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一元二次方程 复习题
一、选择题
1.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3= ;
④(a2+a+1)x2-a=0;④ =x-1.一元二次方程的个数是(  )
    A.1      B.2      C.3       D.4
2.要使方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则(  )
    A.a≠0               B.a≠3
    C.a≠1且b≠-1       D.a≠3且b≠-1且c≠0
3.若(x+y)(1-x-y)+6=0,则x+y的值是(  )
    A.2     B.3     C.-2或3     D.2或-3
4.若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根,则(  )
    A.k>0     B.k<0     C.k≥0      D.k≤0
5.下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是(  )
    A.恒大于0    B.恒小于0    C.不小于0    D.可能为0
6.下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题:(1)若x2=a2,则x= a ;
(2)方程2x(x-1)=x-1的根是 x=0 ;(3)若直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为 5 .其中答案完全正确的题目个数为(  )
    A.0     B.1     C.2     D.3
7.某种商品因换季准备打折出售,如果按原定价的七五折出售,将赔25元,而按原定价的九折出售,将赚20元,则这种商品的原价是(  )
    A.500元    B.400元     C.300元     D.200元
8.利华机械厂四月份生产零件50万个,若五、六月份平均每月的增长率是20%,则第二季度共生产零件(  )
    A.100万个   B.160万个    C.180万个    D.182万个
二、填空题
9.若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是________.
10.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1,则k=_______.
11.若x=2- ,则x2-4x+8=________.
12.若(m+1) +2mx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是________.
13.若a+b+c=0,且a≠0,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根,它是_______.
14.若矩形的长是6cm,宽为3cm,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长是_______.
15.若两个连续偶数的积是224,则这两个数的和是__________.
三、计算题(每题9分,共18分)
16.按要求解方程:
(1)4x2-3x-1=0(用配方法);           (2)5x2- x-6=0(精确到0.1)


17.用适当的方法解方程:
(1)(2x-1)2-7=3(x+1);              (2)(2x+1)(x-4)=5;
 

(3)(x2-3)2-3(3-x2)+2=0.

 

能力提升
18.若方程x2-2x+ (2- )=0的两根是a和b(a>b),方程x-4=0的正根是c,试判断以a、b、c为边的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不存在,说明理由.

 


19.已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1,两根之差为1,其中a,b,c是△ABC的三边长.
    (1)求方程的根;(2)试判断△ABC的形状.

 

20.某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?
 

21.李先生乘出租车去某公司办事,下午时,打出的电子收费单为“里程11公里,应收29.10元”.出租车司机说:“请付29.10元.”该城市的出租车收费标准按下表计算,请求出起步价N(N<12)是多少元.
里程(公里) 0<x≤3 3<x≤6 x>6
价格(元)   N     


22.(2008。广州)方程 的根是(   )
    A            B          C     D 
23.(2008。襄樊)某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ,则平均每次降价(    )
A.   B.   C.   D.
24.(2008。威海)关于x的一元二次方程 的根的情况是(  )
     A.有两个不相等的实数根    B.有两个相等的实数根 
 C.没有实数根              D.无法确定 
25.(2008。四川省资阳)已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0的根的情况是(  )
A.没有实数根       B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根     D.有两个不相等的实数根
26.(2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田)关于 的一元二次方程 的一个根为1,则方程的另一根为         .
27.(2008。江苏省淮安市)小华在解一元二次方程x2-4x=0时.只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____.
28.(2008年•东莞市)在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长。

 

