2018年七年级数学下期末质量检测试卷(扬州市高邮市含答案和解释)

时间:2018-09-21 作者:佚名 试题来源:网络

2018年七年级数学下期末质量检测试卷(扬州市高邮市含答案和解释)

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数学试题
一、选择题(本大题共8小题,共24分)
 已知a<b,下列不等式中,变形正确的是(  )
A. a-3>b-3 B. 3a-1>3b-1 C. -3a>-3b D. a/3>b/3
【答案】C
【解析】解:A、不等式a<b的两边同时减去3,不等式仍成立,即a-3<b-3,故本选项错误;
B、不等式a<b的两边同时乘以3再减去1,不等式仍成立,即3a-1<3b-1,故本选项错误;
C、不等式a<b的两边同时乘以-3,不等式的符号方向改变,即-3a>-3b,故本选项正确;
D、不等式a<b的两边同时除以3,不等式仍成立,即a/3<b/3,故本选项错误;
故选:C.
根据不等式的性质解答即可.
本题考查了不等式的性质.注意:不等式两边都乘以同一个负数,不等号的方向改变.

 如图,与∠1是同位角的为(  )
A. ∠2
B. ∠3
C. ∠4
D. ∠5

 

【答案】D
【解析】解:由 ,得
∠1与∠5是同位角,
故选:D.
同位角就是:两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角.
本题考查了同位角,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

 如图,直线m//n.若∠1=〖70〗^∘,∠2=〖25〗^∘,则∠A等于(  )
A. 〖30〗^∘
B. 〖35〗^∘
C. 〖45〗^∘
D. 〖55〗^∘


【答案】C
【解析】解:如图,∵直线m//n,
∴∠1=∠3,
∵∠1=〖70〗^∘,
∴∠3=〖70〗^∘,
∵∠3=∠2+∠A,∠2=〖25〗^∘,
∴∠A=〖45〗^∘,
故选:C.
首先根据平行线的性质求出∠3的度数,然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数.
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质,关键是求出∠3的度数,此题难度不大.

 不等式-2x≥8的解集在数轴上表示正确的是(  )
A.   B.   C.   D. 
【答案】C
【解析】解:两边都除以-2,得:x≤-4,
故选:C.
根据不等式的性质两边都除以-2即可得.
本题主要考查解一元一次不等式,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

 下列算式能用平方差公式计算的是(  )
A. (2a+b)(2b-a) B. (x^2-1)(-x^2+1) C. (3x-y)(-3x+y) D. (-m-n)(-m+n)
【答案】D
【解析】解:能用平方差公式计算的是(-m-n)(-m+n)=m^2-n^2,
故选:D.
利用平方差公式的结构特征判断即可.
此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

 下列命题中,真命题的个数有(  )
①同旁内角互补;②若n<1,则n^2-1<0;③直角都相等;④相等的角是对顶角.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】解:①同旁内角互补;是假命题,两直线平行,同旁内角互补;
②若n<1,则n^2-1<0;是假命题,n=-3时,n^2-1>0;
③直角都相等;是真命题;
④相等的角是对顶角.是假命题.
故选:A.
根据同旁内角的定义、直角的性质、对顶角的判定,有理数的运算一一判断即可解决问题;
本题考查同旁内角的定义、直角的性质、对顶角的判定,有理数的运算等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

 植树节这天,35名同学共栽了90棵树苗,其中男生每人栽3棵,女生每人栽2棵.若设男生有x人,女生有y人,则下列方程组正确的是(  )
A. {■(〖2x+3y=90〗┴(x+y=35) )┤ B. {■(〖3x+2y=90〗┴(x+y=35) )┤ C. {■(〖2x+3y=35〗┴(x+y=90) )┤ D. {■(〖3x+2y=35〗┴(x+y=90) )┤
【答案】B
【解析】解:由题意可得,
{■(〖3x+2y=90〗┴(x+y=35) )┤,
故选:B.
根据题意可以得到相应的方程组,从而可以解答本题.
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.

