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2017年高中数学选修4-4全册配套试卷(人教A版共14份附答案)

单元质量评估(二)
第二讲
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(3,b)在曲线 (t为参数)上,则b的值为 (  )
A.-5     B.3
C.-5或3    D.-2或3
【解析】选C.把点P(3,b)代入 得
 则
2.方程 (t为参数)表示的曲线是 (  )
A.双曲线     B.双曲线的上支
C.双曲线的下支   D.圆
【解析】选B.把参数方程化为普通方程,再判断表示的曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t的项:
x2-y2= - =-4,即y2-x2=4.
由于2t>0,2t+2-t≥2 =2,
即y≥2.所以y2-x2=4(y≥2).
它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支.
3.已知点P(x,y)在曲线C: (θ为参数)上,则x-2y的最大值为 
(  )
A.2   B.-2   C.1+    D.1-
【解题指南】利用曲线C的参数方程把x-2y转化为关于θ的函数,再求其最大值.
【解析】选C.由题意,得
所以x-2y=1+cosθ-2sinθ
=1-(2sinθ-cosθ)=1-
=1- sin(θ-φ) ,
所以x-2y的最大值为1+ .
4.(2016•合肥高二检测)若圆的方程为 (θ为参数),直线的方程为 (t为参数),则直线与圆的位置关系是 (  )
A.相交过圆心   B.相交且不过圆心
C.相切     D.相离
【解析】选B.圆 (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-3)2=4,直线 (t为参数)的普通方程为3x-y+2=0,圆心(-1,3)到直线的距离为d= = <r=2,则直线与圆的位置关系是相交且不过圆心.
5.直线 (t为参数)的倾斜角为α,则cosα= (  )
A.     B.-     C.-     D.-
【解题指南】求出直线的斜率,得到直线的倾斜角的正切值,最后利用同角三角函数的基本关系式解方程即得.
【解析】选B.因为k= = =-2.
所以tanα=-2,sinα=-2cosα,
又sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,
因为α∈ ,所以cosα=- .
【补偿训练】直线l1: (t为参数),如果α为锐角,那么直线l1与直线l2:x+1=0的夹角是 (  )
A. -α         B. +α
C.α       D.π-α
【解析】选A.直线l1可化为y-2=-tanα(x-1),l2的倾斜角为 ,l1的倾斜角为π-α,故l1与l2的夹角为 -α.
6.曲线 (φ为参数)的极坐标方程为 (  )
A.ρ=sinθ     B.ρ=sin2θ
C.ρ=2sinθ     D.ρ=2cosθ
【解析】选C.曲线 (φ为参数)的普通方程为x2+(y-1)2=1,即x2+y2=2y.化为极坐标方程为ρ=2sinθ.
7.直线l的参数方程为 (t为参数)l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是 (  )
A.|t1|    B.2|t1|   C. |t1|    D. |t1|
【解题指南】把直线的参数方程化为标准形式,利用标准形式中参数t的几何意义求解.
【解析】选C.直线l的参数方程为
 (t为参数)
令 t=t′,化为标准形式为 (t′为参数)点P1对应的参数是 t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是 |t1|.
8.(2016•衡水高二检测)设P 是曲线C: (θ为参数,且0≤θ<2π)上的任意一点,则 的取值范围是 (  )
A.
B. ∪
C.
D. ∪
【解析】选C.曲线C: (θ为参数,0≤θ<2π)的普通方程为: +y2=1,P 是曲线C: +y2=1上任意一点,则 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,可得 ∈ .
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2016•西安高二检测)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-2y=0的参数方程为________.
 