29.(2008年湘潭)阅读材料:
如果 , 是一元二次方程 的两根,那么有 .
这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题:
设 是方程 的两根,求 的值.
解法可以这样:  则
  . 请你根据以上解法解答下题:
已知 是方程 的两根,求:
(1) 的值;(2) 的值.
答案:
一、
1.B  点拨:方程①与a的取值有关;方程②经过整理后,二次项系数为2,是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为(a+ )2+ .不论a取何值,都不为0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程.也可排除,故一元二次方程仅有2个.
2.B  点拨:由a-3≠0,得a≠3.
3.C  点拨:用换元法求值,可设x+y=a,原式可化为a(1-a)+6=0,解得a1=3,a2=-2.
4.D  点拨:把原方程移项,变形为:x2=- .由于实数的平方均为非负数,故- ≥0,则k≤0.
5.B  点拨:-x2+4x-5=-(x2-4x+5)=-(x2-4x+4+1)=-(x-2)2=-1.
    由于不论x取何值,-(x-2)2≤0,所以-x2+4x-5<0.
6.A  点拨:第(1)题的正确答案应是x=±a;第(2)题的正确答案应是x1=1,x2= .第(3)题的正确答案是5或 .
7.C  点拨:设商品的原价是x元.则0.75x+25=0.9x-20.解之得x=300.
8.D  点拨:五月份生产零件:50(1+20%)=60(万个)
    六月份生产零件50(1+20%)2=72(万个)
    所以第二季度共生产零件50+60+72=182(万个),故选D.
二、
9.a>-2且a≠0  点拨:不可忘记a≠0.
10.±   点拨:把-1代入方程:(-1)2+3×(-1)+k2=0,则k2=2,所以k=± .
11.14  点拨:由x=2- ,得x-2=- .两边同时平方,得(x-2)2=10,即x2-4x+4=10,  所以x2-4x+8=14.注意整体代入思想的运用.
12.-3或1  点拨:由  解得m=-3或m=1.
13.1  点拨:由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化为ax-(a+c)x+c=0,
解得x1=1,x2= .
14.3 cm  点拨:设正方形的边长为xcm,则x2=6×3,解之得x=±3 ,由于边长不能为负,故x=-3 舍去,故正方形的边长为3 cm.
15.30或-30  点拨:设其中的一个偶数为x,则x(x+2)=224.解得x1=14,x2=-16,则另一个偶数为16,-14.这两数的和是30或-30.
三、
16.解:(1)4x2-3x-1=0,称 ,得4x2-3x=1,
    二次项系数化为1,得x2- x= ,
    配方,得x2- x+( )2= +( )2,
    (x- )2= ,x- =± ,x= ± ,
    所以x1= + =1,x2= - = .
    (2)5x2- x-6=0
    原方程可化为( x+2)( x-3)=0,
     +2=0或 -3=0,
    所以x1= ≈=0.9,x2= ≈1.3.
    点拨:不要急于下手,一定要审清题,按要求解题.
17.解:(1)(2x-1)2-7=3(x+1)
    整理,得4x2-7x-9=0,因为a=4,b=-7,c=-9.
    所以x= .
    即x1= ,x2= .
(2)(2x+1)(x-4)=5,整理,得2x2-7x-9=0,
    (x+1)(2x-9)=0,即x+1=0或2x-9=0,
    所以x1=-1,x2= .
    (3)设x2-3=y,则原方程可化为y2+3y+2=0.
    解这个方程,得y1=-1,y2=-2.
    当y1=-1时,x2-3=-1.x2=2,x1= ,x2=- .
    当y2=-2时,x2-3=-2,x2=1,x3=1,x4=-1.
    点拨:在解方程时,一定要认真分析,选择恰当的方法,若遇到比较复杂的方程,审题就显得更重要了.方程(3)采用了换元法,使解题变得简单.
18.解:解方程x2-2x+ (2- )=0,得x1= ,x2=2- .
    方程x2-4=0的两根是x1=2,x2=-2.
    所以a、b、c的值分别是 ,2- ,2.
    因为 +2- =2,所以以a、b、c为边的三角形不存在.
    点拨:先解这两个方程,求出方程的根,再用两边的和与第三边相比较等来判断.
19.解:(1)设方程的两根为x1,x2(x1>x2),则x1+x1=-1,x1-x2=1,解得x1=0,x2=-1.
(2)当x=0时,(a+c)×02+2b×0-(c-a)=0.
所以c=a.当x=-1时,(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0.a+c-2b-c+a=0,
所以a=b.即a=b=c,△ABC为等边三角形.
    点拨:先根据题意,列出关于x,x的二元一次方程组,可以求出方程的两个根0和-1.进而把这两个根代入原方程,判断a、b、c的关系,确定三角形的形状.
20.解:设该产品的成本价平均每月应降低x.
    625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500
    整理,得500(1-x)2=405,(1-x)2=0.81.
    1-x=±0.9,x=1±0.9,
    x1=1.9(舍去),x2=0.1=10%.
    答:该产品的成本价平均每月应降低10%.
    点拨:题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,要求变化后的销售利润不变,即利润仍要达到125元,关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价.
21.解:依题意,N+(6-3)× +(11-6)× =29.10,
    整理,得N2-29.1N+191=0,解得N1=19.1,N2=10,
    由于N<12,所以N1=19.1舍去,所以N=10.
    答:起步价是10元.
    点拨:读懂表格是正确列出方程的基础,表格中的含义是:当行车里程不超过3公里时,价格是10元,当行车里程超过了3公里而不超过6公里时,除付10元外,超过的部分每公里再 付元;若行车里程超过6公里,除了需付以上两项费用外,超过6公里的部分,每公里再付 元.
22.C  23。 A  24。B  25。A   26。-2  27。0
28..解:设小正方形的边长为 .
      由题意得, .
     解得, .
     经检验, 符合题意, 不符合题意舍去.
    ∴  .
  答:截去的小正方形的边长为 . 
29.解:
(1)
(2)

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