 若不等式组{■(〖x≤a〗┴(x>1) )┤有三个整数解,则a的取值范围是(  )
A. 4<a<5 B. 4≤a<5 C. 5<a<6 D. 5≤a<6
【答案】B
【解析】解:∵不等式组{■(〖x≤a〗┴(x>1) )┤有三个整数解,
∴不等式组的三个整数解为2、3、4,
∴4≤a<5,
故选:B.
根据不等式组的解集和已知得出即可.
本题考查了一元一次不等式的整数解的应用,能得出关于m的不等式组是解此题的关键.

二、填空题(本大题共10小题,共30分)
 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍,这种植物的果实像一个微小的无花果,质量只有0.000000076克,用科学记数法表示是______克.
【答案】7.6×〖10〗^(-8)
【解析】解:0.000000076=7.6×〖10〗^(-8).
故答案为:7.6×〖10〗^(-8).
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×〖10〗^(-n),与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×〖10〗^(-n),其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

 “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题(填“真”或“假”).
【答案】真
【解析】解:逆命题为:如果三角形有两个角互余,则三角形为直角三角形.
因为符合三角形内角和定理,故是真命题.
故答案为:真
根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题,然后分析其真假即可.
本题主要考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

 用不等式表示“a的2倍与7的差是负数”______.
【答案】2a-7<0
【解析】解:a的2倍与7的差是负数用不等式表示为2a-7<0,
故答案为:2a-7<0.
a的2倍即2a,负数即是小于零的数,由此可用不等式表示.
本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识,解答本题的关键是掌握负数的定义.

 若三角形三条边长分别是1,a,5(其中a为整数),则a的取值为______.
【答案】5
【解析】解:∵三角形的两边长分别为1和5,
∴第三边长x的取值范围是:5-1<a<5+1,
即:4<a<6,
∴a的值为5,
故答案为:5.
根据三角形三边关系:①任意两边之和大于第三边;②任意两边之差小于第三边,即可得出第三边的取值范围.
此题主要考查了三角形三边关系,熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键.

 若2a-3b^2=5,则2018-4a+6b^2的值是______.
【答案】2008
【解析】解:∵2a-3b^2=5,
∴2018-4a+6b^2
=2018-2(2a-3b^2)
=2018-2×5
=2018-10
=2008
故答案为:2008.
首先把2018-4a+6b^2化成2018-2(2a-3b^2),然后把2a-3b^2=5代入化简后的算式,求出算式的值是多少即可.
此题主要考查了代数式求值问题,要熟练掌握,求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.题型简单总结以下三种:①已知条件不化简,所给代数式化简;②已知条件化简,所给代数式不化简;③已知条件和所给代数式都要化简.

 已知直线m//n,将一块含〖30〗^∘角的直角三角板ABC按如图方式放置  (∠ABC=〖90〗^∘),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠2=〖52〗^∘,则∠1的度数为______.

 


【答案】〖22〗^∘
【解析】解:∵直线m//n,
∴∠1=∠2-∠ABC=〖52〗^∘-〖30〗^∘=〖22〗^∘.
故答案为:〖22〗^∘.
根据平行线的性质即可得到结论.
本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

 定义:有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.三等角四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,则∠A的取值范围______.
【答案】〖60〗^∘<∠A<〖120〗^∘
【解析】解:∵四边形的内角和是〖360〗^∘,0^∘<∠D<〖180〗^∘,
∴〖180〗^∘<∠A+∠B+∠C<〖360〗^∘,
又∵∠A=∠B=∠C,
∴〖60〗^∘<∠A<〖120〗^∘.
故答案是:〖60〗^∘<∠A<〖120〗^∘.
根据四边形的内角和是〖360〗^∘,且0^∘<∠D<〖180〗^∘,求得∠A+∠B+∠C的范围即可求解.
本题考查了多边形的内角和,注意到∠D的范围是解题的关键.

