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2017-2018学年人教A版高中数学必修4阶段质量检测(二) 平面向量(有答案)

阶段质量检测(二)  平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于(  )
A.5            B.13
C.17   D.13
解析:选B 因为a+b=(3,2),所以|a+b|=32+22=13,故选B.
2.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(  )
A.-4   B.-3
C.-2   D.-1
解析:选B 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)•(m-n)=(2λ+3,3)•(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
3.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且 =2 -3 ,则点D的坐标为(  )
A.(2,16)   B.(-2,-16)
C.(4,16)   D.(2,0)
解析:选A 设D(x,y),由题意可知 =(x+1,y-2), =(3,1), =
(1,-4),
∴2 -3 =2(3,1)-3(1,-4)=(3,14).
∴x+1=3,y-2=14,∴x=2,y=16.故选A.
4.某人在静水中游泳,速度为43 km/h,水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进,那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(  )
A.90 °   B.30°
C.45°   D.60°
解析: 选D 如图,用 表示水速, 表示某人垂直游向对岸的速度,则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是tan∠AOC=| ||  |=| ||  |=|v静||v水|=3,
∴∠AOC=60°,故选D.
5.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且 =2 , =2 , =2 ,则 + + 与  (  )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
解析:选A ∵ + + =( + )+( + )+( + )
=13 +13 + +13  
=13 +13 +13 + =-13 ,
∴( + + )与 平行且方向相反.
6.设a,b是两个非零向量(  )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则a+b=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
解析:选C 若|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb,故C正确;选项A:当|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由矩形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得b=λa,a,b可为同向的共线向量,此时显然 |a+b|=|a|-|b|不成立.
7.已知平面上直线l与e所在直线平行且e=-45,35,点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O′和A′,则  =λe,其中λ等于(  )
A.115  B.-115
C.2  D.-2
解析:选D 由题意可知| |=| |cos(π-θ)(θ为 与e的夹角).
∵O(0,0),A(1,-2),∴ =(1,-2).
∵e=-45,35,∴ •e=1×-45+(-2)×35=-2=| |•|e|•cos θ,∴| |•cos θ=-2.
又∵| |=|λ|•|e|,∴λ=±2.
又由已知可得λ<0,∴λ=-2,故选D.
8.在△ABC中,有下列四个命题:
① - = ;
② + + =0;
③若( + )•( - )=0,则△ABC为等腰三角形;
④若 • >0,则△ABC为锐角三角形.
其中正确的命题有(  )
A.①②  B.①④
C.②③  D.②③④
解析:选C ∵ - = =- ≠ ,∴①错误. + + = + = - =0,∴②正确.由( + )•( - )= - =0,得| |=| |,∴△ABC为等腰三角形,③正确. • >0⇒cos〈 , 〉>0,即cos A>0,∴A为锐角,但不能确定B,C的大小,∴不能判定△ABC是否为锐角三角形,∴④错误,故选C.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中横线上)
9.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
解析:|5a-b|=|5a-b|2=5a-b2
=25a2+b2-10a•b
= 25+9-10×1×3×-12
=7.
答案:7
10.在△ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x=________,y=________.
解析:∵ =2 ,∴ =23 .
∵ = ,∴ =12( + ),
∴ =  - =12( + )-23
=12 -16 .
又 =x +y ,
∴x=12,y=-16.
答案:12 -16
11.已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且c•a=c•b=-1,则|c|=________,|a-2b+3c|=________.
解析:不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则c•a=x=-1,c•b=y=-1,所以c=(-1,-1),|c|=2.所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|=-22+-52=29.
答案:2 29
12.若向量a与b满足|a|=2,|b|=2,(a-b)⊥a.则向量a与b的夹角等于________,|a+b|=________.
解析:因为(a-b)⊥a,所以(a-b)•a=a2-a•b=0,所以a•b=2,所以cos〈a,b〉=a•b|a||b|=22×2=22,所以〈a,b〉=π4.因为|a+b|2=a2+2a•b+b2=2+2×2+4=10,所以|a+b|=10.
答案:π4 10
13.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acos θ-bsin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1•e2=32,则向量f(e1,e2)的模为________,向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为________.
解析:∵e1•e2=32,且e1,e2均为单位向量,∴向量e1与e2的夹角为30°,
∴f(e1,e2)=e1cos 30°-e2sin 30°=32e1-12e2,
∴|f(e1,e2)|= 32e1-12e22
= 34e21-32e1•e2+14e22=12.
