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空间向量与立体几何期末复习题(含解析新人教A版选修2-1)

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时间:2014-06-15

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空间向量与立体几何期末复习题(含解析新人教A版选修2-1)

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空间向量与立体几何期末复习题(含解析新人教A版选修2-1)(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则 (  ).A.x=1,y=1 B.x=,y=-C.x=,y=- D.x=-,y=解析 ∵a=(2x,1,3)与b=(1,-2y,9)共线,故有==,∴x=,y=-.答案 C2.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于 (  ).A.-15 B.-5 C.-3 D.-1解析 a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),∴5a·3b=15a·b=-15.答案 A3.已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·(λa-b)=0,则λ等于 (  ).A. B.- C.± D.1解析 由a·b=0及(3a+2b)·(λa-b)=0,得3λa2=2b2,又|a|=2,|b|=3,所以λ=,故选A.答案 A4.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成一个基底的一组向量是 (  ).A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c解析 不共面的三个向量才可以构成基底,A中,a+2b=(2a)+(-2)(a-b),三个向量共面:B中,b+2a=(2b)+(-2)(b-a),三个向量共面;D中,a+c=2c+(a-c),三7个向量共面;只有C中的三个向量不共面.答案 C5.空间直角坐标系中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 (  ).A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定解析 ∵=(-2,-2,2),=(1,1,-1),又∵=-2∴∥,即AB∥CD.答案 A6.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则下列结论正确的是 (  ).A.a·b=b·c B.|a|=|b+c|C.|a+b-2c|=5 D.a+c=b解析 对于A:a·b=2×2-3×0+1×3=7,b·c=2×0+0×0+3×2=6故A错.对于B:|a|==,|b+c|==,故B错.对于C:a+b-2c=(4,-3,0).∴|a+b-2c|=5.故C正确.答案 C7.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是 (  ).A. B.4 C.3 D.2解析 如图所示,以BC边上的垂线为y轴,建立空间直角坐标系,则PD的长即为所求,由A(0,0,0),P(0,0,8),D(0,4,0),则||==4.答案 B8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是(  ).A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BD7C.AC1⊥平面CB1D1D.向量与的夹角为60°解析 以D为原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).=(-1,-1,0),=(-1,1,1),=(0,-1,1),=(-1,-1,0),=(1,0,1).对于选项A.由=知结论正确;对于选项B,由·=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0知结论正确;对于选项C,由选项B,再由·=(-1,1,1)·(-1,0,-1)=0知结论正确;对于选项D,由cos〈,〉==-,知结论不正确.答案 D9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,P是A1B1的中点,则直线PQ与AM所成的角为 (  ).A. B. C. D.解析 以A为坐标原点,AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=AB=AC=2,则=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),=(0,-1,2),所以·=0,所以QP与AM所成角为.答案 D10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为 (  ).A.(,,) B.(,,)C.(,,) D.(,,)7解析 设Q(x,y,z),因Q在上,故有∥,可得:x=λ,y=λ,z=2λ,则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-,故当λ=时,·取最小值,此时Q(,,),故选C.答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________.解析 因为a-2b=(8,-5,13,),所以|a-2b|==.答案 12.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,1,1)是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________.解析 ·e=(x,y,z)·(1,1,1)=x+y+z=0.答案 x+y+z=013.设a,b是直线,α,β是平面,a⊥α,b⊥β,向量a1在a上,向量b1在b上,a1=(1,1,1),b1=(-3,4,0),则α,β所成二面角中较小的一个的余弦值为________.解析 由题意,cos θ=|cos〈a1,b1〉|===.答案 14.已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和D(-5,-4,8),则顶点D到平面ABC的距离为______.解析 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)则即∴⇒令x=1,则n=(1,2,-),=(-7,-7,7),7故所求距离为==11.答案 11三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).求证:四边形ABCD是一个梯形.证明 因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),因为==,所以和共线,即AB∥CD.又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),因为≠≠,所以与不平行,所以四边形ABCD为梯形.16.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)证明:AC⊥BC1;(2)求二面角C1­AB­C的余弦值大小.解 直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,故AC, BC,CC1两两垂直,建立空间直角坐标系(如图),则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4). (1)证明 =(-3,0,0),=(0,-4,4),∴·=0.故AC⊥BC1.(2)平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),设平面C1AB的一 个法向量为n=(x,y,z),=(-3,0,4),=(-3,4,0),7由得令x=4,则y=3,z=3.n=(4,3,3),故cos〈m,n〉==.即二面角C1-AB-C的余弦值为.17.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求a和b的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.解 a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).(1)cos θ===-,∴a与b的夹角θ的余弦值为-.(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0.即2k2+k-10=0,∴k=-或k=2.18.(12分)如图,M,N分别是空间四边形ABCD的棱AB,CD的中点,试判断向量与向量,是否共面.解 根据图形可以得到=++,①=++.②由已知得=-,=-.所以①+②得2=+,即=+.7故向量与向量,共面.19.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离. (1)证明 如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1), A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G(,1,0).∴=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2),∴·=0+0+0=0,·=0+4-4=0.∴B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.(2)证明 ∵=(-a,0,0),=(0,2,-2),=(-,0,0),=(0,1,-1),∴∥,∥,∴GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面EGF∥平面ABD.(3)解 由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离由(1)(2)知平面EGF的法向量为=(0,2,2),又=(0,2,1),∴所求距离d==.7

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