 〖37〗^2018+〖62〗^2018的个位数字是______.
【答案】3
【解析】解:由〖37〗^1+〖62〗^2=99,〖37〗^2+〖62〗^2=5213,〖37〗^3+〖62〗^3=266656,〖37〗^4+〖62〗^4=16658497,〖37〗^5+〖62〗^5=985476789……,得
个位数字分别是9,3,6,7,9
每四个一循环,
2018÷4=504……2,
〖37〗^2018+〖62〗^2018的个位数字与第二个相同,
即〖37〗^2018+〖62〗^2018的个位数字是3,
故答案为:3.
根据〖37〗^1+〖62〗^2=99,〖37〗^2+〖62〗^2=5213,〖37〗^3+〖62〗^3=266656,〖37〗^4+〖62〗^4=16658497,〖37〗^5+〖62〗^5=985476789……,可得答案.
本题考查了尾数特征,利用乘方发现规律:个位数字分别是9,3,6,7,9……是解题关键.

 现有若干张边长为a的正方形A型纸片,边长为b的正方形B型纸片,长宽为a、b的长方形C型纸片,小明同学选取了2张A型纸片,3张B型纸片,7张C型纸片拼成了一个长方形,则此长方形的周长为______.(用a、b代数式表示)
【答案】6a+8b.
【解析】解:所得长方形的面积=2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b).
所以长方形的长为a+3b,宽为2a+b,
所以长方形的周长为=2(a+3b+2a+b)=6a+8b.
故答案为:6a+8b.
首先列出长方形的面积的代数式,然后再分解因式,从而得到长方形的长可宽,然后可求得长方形的周长.
本题主要考查的是因式分解的应用,列出所得长方形的面积的代数式,通过因式分解得到长方形的长和宽是解题的关键.

 如图,已知∠AOB=〖12〗^∘,C为OA上一点,从C发射一条光线,经过OB反射后,若光线B_1 D_1与OA平行,则称为第1次“好的发射”,此时∠B_1 CA=〖24〗^∘,若从C再发射一条光线,经过OB反射到OA上,再反射到OB,反射光线B_2 D_2与OA平行,则称为第2次“好的发射”,…若最多能进行n次“好的发射”,则n=______.
【答案】4
【解析】解:∵B_1 D_1//OA,
∴∠BB_1 D_1=∠AOB=〖12〗^∘,
由光学原理可得∠OB_1 C=∠BB_1 D_1=〖12〗^∘,
由三角形外角性质可得∠B_1 CA=〖12〗^∘+〖12〗^∘=〖24〗^∘,
在第2次“好的发射”的条件下,∠OB_1 C=〖36〗^∘=〖12〗^∘+1×〖24〗^∘,
在第3次“好的发射”的条件下,∠OB_1 C=〖60〗^∘=〖12〗^∘+2×〖24〗^∘,
…,
若最多能进行n次“好的发射”,则∠OB_1 C=〖12〗^∘+(n-1)×〖24〗^∘≤〖90〗^∘,(若∠OB_1 C>〖90〗^∘,则反射光线B_1 D_1在CB_1的左侧)
解得n≤4,
故答案为:4.
根据平行线性质,可得∠BB_1 D_1=∠AOB=〖12〗^∘,依据光学原理可得∠OB_1 C=〖12〗^∘,利用三角形的外角性质即可得到∠B_1 CA为〖24〗^∘,根据规律,即可得出最多能进行4次“好的发射”.
本题考查了平行线的性质和图形的变化类问题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.