∵向量e1与e2的夹角为30°,∴向量e2与-e1的夹角为150°,
∴f(e2,-e1)=e2cos 150°+e1sin 150°=12e1-32e2,
∴f(e1,e2)•f(e2,-e1)=32e1-12e2•12e1-32e2=34e21-e1•e2+34e22=0,
故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2.
答案:12 π2
14.已知向量 与 的夹角为120 °,且| |=3,| |=2.若 =λ + ,且 ⊥ ,则实数λ的值为________.
解析: = - ,由于 ⊥ ,所以 • =0,即(λ + )•( - )=-λ 2+ 2+(λ-1)• • =-9λ+4+(λ-1)×3×2×-12=0,解得λ=712.
答案:712
15.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点, =λ , =(1-λ) ,则 • 的取值范围是________.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,1),C(1,1).设Q(m,n),由 =λ 得,(m,n-1)=λ(1,0),即m=λ,n=1.又B(2,0),设P(s,t),由 =(1-λ) 得,(s-1,t-1)=(1-λ)(1,-1),即s=2-λ,t=λ,所以 • =λ(2-λ)+λ=-λ2+3λ,λ∈[0,1].故 • ∈[0,2].
答案:[0,2]
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)平面内有向量 =(1,7), =(5,1), =(2,1),点M为直线OP上的一动点.
(1)当 • 取最小值时,求 的坐标;
(2)在(1)的条件下,求cos∠AMB的值.
解:(1)设 =(x,y),∵点M在直线OP上,
∴向量 与 共线,又 =(2,1).
∴x×1-y×2=0,即x=2y.
∴ =(2y,y).又  = - , =(1,7),
∴ =(1-2y,7-y).
同理 = - =(5-2y,1-y).
于是 • =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12.
可知当y=202×5=2时, • 有最小值-8,此时 =(4,2).
(2)当 =(4,2),即y=2时,
有 =(-3,5), =(1,-1),
| |=34,| |=2,
 • =(-3)×1+5×(-1)=-8.
cos∠AMB= • | ||  |=-834×2=-41717.
17.(本小题满分15分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2 + =0,
(1)用 , 表示 .
(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.
解:(1)因为2  + =0,
所以2( - )+( - )=0,
2 -2 + - =0,
所以 =2 - .
(2)证明:如图,
 = + =-12 +
=12(2 - ).
故 =12 .即DA∥OC,且DA≠OC,故四边形OCAD为梯形.
18.(本小题满分15分)
如图,平行四边形ABCD中, =a, =b,H,M分别是AD,DC的中点,F使BF=13BC.
(1)以a,b为基底表示向量 与 ;
(2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求 • .
解:(1)连接AF,由已知得 = +DM―→=12a+b.
∵ = + =a+13b,
∴ =HA―→+ =-12b+a+13b=a-16b.
(2)由已知得a•b=|a||b|cos 120°=3×4×-12
=-6,
从而 •
=12a+b•a-16b
=12|a|2+1112a•b-16|b|2
=12×32+1112×(-6)-16×42=-113.
19.(本小题满分15分)在△ABC中, • =0,| |=12,| |=15,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求 • 的值;
(2)判断 • 的值是否为一个常数,并说明理由.
解:(1)∵ • =0,∴AB⊥AC.
又| |=12,| |=15,∴| |=9.
由已知可得 =12( + ), = - ,
∴ • =12( + )•( - )
=12( - )
=12(144-81)=632.
(2) • 的值为一个常数.
理由:∵l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点,∴ • =0.
故 • =( + )• = • + • = • =632.
20.(本小题满分15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),且点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t),θ∈0,π2.
(1)若 ⊥a,且| |=5| |,求向量 ;
(2)若向量 与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求 • .
解:(1)因为 =(n-8,t),且 ⊥a,
所以8-n+2t=0,即n=8+2t.
又| |=5| |,
所以5×64=(n-8)2+t2=5t2,解得t=±8.
所以 =(24,8)或(-8,-8).
(2)因为 =(ksin θ-8,t), 与a共线,
所以t=-2ksin θ+16.
又tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ
=-2ksin θ-4k2+32k,
当k>4时,1>4k>0,
所以当sin θ=4k时,tsin θ取得最大值32k;
由32k=4,得k=8,此时θ=π6,故 =(4,8),
所以 • =8×4+8×0=32.

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