解析:选A y=sin x2为奇函数,T=2π12=4π,故选A.
2.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是(  )
A.3   B.6
C.18   D.36
解析:选C ∵l=αr,∴6=1×r.
∴r=6.
∴S=12lr=12×6×6=18.
3.若-π2<α<0,则点P(tan α,cos α)位于(  )
A.第一象限   B.第二象限
C.第三象限   D.第四象限
解析:选B ∵-π2<α<0,
∴tan α<0,cos α>0,
∴点P(tan α,cos α)位于第二象限.
4.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin2α-sin αcos α的值是(  )
A.25   B.-25
C.-2   D.2
解析:选A 由sin α+3cos α3cos α-sin α=5,得12cos α=6sin α,
即tan α=2,所以sin2α-sin αcos α=sin2α-sin αcos αsin2α+cos2α=tan2α-tan αtan2α+1=25.
5.函数y=tanπ2-xx∈-π4,π4且x≠0的值域为(  )
A.[-1,1]  B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]  D.[-1,+∞)
解析:选B ∵x∈-π4,π4且x≠0,
∴π2-x∈π4,3π4且π2-x≠π2,
即π2-x∈π4,π2∪π2,3π4,
当π2-x∈π4,π2时,y≥1;
当π2-x∈π2,3π4时,y≤-1,
∴函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
6.将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式为(  )
A.y=sin 12x   B.y=sin12x-π2
C.y=sin12x-π6   D.y=sin2x-π6
解析:选C 将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即将x变为12x,即可得y=sin12x-π3,然后将其图象向左平移π3个单位,即将x变为x+π3.
∴y=sin12x+π3-π3=sin12x-π6.
7.设函数f(x)=sin2x+π3,则下列结论正确的是(  )
A.f(x)的图象关于直线x=π3对称
B.f(x)的图象关于点π4,0对称
C.把f(x)的图象向左平移π12个单位,得到一个偶函数的图象
D.f(x)的最小正周期为π,且在0,π6上为增函数
解析:选C 当x=π3时,2x+π3=π,f(x)=sin π=0,不合题意,A不正确;
当x=π4时,2x+π3=5π6,f(x)=sin5π6=12,B不正确;
把f(x)的图象向左平移π12个单位,得到函数y=sin2x+π12+π3=sin2x+π2=cos 2x,是偶函数,C正确;
当x=π12时,fπ12=sin π2=1,当x=π6时,fπ6=sin 2π3=32<1,在0,π6上f(x)不是增函数,D不正确.
8.中国最高的摩天轮是“南昌之星”,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为(  )
A.41米   B.43米
C.78米   D.118米
解析:选B 摩天轮转轴离地面高160-1562=82(米),ω=2πT=π15,摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h=82-78cos π15t,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h=82-78cosπ15t=82-78×12=43(米).
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中横线上)
9.已知sin(π-α)=-23,且α∈-π2,0,则tan(2π-α)=________.
解析:sin(π-α)=sin α=-23,
∵α∈-π2,0,
∴cos α=1-sin2α=53,
tan(2π-α)=-tan α=-sin αcos α=255.
答案:255
10.已知角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=________,sin θsin θ+cos θ=________.
解析:∵角θ的终边过(4,-3),
∴cos θ=45,sin θ=-35.
∴cos(π-θ)=-cos θ=-45.
sin θsin θ+cos θ=-35-35+45=-3.
答案:-45 -3
11.已知函数y=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的周期为T,在一个周期内的图象如图所示,则T=________,φ=________.
解析:由题图可知T=24π3+2π3=4π,
A=12(2+4)=3,B=-1.
∵T=4π,∴ω=12.
令12×4π3+φ=π2,得φ=-π6.
答案:4π -π6
12.函数f(x)=2cos4x+π3-1的最小正周期为________,fπ3=________.
解析:∵f(x)=2cos4x+π3-1,
∴其最小正周期为2π4=π2,
fπ3=2cos43π+π3-1=2cos2π-π3-1
=2cosπ3-1=2×12-1=0.
答案:π2 0
13.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为3,最小正周期是2π7,初相是π6,则这个函数的解析式为________________,单调减区间为________________.
解析:由题意,知A=3,ω=2πT=2π2π7=7,φ=π6,
∴y=3sin7x+π6,
由2kπ+π2≤7x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z.
得2k7π+π21≤x≤2k7π+421π,
∴这个函数的单调减区间为2k7π+π21,2k7π+421π,k∈Z.
答案:y=3sin7x+π6 2k7π+π21,2k7π+421π,k∈Z
14.已知函数y=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1和y=2所得的线段长分别为m,n,则m,n的大小关系是________.
解析:∵两条直线所截得的线段长都为y=tan ωx(ω>0)的最小正周期,∴m=n=πω.
答案:m=n
15.将函数f(x)=2sinωx-π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在-π6,π4上为增函数,则ω的最大值为______.
解析:根据题意得g(x)=2sin ωx,又y=g(x)在-π6,π4上为增函数,∴T4≥π4,即ω≤2,所以ω的最大值为2.
答案:2
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)已知cosπ2+θ=12,
求cos3π+θcos θ[cosπ+θ-1]+
cosθ-4πcosθ+2πcos3π+θ+cos-θ的值.
解:因为cosπ2+θ=-sin θ,所以sin θ=-12.
原式=-cos θcos θ-cos θ-1+cos θcos θ-cos θ+cos θ
=11+cos θ+11-cos θ=21-cos2θ=2sin2θ=8.
17.(本小题满分15分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
解:(1)∵x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴,
∴sin2×π8+φ=±1.
∴π4+φ=kπ+π2,k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-3π4.
(2)由(1)知φ=-3π4,
因此y=sin2x-3π4.
由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z.
∴kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z.
∴函数y=sin2x-3π4的单调增区间为
kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z.
18.(本小题满分15分)函数f(x)=3sin2x+π6的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值.
(2)求f(x)在区间-π2,-π12上的最大值和最小值.
 
