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河北必考题型强化训练(选做):圆的动态综合性问题类型一 圆的动态变化问题1.如图①,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,∠ACB=90°,∠BAC=30°,OD=3cm,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.(1)当点B与点O重合的时候,求三角板运动的时间;(2)三角板继续向右运动,当B点和E点重合时,AC与半圆相切于点F,连接EF,如图②所示.①求证:EF平分∠AEC;②求EF的长.2.图①和图②中,优弧所在⊙O的半径为2,AB=2,点P为优弧上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.(1)点O到弦AB的距离是________,当BP经过点O时,∠ABA′=________°;(2)当BA′与⊙O相切时,如图②,求折痕的长.类型二 圆的探究型问题3.观察思考:某种在同一平面进行传动的机械装置如图①,图②是它的示意图.其工作原理是:滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动,在Q滑动的过程中,连杆PQ也随之运动,并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中,两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识,过点O作OH⊥l于点H,并测得OH=4分米,PQ=3分米,OP=2分米.解决问题:(1)点Q与点O间的最小距离是________分米;点Q与点O间的最大距离是________分米;点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是________分米;(2)如图③,小明同学说:“当点Q滑动到点H的位置时,PQ与⊙O是相切的.”你认为他的判断对吗?为什么?(3)①小丽同学发现:“当点P运动到OH上时,点P到l的距离最小.”事实上,还存在着点P到l距离最大的位置,此时,点P到l的距离是________分米;②当OP绕点O左右摆动时,所扫过的区域为扇形,求这个扇形面积最大时圆心角的度数.4.平面上,Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图①摆放,∠B=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转,点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB,旋转角记为α(0°≤α≤180°).(1)①当α=0°时,连接DE,则∠CDE=________°,CD=________;②当α=180°时,=________;(2)试判断:旋转过程中的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明;(3)若m=10,n=8,当α=∠ACB时,求线段BD的长.[来源:Z.Com]5.阅读下列材料,然后解答问题.经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆,圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形.如图,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的面积为S1,正方形ABCD的面积为S2.以圆心O为顶作∠MON,使∠MON=90°.将∠MON绕点O旋转,OM,ON分别与⊙O交于点E,F,分别与正方形ABCD的边交于点G,H.设由OE,OF,及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S.(1)当OM经过点A时(如图①),则S,S1,S2之间的关系为______________________;(2)当OM⊥AB于点G时(如图②),则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由;(3)当∠MON旋转到任意位置时(如图③),则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由.参考答案与解析1.(1)解:∵BO=OD+BD=4cm,∴t==2(s),∴当点B与点O重合的时候,三角板运动的时间为2s.(2)①证明:连接O与切点F,则OF⊥AC.∵∠ACE=90°,∴EC⊥AC,∴OF∥CE,∴∠OFE=∠CEF.∵OF=OE,∴∠OFE=∠OEF,∴∠OEF=∠CEF,即EF平分∠AEC.②解:由①知OF⊥AC,∴△AFO是直角三角形.∵∠BAC=30°,OF=OD=3cm,∴tan30°=,∴AF=3cm.由①知EF平分∠AEC,∴∠AEF=∠CEF=∠AEC=30°,∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF,∴EF=3cm.2.解:(1)1 60(2)过点O作OH⊥AB,OG⊥BP,垂足分别为H,G,连接OB.可知BH=AB=,OB=2,则在Rt△OHB中,∠OBH=30°.∵A′B切⊙O于点B,∴∠OBA′=90°,∴∠ABA′=120°,∴∠A′BP=∠ABP=60°,∴∠OBP=30°,∴OG=OB=1,∴BG=.∵OG⊥BP,∴BG=PG=,∴BP=2,即折痕的长为2.3.解:(1)4 5 6(2)不对.理由如下:∵当Q,H重合时,OP=2,PQ=3,OQ=OH=4,又∵42≠32+22,即OQ2≠PQ2+OP2,∴OP与PQ不垂直,∴PQ与⊙O不相切.(3)①3 解析:因为PQ的值永远是3,只有PQ⊥l时,点P到直线l的距离最大,此时最大的距离是3分米.②由①知,在⊙O上存在点P,P′到l的距离为3,此时,OP将不能再向下转动,如图.OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP.连接P′P,交OH于点D.∵PQ,P′Q′均与l垂直,PQ=P′Q′=3,∴四边形PQQ′P′是矩形,∴OH⊥PP′,∴PD=P′D.由OP=2,OD=OH-HD=1,得∠DOP=60°,∴∠POP′=120°,∴这个扇形面积最大时圆心角的度数为120°.4.解:(1)①90 n ② 解析:①图①中,当α=0°时,连接DE,则∠CDE=90°.∵∠CDE=∠B=90°,∴DE∥AB,∴==.∵BC=n,∴CD=n;②如图a,当α=180°时,BD=BC+CD=n,AE=AC+CE=m,∴=.(2)的大小无变化.证明如下:连接DE.∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACE=∠BCD.由(1)可知CD=n,又∵AC=2CE=m,BC=n,∴==,∴△ACE∽△BCD,∴==.(3)当α=∠ACB时,如图b所示.在Rt△ABC中,∵AC=m=10,BC=n=8,∴AB==6.在Rt△ABE中,∵AB=6,BE=BC-CE=3,∴AE===3.由(2)可知△ACE∽△BCD,∴=,∴=,∴BD=.5.解:(1)S=(S1-S2) 解析:当OM经过点A时,由正方形的性质可知∠AOB=∠MON=90°,∴S△OAB=S正方形ABCD=S2,S扇形OEF=S圆O=S1,∴S=S扇形OEF-S△OAB=S圆O-S正方形ABCD=S1-S2=(S1-S2).(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:∵∠EOF=90°,∴S扇形OEF=S圆O=S1.∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°,∴四边形OGBH为矩形.∵OM⊥AB,OH⊥BC,∴BG=AB=BC=BH,∴四边形OGBH为正方形,∴S四边形OGBH=BG2==S2,∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=S1-S2=(S1-S2).(3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:∵∠EOF=90°,∴S扇形OEF=S圆O=S1.过O作OR⊥AB,OS⊥BC,垂足分别为R,S,由(2)可知四边形ORBS为正方形,∴OR=OS.∵∠ROS=90°,∠MON=90°,∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS.在△ROG和△SOH中,∴△ROG≌△SOH(ASA),∴S△ORG=S△OSH,∴S四边形OGBH=S正方形ORBS.由(2)可知S正方形ORBS=S2,∴S四边形OGBH=S2,∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=(S1-S2).

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