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高二下册数学复习联考试卷(安徽十大名校附答案)

安徽省十大名校联合考试高二数学试卷
太和二中赵玉苗整理发布
一.选择题
1. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为      
(A)                  (B)                  (C)                  (D)

2. 抛物线C1:y=   x2(p>0)的焦点与双曲线C2:  的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=  (  D  )    
A.     B.       C.      D. 
3. 下面是关于公差 的等差数列 的四个命题,其中正确为(  D )
 数列 的递增数列;    数列 的递增数列;
 数列 的递增数列;    数列 的递增数列;
A.     B.     C.     D.
4. 在 中,内角 , , 所对边的长分别为 , , ,若 ,且 ,则角 的大小为( A  )
A.   B.   C.    D. 
5. 使 得展开式中含有常数项的最小的 为( B  )
A.4    B.5     C.6    D.7
6. 已知点 , , 。若△ 为直角三角形,则必有( C  )
A.                B.   
C.     D.
7. 将函数y=sin(2x + )的图像沿x轴向左平移  个单位后,得到一个偶函数的图像,则 的一个可能取值为 ( B  )                  
  (A)        (B)          (C)0     (D) 
8. 给定两个命题p、q,若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的 ( B  )    
  (A)充分而不必条件               (B)必要而不充分条件   
  (C)充要条件                     (D)既不充分也不必要条件   
9. 用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( B  )    
  (A)243      (B)252       (C)261       (D)279
10. 设O为坐标原点,F1,F2是双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1¬P F2=60°, = a,则该双曲线的渐近线方程为( D )
 (A)x± y=0  (B) x±y=0
 (C) x± y=0  (D)  x±y=0
二.填空题
11. 已知向量 与 的夹角为 ,且 若 且 ,则实数 的值为          【答案】
12. 定义“正对数”: ,现有四个命题:
①若 ,则 ;      ②若 ,则
③若 ,则 ;  ④若 ,则
其中的真命题有:             (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④
13. 抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) .若点 是区域 内的任意一点,则 的取值范围是       .【答案】[—2,12 ]
14. 在平面直角坐标系 中,设定点 , 是函数 ( )图象上一动点,
若点 之间的最短距离为 ,则满足条件的实数 的所有值为         .【答案】1或
15. 已知 的定义域为R的偶函数,当 时, ,那么,不等式 的解集是_________________
三.解答题
16. (本小题满分12分)已知 , .
(1)若 ,求证: ;
(2)设 ,若 ,求 的值.
解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα•cosβ+sinα•sinβ)=2,
所以,cosα•cosβ+sinα•sinβ=0,
所以, .
(2) ,①2+②2得:cos(α-β)=-12 .
所以,α-β= ,α= +β,
带入②得:sin( +β)+sinβ= cosβ+12 sinβ=sin( +β)=1,
所以, +β= .
所以,α= ,β= .
17. (本小题满分12分)
如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过 作 ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.求证:
(1)平面 平面 ;
(2) .
证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,
所以F为SB的中点.
又E,G分别为SA,SC的中点,
所以,EF∥AB,EG∥AC.
又AB∩AC=A,AB 面SBC,AC 面ABC,
所以,平面 平面 .
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,
AF 平面ASB,AF⊥SB.
所以,AF⊥平面SBC.
又BC 平面SBC,
所以,AF⊥BC.
又AB⊥BC,AF∩AB=A,
所以,BC⊥平面SAB.
又SA 平面SAB,
所以, .
18. (本小题满分12分)
设 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和.记 ,
 ,其中 为实数.
(1)若 ,且 成等比数列,证明: ( );
(2)若 是等差数列,证明: .
证:(1)若 ,则 , , .
当 成等比数列, ,
即: ,得: ,又 ,故 .
由此: , , .
故: ( ).
(2) ,
 
 .     (※)
若 是等差数列,则 型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有: ,即 ,而 ≠0,
故 .
经检验,当 时 是等差数列.
19. (本小题满分12分)
设函数 , ,其中 为实数.
(1)若 在 上是单调减函数,且 在 上有最小值,求 的取值范围;
(2)若 在 上是单调增函数,试求 的零点个数,并证明你的结论.
解:(1) ≤0在 上恒成立,则 ≥ ,   .
故: ≥1.
 ,
若1≤ ≤e,则 ≥0在 上恒成立,
此时, 在 上是单调增函数,无最小值,不合;
若 >e,则 在 上是单调减函数,在 上是单调增函数, ,满足.
故 的取值范围为: >e.
(2) ≥0在 上恒成立,则 ≤ex,
故: ≤1e .
 .
(ⅰ)若0< ≤1e ,令 >0得增区间为(0,1a );
令 <0得减区间为(1a ,﹢∞).
当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;
当x=1a 时,f(1a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 =1e 时取等号.
故:当 =1e 时,f(x)有1个零点;当0< <1e 时,f(x)有2个零点.
(ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点.
(ⅲ)若a<0,则 在 上恒成立,
即: 在 上是单调增函数,
当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.
此时,f(x)有1个零点.
综上所述:当 =1e 或a<0时,f(x)有1个零点;当0< <1e 时,f(x)有2个零点.
20. 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数,求 的分布列和数学期望.

21. 已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my- =0上.
   (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程;
   (Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与
x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

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