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中考数学期末复习之方法技巧:构造法训练(含答案)

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中考数学期末复习之方法技巧:构造法训练(含答案)方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.1.[2018·自贡] 如图 F4-1,若△ABC内接于半径为 R的☉O,且∠A=60°,连结 OB,OC,则边 BC的长为 (  )图 F4-1A. R B. R C. R D. R2.[2018·遵义] 如图 F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点 A 在反比例函数 y= (x0)的图象上,则经过点 B的反比例函数的解析式为 (  )图 F4-2A.y=- B.y=-C.y=- D.y=3.设关于 x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m0)的两根分别为α,β,且αβ,则α,β满足 (  )A.1αβ2 B.1α2βC.α1β2 D.α1且β24.如图 F4-3,六边形 ABCDEF的六个内角都相等.若 AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于    . 图 F4-35.[2018·扬州] 如图 F4-4,已知☉O的半径为 2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则 AB=    . 图 F4-46.[2018·滨州 ] 若关于 x,y 的二元一次方程组 的解是 则关于 a,b 的二元一次方程组的解是    . 7.[2018·扬州] 问题呈现如图 F4-5①,在边长为 1的正方形网格中,连结格点 D,N和 E,C,DN和 EC相交于点 P,求 tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点 M,N,可得 MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结 DM,那么∠CPN 就变换到 Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中 tan∠CPN的值为    ; (2)如图②,在边长为 1的正方形网格中,AN与 CM相交于点 P,求 cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到点 N,使 BN=2BC,连结 AN 交 CM 的延长线于点 P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图 F4-5参考答案1.D [解析] 如图,延长 CO交☉O于点 D,连结 BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°.在 Rt△BCD中,sinD= = =sin 60°= ,∴BC= R.故选 D.注:此题构造了直角三角形.2.C [解析] 如图,过点 A作 AM⊥x轴于点 M,过点 B作 BN⊥x轴于点 N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于 ,在 Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以 =tan 30°= ,所以 = .因为点 A在双曲线 y= 上,所以 S△OMA=3,所以 S△BNO=1,所以 k=-2.即经过点 B的反比例函数的解析式为 y=- .故选 C.注:此题构造了相似三角形.3.D [解析] 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m0)的两根实质上是抛物线 y=(x-1)(x-2)与直线 y=m 两个交点的横坐标.如图,显然α1且β2.故选 D.注:此题构造了二次函数.4.15 [解析] 分别将线段 AB,CD,EF 向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为 8,则 EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.2  [解析] 如图,在优弧 AB上取一点 D,连结 AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为 2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2 .故答案为 2 .注:此题构造了直角三角形.6.  [解析] 根据题意,对比两个方程组得出方程组 所以注:此题构造了一个二元一次方程组.7.[解析] (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出 MN和 DM的值,即可求出 tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=2 ,MN= ,DN= .∵(2 )2+( )2=( )2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM= = =2,∴tan∠CPN=2.(2)如图,取格点 D,连结 CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos 45°= .(3)构造如图网格,取格点 Q,连结 AQ,QN.易得 PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.

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