三、计算题(本大题共2小题,共12分)
 解不等式(组)
(1)3x+2≤x-2;
(2){■((2x-1)/3>(3x-5)/4@(x+2)/4-x/5>1)┤

 

【答案】解:(1)移项,得:3x-x≤-2-2,
合并同类项,得:2x≤-4,
系数化为1,得:x≤-2;

(2)解不等式(2x-1)/3>(3x-5)/4,得:x<11,
解不等式(x+2)/4-x/5>1,得:x>10,
则不等式组的解集为10<x<11.
【解析】(1)移项,合并同类项,系数化为1,即可求得不等式的解集;
(2)首先解每个不等式,然后确定两个不等式的解集的公共部分,即是不等式组的解集.
本题考查的是解一元一次不等式(组),正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

 阅读下列材料
解答“已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”的过程如下:
解:∵x-y=2,又∵x>1,∴y+2>1,∴y>-1
又y<0,∴-1≤y<0……①同理得:1<x<2…②
由①+②得-1+1<y+x<0+2,∴x+y的取值范围是0<x+y<2
请按照上述方法,解答下列问题:
(1)若a-b=4,且a>1,b<2,求a+b的取值范围;
(2)若a-b=10,且a>1,b≤1,求2a+3b最大值.
【答案】解:(1)∵a-b=4,
∴a=b+4,
∵a>1,
∴b+4>1,解b>-3,
而b<2,
∴-3<b<2①,
同理可得1<a<6②,
①+②得-2<a+b<8;
(2)利用(1)中的方法得到-9<b≤1,
而2a+3b=2(b+10)+3b=5b+20,
当b=1时,2a+3b的值最大,最大值为25.
【解析】(1)利用题中方法得到-3<b<2,1<a<6,然后把两个不等式相加得到a+b的范围;
(2)先利用题中方法得到-9<b≤1,再利用b表示2a+3b得到2a+3b=5b+20,然后利用一次函数的性质解决问题.
本题考查了一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.

四、解答题(本大题共8小题,共64分)
 化简、计算:
(1)a^5⋅a^4+(-2a^3 )^3
(2)|-1/8|+(π-3)^0+(-1/2 )^3-(1/3 )^(-2)
【答案】解:(1)a^5⋅a^4+(-2a^3 )^3
=a^9-8a^9
=-7a^9;

(2)|-1/8|+(π-3)^0+(-1/2 )^3-(1/3 )^(-2)
=1/8+1-1/8-9
=-8.
【解析】(1)直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案;
(2)直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.
此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、实数运算,正确掌握运算法则是解题关键.

 因式分解:
(1)a^2 (x-y)+9(y-x)
(2)2ax^5+8ax^3+8ax
【答案】解:(1)a^2 (x-y)+9(y-x)
=(x-y)(a^2-9)
=(x-y)(a+3)(a-3);
(2)2ax^5+8ax^3+8ax
=2ax(x^4+4x^2+4)
=2ax(x^2+2).
【解析】(1)此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解.
(2)此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有3项,可采用完全平方公式继续分解.
本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解.

 如图,方格纸中每一个小方格的边长为1个单位,试解答下列问题:
(1)△ABC的顶点都在方格纸的格点上,先将△ABC向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到△A_1 B_1 C_1,其中点A_1、B_1、C_1分别是A,B、C的对应点,试画出△A_1 B_1 C_1.
(2)连接AA_1、BB_1,则线段AA_1、BB_1的位置关系为______,线段AA_1、BB_1的数量关系为______;
(3)平移过程中,线段AB扫过部分的面积为______(平方单位)

 


【答案】平行;相等;15
【解析】解:(1)如图所示:△A_1 B_1 C_1,即为所求;

(2)线段AA_1、BB_1的位置关系为平行,线段AA_1、BB_1的数量关系为:相等.
故答案为:平行,相等;

(3)平移过程中,线段AB扫过部分的面积为:2×1/2×3×5=15.
故答案为:15.
(1)直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用平移的性质得出线段AA_1、BB_1的位置与数量关系;
(3)利用三角形面积求法进而得出答案.
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.

 已知关于x、y的二元一次方程组{■(〖x-2y=6〗┴(2x-y=m) )┤的解满足x-y=4,求m的值.
【答案】解:∵x、y的二元一次方程组为{■(〖x-2y=6 ②〗┴(2x-y=m ①) )┤,
①+②,得
∴3x-3y=m+6,
∵x-y=4,
∴m+6=12,
∴m=6.
【解析】把方程组的两个方程相加得到3x-3y=m+6,结合x-y=4,得到m的值.
本题主要考查了二元一次方程组的解,解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程,此题难度不大.

