欢迎进入莲山课件网—有价值的教学资料
您现在的位置:  主站  >> 考试试题 >> 中学数学 >> 高二下册 >> 单元测验 

2017-2018学年人教A版高中数学必修4阶段质量检测(三)三角恒等变换(带答案)

【www.5ykj.com - 莲山课件】

阶段质量检测(三)  三角恒等变换
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知α是第二象限角,且cos α=-35,则cosπ4-α的值是(  )
A.210   B.-210
C.7210   D.-7210
解析:选A 由题意,sin α=45,
所以cosπ4-α=cosπ4cos α+sinπ4sin α=210.
2.函数f(x)=sin x-cosx+π6的值域为(  )
A.[-2,2]   B.-3,3
C.[-1,1]   D.-32,32
解析:选B f(x)=sin x-cos xcos π6-sin xsin π6
=sin x-32cos x+12sin x
=332sin x-12cos x
=3sinx-π6,
∵x∈R,∴x-π6∈R,
∴f(x)∈-3,3.
3.设a=22(sin 17°+cos 17°),b=2cos213°-1,c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin 23°,则(  )
A.c<a<b   B.b<c<a
C.a<b<c   D.b<a<c
解析:选A a=cos 45°sin 17°+sin 45°cos 17°
=sin(17°+45°)=sin 62°,
b=cos 26°=sin 64°,
c=sin 37°cos 23°+cos 37°sin 23°=sin(37°+23°)
=sin 60°,
故c<a<b.
4.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=45,且β是第三象限角,则cosβ2的值等于(  )
A.±55           B.±255
C.-55   D.-255
解析:选A 由已知,得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=45,
故sin β=-45.
∵β在第三象限,∴cos β=-35.
∴cosβ2=± 1+cos β2=±15=±55.
5.化简:tanπ4+α•cos 2α2cos2π4-α的值为(  )
A.-2   B.2
C.-1   D.1
解析:选D tanπ4+α•cos 2α2cos2π4-α
=sinπ4+α•cos 2α2sin2α+π4cosπ4+α
=cos 2α2sinπ4+αcosα+π4
=cos 2αsin 2π4+α=cos 2αsinπ2+2α=cos 2αcos 2α=1.
6.在△ABC中,已知tanA+B2=sin C,则△ABC的形状为(  )
A.正三角形   B.等腰三角形
C.直角三角形   D.等腰直角三角形
解析:选C 在△ABC中,tanA+B2=sin C=sin(A+B)=2sinA+B2cosA+B2,∴2cos2A+B2=1,∴cos(A+B)=0,从而A+B=π2,即△ABC为直角三角形.
7.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为tan α,tan β,且α,β∈-π2,π2,则tanα+β2的值为(  )
A.-2   B.12
C.43   D.12或-2
解析:选A 根据题意得tan α+tan β=-4a,tan α•tan β=3a+1,∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-4a-3a=43.
又∵a>1,∴tan α+tan β<0,tan αtan β>0,
∴tan α<0,tan β<0.
又∵α,β∈-π2,π2,∴α,β∈-π2,0,
∴-π2<α+β2<0,∴tanα+β2<0,
由tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2得
2tan2α+β2+3tanα+β2-2=0,
∴tanα+β2=-2tanα+β2=12舍去.
8.已知0<β<α<π2,点P(1,43)为角α的终边上一点,且sin αsinπ2-β+cos αcosπ2+β=3314,则角β=(  )
A.π12   B.π6
C.π4   D.π3
解析:选D ∵P(1,43),∴|OP|=7,
∴sin α=437,cos α=17.
又sin αcos β-cos αsin β=3314,∴sin(α-β)=3314.
∵0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,
∴cos(α-β)=1314,∴sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=437×1314-17×3314=32.
∵0<β<π2,∴β=π3.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中横线上)
9.若tanα+π4=3+22,则1-cos 2αsin 2α=________.
解析:由tanα+π4=1+tan α1-tan α=3+22,得tan α=22,∴1-cos 2αsin 2α=2sin2α2sin αcos α=tan α=22.
答案:22
10.3tan 12°-34cos212°-2sin 12°=________.
解析:原式=3• sin 12°cos 12°-322cos212°-1sin 12°
=2312sin 12°-32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°=23sin-48°2cos 24°sin 12°cos 12°
=-23sin 48°sin 24°cos 24°=-23sin 48°12sin 48°=-43.
答案:-43
11.式子“cos(  )(1+3tan 10°)=1”,在括号里填上一个锐角,使得此式成立,则所填锐角为________.
解析:设cos α•(1+3tan 10°)=1,则cos α=11+3tan 10°=cos 10°cos 10°+3sin 10°=cos 10°2sin 40°
=sin 80°2sin 40°=cos 40°.
又α为锐角,故α=40°.
答案:40°
12.已知f(x)=3sin x-cos x,则fx2的最小正周期为________;若f(x)=23,则cos2π3+2x=________.
解析:∵f(x)=3sin x-cos x=2sinx-π6,
∴fx2=2sin 12x-π6,∴最小正周期T=4π.
由f(x)=23,得sinx-π6=13,
则cos2π3+2x=-cosπ3-2x=
-cos2x-π6=-1-2sin2x-π6
=-1-2×132
=-79.
答案:4π -79