解:(1)f(x)的最小正周期为π,x0=7π6,y0=3.
(2)因为x∈-π2,-π12,
所以2x+π6∈-5π6,0,
于是当2x+π6=0,即x=-π12时,f(x)取得最大值0;
当2x+π6=-π2,即x=-π3时,f(x)取得最小值-3.
19.(本小题满分15分)已知f(x)=3sin2x+π4-1.
(1)f(x)的图象是由y=sin x的图象如何变换而来?
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.
解:(1)将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sin x的图象,再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到函数y=3sin 2x的图象,再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度,得到函数y=3sin2x+π4的图象,再把所得函数的图象向下平移一个单位长度,得到函数f(x)=3sin2x+π4-1的图象.
(2)最小正周期T=π,由2x+π4=π2+kπ(k∈Z),
得对称轴方程为x=π8+kπ2(k∈Z).
当2x+π4=π2+2kπ(k∈Z),
即x=π8+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值2.
20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,-π2<φ<π2的一系列对应值如下表:
x -π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6

y -1 1 3 1 -1 1 3

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)的最小正周期为T,
得T=11π6--π6=2π,所以ω=1,
易知B>0,又B+A=3,B-A=-1,解得A=2,B=1.
令ω•5π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,
且-π2<φ<π2,得φ=-π3,
所以f(x)=2sinx-π3+1.
(2)因为函数f(kx)=2sinkx-π3+1的周期为2π3,
又k>0,所以k=3.
令t=3x-π3,因为x∈0,π3,所以t∈-π3,2π3,如图:
 
sin t=s在t∈-π3,2π3上有两个不同的解必须满足s∈32,1,所以方程y=f(kx)(k>0)在x∈0,π3时恰好有两个不同的解必须满足m∈[3+1,3),即实数m的取值范围是[3+1,3).

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