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冀教版九年级数学下册练习 专项训练(七) 二次函数

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专项训练(七)二次函数一、选择题1.下列函数是二次函数的是(  )A.y=4x-2B.y=C.y=3x2-5x+7D.y=-2.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的最高点的坐标是(  )A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D..(1,-4)3.如果二次函数y=(m-2)x2-4x+1有最小值,且最小值是-3,则m的值为()A.3B.1C.3或-1D.4.把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的函数表达式是y=x2-x+3,则有().A.b=3,c=5B.b=-3,c=5C.b=3,c=-5D.b=-3,c=-55.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是(  )A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时,y的最大值为﹣4D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)6.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么关于x的方程一元二次方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是()A.有两个相等的实根B.无实数根C.有两个符号不同的实数根D.有两个符号相同的实数根[来源:学&科&网]第6题图第7题图7.图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣(x﹣80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为(  )A.16米B.米C.16米D.米8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为(  )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题9.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.10.已知二次函数y=-x2+bx+c,如果关于的一元二次方程-x2+bx+c的两个实数根是0和5,则这个二次函数的表达式为.11.在距离地面10米高的某处把一物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(米)与抛出时间t(秒)满足:s=v0t-gt2(其中是常数,通常取10米/秒2),若=20米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面____米.12.抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C,已知一次函数y=-kx+3的图象经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为.13.已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是14.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若取点A为原点时抛物线的函数表达式是y=-(x-6)2+4,若选点B为原点时的抛物线的函数表达式是.三、解答题15.在一块矩形镜面玻璃的四周镶上边框,制成一面镜子,镜子的长与宽的比是2︰1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120米,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽是x米.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.16.如图,E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点,CE=1,CF=,直线FE交AB的延长线于G.过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG,HN⊥AD,垂足分别为M、N.设HM=x,矩形AMHN的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)求x为何值时,矩形AMHN的面积最大,最大面积是多少?17.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:销售单价(元)x销售量y(件)销售玩具获得利润w(元)(2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元.(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?18.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的函数表达式和对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案与解析1.C2.A3.A解析:根据题意,得=3,解得m=3.4.A解析:因为y=x2-x+3=(x2-3x)+3=(x-)2+,所以y=x2+bx+c=(x-+3)2++2=(x+)2+=x2+3x+5,所以b=3,c=5.5.C解析:因为抛物线过点(0,﹣3),所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3.所以A正确.因为抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1,B正确;因为抛物线的开口向上,所以二次函数有最小值,C不正确;解方程x2﹣2x﹣3=0,得x1=﹣1,x2=3,所以抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0),C正确.6.D解析:观察图像可知,抛物线开口向上且顶点的纵坐标为-3,所以过点(0,-2)的直线与抛物线一定交于两点,且两个交点都在x轴的右侧,所以原方程有两个符号相同的实数根,故选D.