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圆锥曲线与方程期末复习题(带详解新人教A版选修2-1)

ID:134102

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时间:2014-06-15

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圆锥曲线与方程期末复习题(带详解新人教A版选修2-1)

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圆锥曲线与方程期末复习题(带详解新人教A版选修2-1)(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y=4x2的焦点坐标是 (  ).A.(0,1) B.(1,0)C.(0,) D.(,0)解析 将抛物线方程变为x2=2×y,知p=,又焦点在y轴上,且开口向上,所以它的焦点坐标为(0,).答案 C2.已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则点P到另一焦点的距离为(  ).A.2 B.3 C.5 D.7解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-3=7.选D.答案 D3.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 (  ).A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),所以所求圆的圆心为(1,0),又圆过原点,所以圆的半径r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,故选D.答案 D4.以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是 (  ).A.-=1B.-=1C.-=1或-=1D.以上都不对解析 当顶点为(±4,0)时,a=4,8c=8,b=4,-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3, -=1.答案 C5.已知椭圆与双曲线-=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为 (  ).A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析 双曲线-=1中a12=3,b12=2,则c1==,故焦点坐标为(-,0),(,0),故所求椭圆+=1(a>b>0)的c=,又椭圆的离心率e==,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为+=1.答案 B6.已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为 (  ).A.10 B.20 C.2 D.4解析 |AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|B F2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.答案 D7.双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 (  ).A.2 B. C. D.解析 双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,依题意·(-) =-1,故=1,所以=1即e2=2,所以双曲线的离心率e=.故选C.答案 C8.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤αA.(π,π) B.(,π)C.(,π) D.(,π)解析 椭圆方程化为+=1.∵椭圆焦点在y轴上,∴->>0.又∵0≤α解析 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,c=3,根据已知得=2,即=2,解得b=2,得a2=c2-b2=5,故所求的双曲线方程是-=1.答案 A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.)11.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=________.解析 ∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),由两点间距离公式,得=5.解得p=4.答案 412.若椭圆x2+my2=1的离心率为,则它的长半轴长为________.解析 当00,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.解析 由题意知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,因此所求双曲线的方程是-=1.答案 -=114.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.8解析 由题意知PF2⊥F1F2,且△F1PF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=·2c,从而2a=|PF1|+|PF2|=2c(+1),所以e===-1.答案 -1三、解答题(本大题共5小题,共54分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.(10分)双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.解 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由椭圆+=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),∴对于双曲线C:c=2.又y=x为双曲线C的一条渐近线,∴=,解得a2=1,b2=3,∴双曲线C的方程为x2-=1.16.(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5)、F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.解 由共同的焦点F1(0,-5)、F2(0,5),可设椭圆方程为+=1;双曲线方程为-=1,点P(3,4)在椭圆上,+=1,a2=40,双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,b2=16.所以椭圆方程为+=1;双曲线方程为-=1.17.(10分)已知抛物线y2=2x,直线l过点(0,2)与抛物线交于M,N两点,以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O,求直线l的方程.8解 由题意知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx+2(k≠0),解方程组消去x得ky2-2y+4=0,Δ=4-16k>0⇒kb>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程;(2)求△CDF2的面积.解 (1)易得椭圆方程为+y2=1.(2)∵F1(-1,0),∴直线BF1的方程为y=-2x-2,由得9x2+16x+6=0.∵Δ=162-4×9×6=40>0,所以直线与椭圆有两个公共点,8设为C(x1,y1),D(x2,y2),则∴|CD|=|x1-x2|=·=·=,又点F2到直线BF1的距离d=,故S△CDF2=|CD|·d=.19.(12分)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,(1)求m的值;(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P的坐标.解 (1)由得4x2+4(m-1)x+m2=0由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1·x2=,|AB|===.由|AB|=3,即=3⇒m=-4.(2)设P(a,0),P到直线AB的距离为d,则d==,又S△ABP=|AB|·d,则d=,8=⇒|a-2|=3⇒a=5或a=-1,故点P的坐标为(5,0)和(-1,0).8

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