13.已知cosπ-2αsinα-π4=-22(0<α<π),则sin α+cos α=________,cos 2α=________.
解析:由cosπ-2αsinα-π4=-22,得cos 2α=12(sin α-cos α),且sin α-cos α≠0,则cos α+sin α=-12,
∴sin 2α=-34<0.
∵0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,
∴cos α-sin α
=-1-sin 2α=-72.
∴cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=74.
答案:-12 74
14.若sin α+2cos α=-25(0<α<π),则tan α=________;cos2α+π4=________.
解析:由sin α+2cos α=-25(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sin α=45,cos α=-35,所以tan α=-43.sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=cos2α-sin2α=-725,所以cos2α+π4=cos 2αcos π4-sin 2αsinπ4=17250.
答案:-43 17250
15.函数f(x)=sin x+cos x的单调增区间为________,已知sin α=35,且α∈0,π2,则fα-π12=________.
解析:f(x)=sin x+cos x=2sinx+π4,
当2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
即2kπ-3π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z时,
函数f(x)单调递增,
所以f(x)的递增区间是2kπ-3π4,2kπ+π4,k∈Z.
因为sin α=35,α∈0,π2,所以cos α=45,
所以fα-π12=2sinα-π12+π4=
2sinα+π6=62sin α+22cos α
=62×35+22×45
=36+4210.
答案:2kπ-3π4,2kπ+π4,k∈Z 36+4210
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)已知0<α<π2,sin α=45.
(1)求sin2α+sin 2αcos2α+cos 2α的值;
(2)求tanα-5π4的值.
解:(1)由0<α<π2,sin α=45,得cos α=35,
∴sin2α+sin 2αcos2α+cos 2α=sin2α+2sin αcos α3cos2α-1
=452+2×45×353×352-1=20.
(2)∵tan α=sin αcos α=43,
∴tanα-5π4=tan α-11+tan α=43-11+43=17.
17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=3cos ωx,g(x)=sinωx-π3(ω>0),且g(x)的最小正周期为π.
(1)若f(α)=62,α∈[-π,π],求α的值.
(2)求函数y=f(x)+g(x)的单调递增区间.
解:(1)因为g(x)=sinωx-π3(ω>0)的最小正周期为π,
所以2πω=π,解得ω=2.
由f(α)=62,得3cos 2α=62,
即cos 2α=22,
所以2α=2kπ±π4,k∈Z.
因为α∈[-π,π],
所以α∈-7π8,-π8,π8,7π8.
(2)函数y=f(x)+g(x)
=3cos 2x+sin2x-π3
=3cos 2x+sin 2xcosπ3-cos 2xsinπ3
=12sin 2x+32cos 2x
=sin2x+π3,
由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z.
解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z.
所以函数y=f(x)+g(x)的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).
18.(本小题满分15分)已知cosx-π4=210,x∈π2,3π4.
(1)求sin x的值;
(2)求sin2x+π3的值.
解:(1)因为x∈π2,3π4,所以x-π4∈π4,π2.
于是sinx-π4= 1-cos2x-π4=7210,
sin x=sinx-π4+π4
=sinx-π4cosπ4+cosx-π4sinπ4
=7210×22+210×22=45.
(2)因为x∈π2,3π4,
故cos x=-1-sin2x=- 1-452=-35.
sin 2x=2sin xcos x=-2425,cos 2x=2cos2x-1=-725.
所以sin2x+π3=sin 2xcosπ3+cos 2xsinπ3
=-24+7350.
19.(本小题满分15分)已知cosα-β2=-277,sinα2-β=12且α∈π2,π,β∈0,π2.
求:(1)cosα+β2;
(2)tan(α+β).
解:(1)∵π2<α<π,0<β<π2,
∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2.
∴sinα-β2= 1-cos2α-β2=217,
cosα2-β= 1-sin2α2-β=32.
∴cosα+β2=cosα-β2-α2-β
=cosα-β2cosα2-β+sinα-β2sinα2-β
=-277×32+217×12
=-2114.
(2)∵π4<α+β2<3π4,
∴sinα+β2= 1-cos2α+β2=5714.
∴tanα+β2=sinα+β2cosα+β2=-533.
∴tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=5311.
20.(本小题满分15分)已知f(x)=sin x+2sinπ4+x2•cosπ4+x2.
(1)若f(α)=22,α∈-π2,0,求α的值;
(2)若sinx2=45,x∈π2,π,求f(x)的值.
解:f(x)=sin x+2sinπ4+x2cosπ4+x2
=sin x+sinx+π2=sin x+cos x=2sinx+π4.
(1)由f(α)=22,得2sinα+π4=22,
∴sinα+π4=12.
∵α∈-π2,0,∴α+π4∈-π4,π4.
∴α+π4=π6,∴α=-π12.
(2)∵x∈π2,π,∴x2∈π4,π2.
又∵sinx2=45,∴cosx2=35.
∴sin x=2sinx2cosx2=2425,
cos x=-1-sin2x=-725.
∴f(x)=sin x+cos x=2425-725=1725.
相关标签: 三角恒等变换
版权声明:以上文章中所选用的图片及文字来源于网络以及用户投稿,由于未联系到知识产权人或未发现有关知识产权的登记,如有知识产权人并不愿意我们使用,如果有侵权请立即联系:[email protected],我们立即下架或删除。
相关内容
热门内容