思路点拨:本题中需要理解下列两个“转变”:①方程与方程组的转变.因为方程ax2+bx+c+2=0的解,可看作方程组中的x的解,所以根据该方程组的解的情况,可以得到原方程的解的情况;②“形”和“数”的转变,因为该方程组的解的情况,可以看做抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-2的相交情况,所以问题转化为判断这两个图像是否相交以及交点的位置问题.7.解:由AC⊥x轴,OA=10米,得点C的横坐标为﹣10,当x=﹣10时,y=﹣(x﹣80)2+16=﹣,所以C(﹣10,﹣),即桥面离水面的高度AC为m.8.C解析:由抛物线与x轴有两个交点,得b2﹣4ac>0,①错误;因为顶点为D(﹣1,2),所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0,②正确;因为抛物线的顶点为D(﹣1,2),所以a﹣b+c=2,结合抛物线的对称轴得b=2a,所以a﹣2a+c=2,即c﹣a=2,③正确;因为当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,④正确.9.y3y1y2.10.y=-x2+x解析:因为方程-x2+bx+c的两个实数根是0和5,所以函数式为y=-x·(x-5)=-x2+x.11.30解析:由题意得s=20t-5t2=-5(t2-4t)=-5(t-2)2+20.所以该函数的最大值为20,故该物体在运动过程中最高点距离地面,10+20=30(米).易错点拨:本题容易出现的错误是:不理解物体抛出的最大高度与物体在最高点距离地面的高度的区别,因而不理解已知条件“距离地面10米”对答案的影响,误认为最后的答案为20.12.1解析:由抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为(2,-6),求得一次函数为y=-4.5x+3,其图像分别与轴、轴交于(,0)和,所以这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.b≤1解析:因为抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴为直线x=b,而a<0,所以当x>b时,y随x的增大而减小.因为当x>1时,y的值随x值的增大而减小,所以b≤1.14.y=-(x+6)2+4解析:设点B为原点时的抛物线的函数表达式是y=-(x-h)2+4,将(-12,0)代入,得0=-(-12-h)2+4,解得h=-6,所以抛物线为y=-(x+6)2+4.15.解:(1)∵镜子的宽是x米,∴镜子的长是2x米,镜面玻璃的面积为2x2平方米,边框总长度为6x米.∴y与x之间的函数关系式为:y=120×2x2+30×6x+45=240x2+180x45.(2)当y=195时,解方程240x2+180x45=195,解得x1=,x2=-(矩形边长不能为负值,舍去).∴2x=1.答:这面镜子的长是1米,宽是米.16.解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,CE=1,CF=,∴CF//AG,BE=3,∴=,得BG=4.∵HM⊥AG,CB⊥AG,∴HM//BE.∴=,得MG=x.∴y与x之间的函数关系式为y=x(4+4-x)=-x2+8x.(2)∵y=-x2+8x=-(x-3)2+12.∴当x=3时,矩形AMHN的面积最大,最大面积是12.17.解:(1)如下表所示:销售单价(元)x销售量y(件)1000﹣10x销售玩具获得利润w(元)﹣10x2+1300x﹣30000(2)解方程﹣10x2+1300x﹣30000=10000,解得:x1=50,x2=80.答:销售单价为50元或80元时,可获得10000元销售利润,(3)根据题意,得解得44≤x≤46∵w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250,且a=﹣10<0,对称轴x=65,∴当44≤x≤46时,y随x增大而增大,当x=46时,W最大值=8640(元)答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.18.解:(1)∵抛物线经过点A(0,4),∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+4.把点B(1,0),C(5,0)代入得,解得.∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x+4.∵y=x2﹣x+4=(x﹣3)2﹣,∴抛物线的对称轴是x=3.(2)存在,点P的坐标为(3,).理由如下:∵点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4).连接BA′交对称轴于点P,连接AP,如图1,此时△PAB的周长最小.图1图2设直线BA′的函数表达式为y=kx+b,把点A′(6,4),B(1,0)代入,得,解得.∴直线BA′的函数表达式为y=x﹣.∵点P的横坐标为3,∴y=×3﹣=,∴P(3,).(3)存在,点N的坐标为(,﹣3).理由如下:设N点的横坐标为t时△NAC的面积最大,此时点N(t,t2﹣t+4)(0<t<5).过点N作NG∥y轴交AC于D,如图2所示.设直线AC的函数表达式为y=mx+4,把点C(5,0)代入,得0=5m+4,解得m=﹣.∴直线BA′的函数表达式为y=-x+4.∴点D(t,﹣t+4).∴DN=﹣t+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+4t.∴S△ACN=S△AND+S△CND=DN·5=(﹣t2+4t)·5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)2+.∴当t=时,△CAN面积的最大值为.由t=得,y=t2﹣t+4=﹣3,∴N(,﹣3).方法点拨:本题的难点在于确定何时△PAB的周长最小,与何时△CAN面积最大.前者中,由于AB的长度一定,所以△PAB的周长最小可转化为PA+PB最小,根据抛物线的对称性与线段垂直平分线的性质,可找出点A关于直线x=3的对称点,根据“两点之间,线段最短”,求PA+PB的最小值转化为求线段A‘B的长度;后者中,因为△CAN的任意一条边都不与坐标轴平行,不方便探究其面积的最小值,为此作辅助线ND,则△CAN被分割为△AND与△CND,由于两三角形有一条公共边DN,DN边上的高的和等于线段OC的长,于是求△CAN面积最大的问题转化为求DN的最大值.

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