 如图,∠ADE+∠BCF=〖180〗^∘,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)AD与BC平行吗?请说明理由;
(2)AB与EF的位置关系如何?为什么?
解:(1)AD//BC.理由如下:
∵∠ADE+∠ADF=〖180〗^∘ (平角的定义)
∠ADE+∠BCF=〖180〗^∘ (已知)
∴∠ADF=∠______(______)
∴AD//BC______
(2)AB与EF的位置关系是______
∵BE平分∠ABC(已知)
∴∠ABE=1/2∠ABC(角平分线的定义)
又∵∠ABC=2∠E,(已知)即∠E=1/2∠ABC
∴∠E=∠______(等量代换)
∴AB______EF(______)

【答案】BCF;同角的补角相等;同位角相等,两直线平行;AB//EF;ABE;//;内错角相等,两直线平行
【解析】解:(1)∵∠ADE+∠ADF=〖180〗^∘,(平角的定义)
∠ADE+∠BCF=〖180〗^∘,(已知)
∴∠ADF=∠BCF,(同角的补角相等)
∴AD//BC,(同位角相等,两直线平行)
故答案为:BCF,同角的补角相等,同位角相等,两直线平行;

(2)AB与EF的位置关系是:AB//EF,
∵BE平分∠ABC,(已知)
∴∠ABE=1/2∠ABC.(角平分线的定义)
又∵∠ABC=2∠E,(已知),
即∠E=1/2∠ABC,
∴∠E=∠ABE.(等量代换)
∴AB//EF.(内错角相等,两直线平行)
故答案为:AB//EF、ABE、//、内错角相等,两直线平行.
(1)欲证明AD//BC,只要证明∠ADF=∠BCF即可;
(2)结论:AB//EF,只要证明∠E=∠ABE即可.
本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

 某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品,若购进A品牌的化妆品5套,B品牌的化妆品6套,需要950元;若购进A品牌的化妆品3套,B品牌的化妆品2套,需要450元.
(1)求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元?
(2)若销售1套A品牌的化妆品可获利30元,销售1套B品牌的化妆品可获利20元,根据市场需求,化妆品店老板决定,购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌化妆品数量的2倍还多4套,且B品牌化妆品最多可购进40套,这样化妆品全部售出后,可使总的获利不少于1200元,问有几种进货方案?如何进货?
【答案】解:(1)设A品牌的化妆品每套进价为x元,B品牌的化妆品每套进价为y元,
根据题意得:{■(〖3x+2y=450〗┴(5x+6y=950) )┤,
解得:{■(〖y=75〗┴(x=100) )┤.
答:A品牌的化妆品每套进价为100元,B品牌的化妆品每套进价为75元.
(2)设购进A品牌化妆品m套,则购进B品牌化妆品(2m+4)套,
根据题意得:{■(〖30m+20(2m+4)≥1200〗┴(2m+4≤40) )┤,
解得:16≤m≤18,
∴共有3种进货方案:①购进A品牌化妆品16套,购进B品牌化妆品36套;②购进A品牌化妆品17套,购进B品牌化妆品38套;③购进A品牌化妆品18套,购进B品牌化妆品40套.
【解析】(1)设A品牌的化妆品每套进价为x元,B品牌的化妆品每套进价为y元,根据“购进A品牌的化妆品5套,B品牌的化妆品6套,需要950元;购进A品牌的化妆品3套,B品牌的化妆品2套,需要450元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进A品牌化妆品m套,则购进B品牌化妆品(2m+4)套,根据B品牌化妆品最多可购进40套及总的获利不少于1200元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之取其中的整数即可得出各进货方案
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.