【解题指南】将直线的方程代入圆的方程求y,化为参数方程.
【解析】将直线y=tanθx代入x2+y2-2y=0,
得(1+tan2θ)x2-2tanθx=0,
解得x=2sinθcosθ,
所以y=tanθx=2sin2θ,
所以圆x2+y2-2y=0的参数方程为
答案: (θ为参数)
10.(2016•宜昌高二检测)已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0与曲线 (θ为参数)有且仅有一个公共点,则正实数a的值为________.
【解析】直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的直角坐标方程为3x+4y+a=0,曲线 (θ为参数)的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,因为直线与圆有且仅有一个公共点,则d= =1,解得a=2或a=-8,所以正实数a的值为2.
答案:2
11.已知一条直线的参数方程是 (t为参数)另一条直线的方程为x-y-2 =0,则两条直线的交点与点(1,-5)间的距离为__________.
【解析】把直线 (t为参数)代入另一条直线的方程x-y-2 =0,
得1+ t- -2 =0,
解得t=4 ,
所以两条直线的交点为(1+2 ,1),
交点到点(1,-5)的距离为
 =4 .
答案:4
12.(2016•衡水高二检测改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ,曲线C3的极坐标方程为θ= .曲线C3与曲线C1交于点O,A,曲线C3与曲线C2交于点O,B,则|AB|=________.
【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1.
即x2+y2-2x=0,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2-2ρcosθ=0,
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(2)设点A的极坐标为 ,
点B的极坐标为 ,
则ρ1=2cos = ,ρ2=sin +cos = + .
所以|AB|=|ρ1-ρ2|= .
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)求直线 (t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长.
【解析】把直线的参数方程化为标准参数方程
 (b为参数)
代入x2-y2=1,得: - =1,
整理,得:b2-4b-6=0,
设其二根为b1,b2,则b1+b2=4,b1•b2=-6,
弦长为|AB|=|b1-b2|=
= = =2 .
14.(10分)(2016•抚顺高三检测)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为 .若直线l过点P,且倾斜角为 ,圆C以M为圆心、4为半径.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.
(2)试判定直线l和圆C的位置关系.
【解析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.
(2)因为M 对应的直角坐标为(0,4),
直线l化为普通方程为 x-y-5- =0,
圆心到l的距离d= = >4,
所以直线l与圆C相离.
15.(10分)(2016•衡水高二检测)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin = a,
曲线C2的参数方程为 (α为参数,0≤α≤π).
(1)求C1的直角坐标方程.
(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数a的取值范围.
【解析】(1)曲线C1的极坐标方程为
ρ = a,
所以曲线C1的直角坐标方程为x+y-a=0.
 
(2)曲线C2的直角坐标方程为
(x+1)2+(y+1)2=1(-1≤y≤0),为半圆弧,
如图所示,曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线,
当直线C1过点P时,
利用 =1得a=-2+ 或a=-2- (舍去),
当直线C1过点A,B两点时,a=-1,
所以由图可知,当-1≤a<-2+ 时,曲线C1与曲线C2有两个公共点.
16.(10分)已知直线y=kx(k>0)交抛物线y=x2-2x+2于P1,P2两点(可以重合),O为原点,点M在线段P1P2上,且满足 + = ,求点M的轨迹方程.
【解析】设直线y=kx(k>0)的参数方程为 ,代入抛物线y=x2-2x+2,整理,得t2cos2θ-(2cosθ+sinθ)t+2=0,
所以t1+t2= ,t1t2= .
设M点对应的参数为t,由题意,得
 = + = = ,
即2tcosθ+tsinθ=4.
所以2x+y=4,代入y=x2-2x+2,消去y得
x2=2,所以x=± ,
所以动点M的轨迹方程为2x+y=4(0<x≤ ).
17.(10分)(2016•营口高三检测)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点,直线l: (参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)求直线l与曲线C的普通方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求证: • =0.
【解题指南】(1)消去参数求直线l的普通方程,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得曲线C的直角坐标方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y得x2-12x+16=0,再由根与系数的关系进行求解.
【解析】(1)∵直线l: (参数t∈R),
所以x=y+4,所以直线l:y=x-4,
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ=4ρcosθ.
即曲线C:y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y得x2-12x+16=0,所以x1+x2=12,x1x2=16,
所以y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16,
所以 • =x1x2+y1y2=2x1x2-4(x1+x2)+16=0.
18.(10分)(2016•唐山高二检测)已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0(ρ≥0),直线l的参数方程为 (t为参数,0°≤α<180°).
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程.
(2)若直线l与曲线C有且只有一个交点,求α的值.
【解析】(1)将极坐标与直角坐标互化公式 及ρ2=x2+y2,代入
ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得x2+4x-x2-y2=0,
因而曲线C的直角坐标方程为y2=4x,
当α=90°时,直线l的普通方程为x=0,y∈R,
当α≠90°时,消去参数t,
得直线l的普通方程为y=x•tanα+1.
(2)由已知,直线l过定点(0,1),
将直线l的参数方程 代入到y2=4x,
得t2sin2α+2t(sinα-2cosα)+1=0,
由已知得Δ=4(sinα-2cosα)2-4sin2α=0,
即16cosα(cosα-sinα)=0,
所以cosα=0或cosα=sinα,则α=90°或α=45°,
又当α=0°时直线l化为y=1,x∈R,此时与曲线C也只有一个交点,所求α的值为0°或45°或90°.

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