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中考数学期末复习之方法技巧:角平分线训练(含答案)

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中考数学期末复习之方法技巧:角平分线训练(含答案)方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于 90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于 90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图 F7-1,∠B=∠C=90°,M是 BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 (  )图 F7-1A.30° B.35°C.45° D.60°2.[2018·陕西] 如图 F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为 D,∠ABC的平分线交 AD于点 E,则AE的长为 (  )图 F7-2A. B.2C. D.33.[2018·达州] 如图 F7-3,△ABC 的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上,∠ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 N,∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 M.若 BC=7,则 MN的长为 (  )图 F7-3A. B.2C. D.34.如图 F7-4,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC 的平分线分别交 AD,AC 于点 E,F,则 的值是 (  )图 F7-4A. -1 B.2+C. +1 D.5.[2017·滨州] 如图 F7-5,点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点,且∠MPN 与∠AOB 互补.若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中,其两边分别与 OA,OB 相交于 M,N 两点,则以下结论:(1)PM=PN 恒成立;(2)OM+ON 的值不变;(3)四边形 PMON 的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为 (  )图 F7-5A.4 B.3 C.2 D.16.[2016·宁夏] 如图 F7-6,在平行四边形 ABCD中,∠BAD的平分线 AE交 BC于点 E,且 BE=3,若平行四边形 ABCD的周长是 16,则 EC等于    . 图 F7-67.[2017·十堰] 如图 F7-7,△ABC 内接于☉O,∠ACB=90°,∠ACB 的平分线交☉O 于点 D,若 AC=6,BD=5 ,则 BC 的长为    . 图 F7-78.如图 F7-8,在矩形 ABCD 中,∠ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E,∠BED 的平分线 EF 与 DC 交于点 F,若 AB=9,DF=2FC,则BC=    .(结果保留根号) 图 F7-89.如图 F7-9,已知☉O的直径 AB=5,AC,AE为弦,且 AC=4,AC平分∠BAE,求 AE的长.图 F7-910.[2017·盐城] 如图 F7-10,矩形 ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线 BE,DF分别交边 AD,BC于点 E,F.(1)求证:四边形 BEDF为平行四边形.(2)当∠ABE为多少度时,四边形 BEDF是菱形?请说明理由.图 F7-1011.[2017·临沂] 如图 F7-11,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点 D,∠ABC的平分线交 AD于点 E.(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.图 F7-1112.如图 F7-12,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交 AB,BD,BC于点 E,F,G,连结 ED,DG.(1)请判断四边形 EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2 ,点 H是 BD上的一个动点,求 HG+HC的最小值.图 F7-12参考答案1.B 2.C [解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE= BE.∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°,∴AE=BE=2DE,∴AE= AD.在 Rt△ACD中,sin C= ,∴AD=ACsin C=8× =4 ,∴AE= ×4 = .故选 C.3.C [解析] ∵△ABC的周长为 19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于 AE,垂足为 N,∴BA=BE,N是 AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于 AD,垂足为 M,∴AC=DC,M是 AD的中点,∴DE=AB+AC-BC=5.∵MN是△ADE的中位线,∴MN= DE= .故选 C.4.C [解析] 如图,过点 F作 FG⊥AD于点 G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.设 FG=1,则 AG=1,AF= .∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF= ,∴EG= -1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴ = = = +1.故选 C.5.B [解析] 结论(1),如图,过点 P 分别作 OA,OB 的垂线段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB 与∠EPF 互补,由已知“∠MPN 与∠AOB 互补”,可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”,可证 PE=PF,即可证得 Rt△PME≌Rt△PNF,因此对于结论(1),“PM=PN”由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到 ME=NF,即可证得 OM+ON=OE+OF,由于 OE+OF 保持不变,因此 OM+ON 的值也保持不变;结论(3),由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等,因此四边形 PMON 的面积与四边形 PEOF 的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),如图,连结 EF,对于△PMN 与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边 MN与 EF不可能相等.所以 MN的长是变化的.故选 B. 6.27.8 [解析] 连结 DA,因为∠ACB=90°,所以 AB 为☉O 的直径,所以∠ADB=90°.因为 CD 平分∠ACB,所以 BD=AD.在△ABD中,AB= = =10.在△ABC中,BC= = =8.8.6 +3 [解析] 如图,延长 EF 和 BC,交于点 G.矩形 ABCD 中,∠ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E,所以∠ABE=∠GBE=45°,所以在 Rt△ABE 中,∠ABE=∠AEB=45°,所以 AB=AE=9.在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得 BE= ==9 .又因为∠BED 的平分线 EF 与 DC 相交于点 F,所以∠BEG=∠DEF.因为 AD∥BC,所以∠G=∠DEF,所以∠BEG=∠G,所以 BG=BE=9 .由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,所以 = = = .设 CG=x,DE=2x,则 AD=9+2x=BC.因为 BG=BC+CG,所以 9 =9+2x+x,解得 x=3 -3,所以 BC=9+2x=9+2(3 -3)=6 +3.9.解:如图,连结 BC,BE,OC,OC交 BE于点 G.因为∠BAE=2∠BAC=∠BOC,且∠BAE+∠ABE=90°,所以∠OGB=90°,即 OC⊥BE,所以 BG=EG,AE=2OG.设 OG=x,则 CG= -x,BC=3,由勾股定理可得 OB2-OG2=BC2-CG2,即 -x2=9- -x 2,解得 x= ,故 AE=2x= .10.解:(1)证明:∵四边形 ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD= ∠ABD,∠FDB= ∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四边形 BEDF是平行四边形.(2)当∠ABE=30°时,四边形 BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四边形 ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.∵四边形 BEDF是平行四边形,∴四边形 BEDF是菱形.11.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴DE=BD.(2)如图,连结 CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC= =4 ,∴△ABC外接圆的半径为 2 .12.解:(1)四边形 EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分 BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB.∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.在△EFD和△GFB中,∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形 EBGD是菱形.(2)如图,分别过点 E,D作 EM⊥BC于点 M,DN⊥BC于点 N,连结 EC交 BD于点 H,此时 HG+HC最小, 在 Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°, EB=ED=2 ,∴EM= BE= .∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN= ,MN=DE=2 .在 Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC= ,∴MC=3 .在 Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM= ,MC=3 ,∴EC= = =10.∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值为 10.

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