 已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B、C.
(1)过点A作直线MN//DE,若∠ACD=〖29〗^∘,求∠CAM的度数;
(2)BD、CD能否分别平分∠ABC、∠ACB,说明理由.


【答案】解:(1)如图,延长BD交AC于G点,
∵MN//DE,
∴∠MAC=∠AGD,
∵∠AGB是△BCG的外角,
∴∠AGB=∠GCB+∠GBC,
又∵∠ACD=〖29〗^∘,∠DBC+∠DCB=〖90〗^∘,
∴∠AGB=〖29〗^∘+〖90〗^∘=〖119〗^∘,
∴∠CAM=〖119〗^∘;

(2)BD、CD不能分别平分∠ABC、∠ACB.理由:
∵∠BDC=〖90〗^∘,
∴∠DBC+∠DCB=〖90〗^∘,
∴当BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB时,∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB)=2×〖90〗^∘=〖180〗^∘,
此时,AB//AC,即△ABC不存在,
∴BD、CD不能分别平分∠ABC、∠ACB.
【解析】(1)延长BD交AC于G点,根据平行线的性质可得∠MAC=∠AGD,利用三角形外角性质即可得到∠AGB的度数;
(2)依据BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,可得∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB,根据∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB)=2×〖90〗^∘=〖180〗^∘,即可得出AB//AC,即△ABC不存在.
此题主要考查了三角形内角和定理,平行线的性质以及三角形外角性质的运用,解本题的关键是作辅助线构造三角形BCG,运用三角形外角性质进行推算.

 已知:∠MON=〖36〗^∘,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O 重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x^∘.
 
(1)如图1,若AB//ON,则
①∠ABO的度数是______;
②当∠BAD=∠ABD时,x=______;当∠BAD=∠BDA时,x=______.
(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
【答案】〖18〗^∘;126;63
【解析】解:(1)如图1,①∵∠MON=〖36〗^∘,OE平分∠MON,
∴∠AOB=∠BON=〖18〗^∘,
∵AB//ON,
∴∠ABO=〖18〗^∘;

②当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=〖18〗^∘,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=〖180〗^∘,
∴∠OAC=〖180〗^∘-〖18〗^∘×3=〖126〗^∘;
当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=〖18〗^∘,
∴∠BAD=〖81〗^∘,∠AOB=〖18〗^∘,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=〖180〗^∘,
∴∠OAC=〖180〗^∘-〖18〗^∘-〖18〗^∘-〖81〗^∘=〖63〗^∘,
故答案为:①〖18〗^∘;②126,63;

(2)如图2,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角.
∵AB⊥OM,∠MON=〖36〗^∘,OE平分∠MON,
∴∠AOB=〖18〗^∘,∠ABO=〖72〗^∘,
①当AC在AB左侧时:
若∠BAD=∠ABD=〖72〗^∘,则∠OAC=〖90〗^∘-〖72〗^∘=〖18〗^∘;         
若∠BAD=∠BDA=(〖180〗^∘-〖72〗^∘)/2=〖54〗^∘,则∠OAC=〖90〗^∘-〖54〗^∘=〖36〗^∘;           
若∠ADB=∠ABD=〖72〗^∘,则∠BAD=〖36〗^∘,故∠OAC=〖90〗^∘-〖36〗^∘=〖54〗^∘;
②当AC在AB右侧时:
∵∠ABE=〖108〗^∘,且三角形的内角和为〖180〗^∘,
∴只有∠BAD=∠BDA=(〖180〗^∘-〖108〗^∘)/2=〖36〗^∘,则∠OAC=〖90〗^∘+〖36〗^∘=〖126〗^∘.    
综上所述,当x=18、36、54、126时,△ADB中有两个相等的角.
(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义,可得①∠ABO的度数;②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和,可得x的值;
(2)分两种情况进行讨论:AC在AB左侧,AC在AB右侧,分别根据三角形内角和定理以及直角的度数,可得x的值.
本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用,三角形的内角和等于〖180〗^∘,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键,注意分类讨论思想的运用.
 

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