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河北必考题型强化训练(选做):二次函数的综合题类型一 二次函数性质间的综合1.如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)若l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值.此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l分为两部分,这两部分的比是1∶4时,求h的值.2.(淄博中考)已知点M是二次函数y=ax2(a>0)图像上的一点,点F的坐标为,直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为.(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.类型二 二次函数与其他函数的综合3.(唐山滦县期末)如图,抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.4.如图,抛物线l:y=-(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=(k>0,x>0)于点P且OA·MP=12.(1)求k值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与l的对称轴之间的距离;(3)把l在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图像G最高点的坐标.[来源:Z&xx&k.Com]类型三 二次函数中的新定义问题5.(北京中考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰好有6个整点,结合函数的图像,求m的取值范围.6.(大庆中考)若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+mx+n为“友好抛物线”.(1)求抛物线C2的解析式;(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值;(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(-1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.[来源:Z|xx|k.Com]参考答案与解析1.解:(1)把点B的坐标B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1,解得h=2.则抛物线l的解析式为y=-(x-2)2+1,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).(2)∵点C的横坐标为0,∴yC=-h2+1.当h=0时,yC=1为最大值,此时,抛物线l为y=-x2+1,对称轴为y轴,开口方向向下.当x≥0时,y随x的增大而减小,又∵x1x2≥0,∴y1<y2.(3)∵线段OA被l分为两部分,这两部分的比是1∶4,∴把线段OA分为两部分的点的坐标分别是(-1,0)或(-4,0).当过点(-1,0)时,0=-(-1-h)2+1,解得h1=0,h2=-2.但是当h=-2时,线段OA被抛物线l分为三部分,不合题意,舍去.同理,当过点(-4,0)时,h=-5或h=-3(舍去).综上所述,h的值是0或-5.2.(1)解:∵圆心Q的纵坐标为,∴设Q点的坐标为.∵F点的坐标为,QO=QF,∴m2+=m2+,∴a=1.(2)解:∵a=1,∴二次函数解析式为y=x2.∵M在抛物线上,∴设M点的坐标为(t,t2).∵Q点的坐标为,又∵O,Q,M在同一直线上,∴kOM=kOQ,∴=,∴m=.∵QO=QM,∴m2+=(m-t)2+,整理得-t2+t4+t2-2mt=0,即4t4+3t2-1=0,解得t1=,t2=-.当t1=时,m1=;当t2=-时,m2=-.∴M1,Q1;M2,Q2.(3)证明:设M点的坐标为(n,n2)(n>0),∴MN=n2.由a=1,可得F点的坐标为,∴OF=,MF===n2+,∴MN+OF=n2+,∴MF=MN+OF.3.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(2)由(1)可得y=x2+4x+3=(x+2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为M(-2,-1),∴直线OD的解析式为y=x.故可设平移后的抛物线的顶点坐标为,∴平移后的抛物线的解析式为y=(x-h)2+h.当平移后的抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组得x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0,∴Δ=(-2h+2)2-4=-10h+40=0,解得h=4.此时抛物线y=(x-4)2+2与直线CD唯一的公共点的坐标为(3,3),点(3,3)在射线CD上,符合题意.当Δ0,即h4时,抛物线与直线CD有两个交点.当抛物线经过点C时,∵C点的坐标为(0,9),∴h2+h=9,解得h=.∴当≤h<时,平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点.故平移后抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时,顶点横坐标的取值范围是h=4或≤h<.4.解:(1)设P点的坐标为(x,y),则MP=y.由OA的中点为M可知OA=2x,代入OA·MP=12,得到2x·y=12,即xy=6,∴k=xy=6.(2)当t=1时,令y=0,0=-(x-1)(x+3),解得x=1或-3.∵点B在点A左边,∴B点的坐标为(-3,0),A点的坐标为(1,0),∴AB=4,l的对称轴为直线x=-1,M点的坐标为(,0),∴MP与l的对称轴的距离为.(3)∵y=-(x-t)(x-t+4),∴A点的坐标为(t,0),B点的坐标为(t-4,0),∴l的对称轴为直线x=t-2.∴当x=t-2时,y=-(t-2-t)(t-2-t+4)=2.∵MP为直线x=,∴当x=时,y=-t2+t.当t-2≤,即t≤4时,图像G的最高点的坐标为(t-2,2);当t4时,图像G最高点的坐标为.5.解:(1)将抛物线表达式变为顶点式y=m(x-1)2-1,则抛物线的顶点坐标为(1,-1).(2)①当m=1时,抛物线表达式为y=x2-2x,因此A,B两点的坐标分别为(0,0)和(2,0).则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共3个.②由题意可得y=m(x-1)2-1的图像如图所示,当x=3时,y≤0;当x=4时,y>0,即解得<m≤.6.解:(1)∵y1=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4,∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).∵抛物线C1与C2顶点相同,∴=1,-1+m+n=4,解得m=2,n=3.∴抛物线C2的解析式为y2=-x2+2x+3.(2)如图①所示,设点A的坐标为(a,-a2+2a+3),∴AQ=-a2+2a+3,OQ=a,∴AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-+.∴当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为.(3)存在.如图②所示,连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.∵点B的坐标为(-1,4),点C的坐标为(1,4),抛物线C2的对称轴为直线x=1,∴BC⊥CM,BC=2.∵∠BMB′=90°,∴∠BMC+∠B′MD=90°.∵B′D⊥MC,∴∠MB′D+∠B′MD=90°,∴∠MB′D=∠BMC.在△BCM与△MDB′中,∵∴△BCM≌△MDB′,∴BC=MD,CM=B′D.设点M的坐标为(1,a),则B′D=CM=4-a,MD=CB=2,∴点B′的横坐标为1-B′D=1-(4-a)=a-3,点B′的纵坐标为4-CM-MD=4-(4-a)-2=a-2,∴点B′的坐标为(a-3,a-2).若点B′在抛物线C2上,则-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2,整理得a2-7a+10=0,解得a=2或a=5.当a=2时,点M的坐标为(1,2);当a=5时,点M的坐标为(1,5).综上所述,当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,点B′恰好落在抛物线C2上.

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