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中考数学期末复习之方法技巧:转化思想训练(含答案)

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中考数学期末复习之方法技巧:转化思想训练(含答案)方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2018·铜仁] 计算 + + + + +…+ 的值为 (  )A. B. C. D.2.[2018·嘉兴] 欧几里得的《原本》记载形如 x2+ax=b2的方程的图解法:画 Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC= ,AC=b,再在斜边 AB上截取 BD= ,则该方程的一个正根是 (  )图 F5-1A.AC的长 B.AD的长C.BC的长 D.CD的长3.[2018·东营] 如图 F5-2,圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (  )图 F5-2A.3 B.3C. D.34.[2018·白银] 如图 F5-3 是一个运算程序的示意图,若开始输入的 x 的值为 625,则第 2018 次输出的结果为    . 图 F5-35.[2018·广东] 如图 F5-4,矩形 ABCD 中,BC=4,CD=2,以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E,连结 BD,则阴影部分的面积为    .(结果保留π) 图 F5-46.[2018·淄博] 如图 F5-5,P为等边三角形 ABC内的一点,且点 P到三个顶点 A,B,C的距离分别为 3,4,5,则△ABC的面积为    . 图 F5-57.如图 F5-6①,点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点.分别延长 OD 到点 G,OC 到点 E,使 OG=2OD,OE=2OC,然后以 OG,OE为邻边作正方形 OEFG,连结 AG,DE.(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形 ABCD固定,将正方形 OEFG绕点 O逆时针旋转α角(0°α360°)得到正方形 OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形 ABCD的边长为 1,在旋转过程中,求 AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图 F5-6参考答案1.B [解析] ∵ = =1- , = = - , = = - , = = - , = = - ,…, = = - ,∴ + + + + +…+ =1- + - + - + - + - +…+ - =1- = .故选 B.2.B [解析] 利用配方法解方程 x2+ax=b2,得到 x+ 2=b2+ ,解得 x= - 或 x=- - (舍去).根据勾股定理得 AB= ,由题意知 BD= .根据图形知道 AD=AB-BD,即 AD的长是方程的一个正根.故选 B.3.C [解析] 将圆柱沿 AB 侧面展开,得到矩形,如图,则有 AB=3,BC= .在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= == .故选 C.4.1 [解析] 当 x=625时,代入 x得 x= ×625=125,输出 125;当 x=125时,代入 x得 x= ×125=25,输出 25;当 x=25时,代入 x得 x= ×25=5,输出 5;当 x=5时,代入 x得 x= ×5=1,输出 1;当 x=1时,代入 x+4得 x+4=5,输出 5;当 x=5时,代入 x得 x= ×5=1,输出 1;…观察发现从第 4次以后奇数次就输出 5,偶数次就输出 1.因此,第 2018次输出的应是 1.5.π [解析] 连结 OE,易证四边形 ABEO为正方形,则扇形 OED的圆心角为 90°,半径为 2,因此可求扇形 OED的面积,阴影面积看成正方形 ABEO 的面积+扇形 OED 的面积-△ABD 的面积,正方形 ABEO、扇形 OED 和△ABD 的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+  [解析] 如图,将△APB 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AHC,连结 PH,作 AI⊥CH 交 CH 的延长线于点 I,易知△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI= ,HI= ,∴CI= +4,∴AC2= 2+ +4 2=25+12 ,∴S△ABC= AC2= (25+12 )=9+ .7.解:(1)证明:如图,延长 ED交 AG于点 H.∵点 O为正方形 ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形 OEFG为正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即 DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由 0°增大到 90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD= OG= OG',∴在 Rt△OAG'中,sin∠AG'O= = ,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由 90°增大到 180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或 150°.②AF'长的最大值是 2+ ,此时α=315°.理由:当 AF'的长最大时,点 F'在直线 AC上,如图所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD= ,AO=OD= .∴OE'=E'F'=2OD= .∴OF'= =2.∴AF'=AO+OF'= +2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.

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