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解题技巧专题:圆的切线中常见辅助线的作法类型一 利用切线的性质时,连接圆心和切点1.如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,若∠P=70°,则∠C的大小为(  )A.40°B.50°C.55°D.60°第1题图第2题图第3题图2.如图,一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为【方法3】(  )A.4cmB.3cmC.2cmD.1.5cm3.(益阳中考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,过C点的切线与AB的延长线交于P点,若∠P=40°,则∠D的度数为________.[来源:Z.Com]第4题图第5题图第6题图4.如图,AB切⊙O于点B,OA=2,∠BAO=60°,弦BC∥OA,则的长为________(结果保留π).5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线DM交BC于点M,切点为N,则DM的长为________.6.★如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是________.7.如图,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于点E,AC⊥PQ于点C,交⊙O于点D.(1)求证:AE平分∠BAC;(2)若AD=2,CE=,∠BAC=60°,求⊙O的半径.8.如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED,BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.类型二 证明切线时,有切点型:连半径、证垂直一、利用角度转换证垂直9.(大连中考)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E在AB的延长线上,∠AED=∠ABC.求证:DE与⊙O相切.二、利用勾股定理的逆定理证垂直10.如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,ME=1,AM=2,AE=.求证:BC是⊙O的切线.三、利用全等证垂直11.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证:DE是⊙O的切线.[来源:Z.Com][来源:Z#xx#k.Com]类型三 证明切线时,无切点型:作垂直,证半径[来源:Z&xx&k.Com]12.(南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心、OC为半径作半圆.求证:AB为⊙O的切线.【方法4②】参考答案与解析1.C2.B 解析:连接OC,并过点O作OF⊥CE于F.∵△ABC为等边三角形,边长为4cm,∴△ABC的高为2cm,∴OC=cm.∵⊙O与BC相切于点C,∴OC⊥BC,∴∠OCB=90°.又∵∠ACB=60°,∴∠OCF=30°.在Rt△OFC中,FC=OC·cos∠OCF=cm,∴CE=2FC=3cm.故选B.3.115° 4.2π5. 解析:连接OE,OF,ON,OG,OD,OM.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,CD=AB=4.∵AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,OE=OF=OG,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3.∵DM是⊙O的切线,∴∠OED=∠OND=90°.又∵OE=ON,OD=OD,∴△OED≌△OND,∴DN=DE=3.同理得MN=MG,∴CM=BC-BG-MG=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+MN)2=42+(3-MN)2,∴MN=,∴DM=3+=.6. 解析:连接OD,BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AC.又∵AB=BC,∴AD=CD.又∵AO=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC.∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥OD,∴DE⊥BC.∵CD=5,CE=4,∴DE==3.∵S△BCD=BD·CD=BC·DE,∴5BD=3BC,∴BD=BC.∵BD2+CD2=BC2,∴+52=BC2,解得BC=.∵AB=BC,∴AB=,∴⊙O的半径是÷2=.7.(1)证明:连接OE.∴OA=OE,∴∠OEA=∠OAE.∵PQ切⊙O于点E,∴OE⊥PQ.∵AC⊥PQ,∴OE∥AC,∴∠OEA=∠EAC,∴∠OAE=∠EAC,∴AE平分∠BAC.(2)解:连接BE.∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.由(1)可知AE平分∠BAC.∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠EAC=30°.∵AC⊥PQ,∴∠ACE=90°,∴AE=2CE.∵CE=,∴AE=2,∴AB==4,∴⊙O的半径为2.8.(1)解:连接OD.∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD.∵OA=CD=2,OA=OD,∴OD=CD=2,∴△OCD为等腰直角三角形,∴∠DOC=∠C=45°,∴S阴影=S△OCD-S扇形OBD=×2×2-=4-π.(2)证明:连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ADM=90°.又∵=,∴ED=BD,∠MAD=∠BAD.在△AMD和△ABD中,∴△AMD≌△ABD,∴DM=DB,∴DE=DM.9.证明:连接OD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.∵∠BOD=2∠BCD,∠A=2∠BCD,∴∠BOD=∠A.∵∠AED=∠ABC,∴∠BOD+∠AED=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE与⊙O相切.10.证明:∵ME=1,AM=2,AE=,∴ME2+AE2=AM2,∴△AME是直角三角形,∠AEM=90°.又∵MN∥BC,∴∠ABC=∠AEM=90°,∴OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线.11.证明:连接OC,如图.∵AD为⊙O的切线,∴AD⊥AB,∴∠BAD=90°.∵OD∥BC,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OB=OC,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.在△OCD和△OAD中,∴△OCD≌△OAD(SAS),∴∠OCD=∠OAD=90°,∴OC⊥DE,∴DE是⊙O的切线.12.证明:过点O作OM⊥AB于M.∵∠ACB=90°,∴OC⊥AC.又∵OA平分∠CAB,OM⊥AB,∴OM=OC,∴AB是⊙O的切线.

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