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2020年中考数学必刷试卷04(含解析湖北武汉版)

2020年中考数学必刷试卷04(湖北武汉专用)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.若一元二次方程 的一个根是 ,则原方程的另一个根是(      )
A.     B.     C.     D.
【答案】A
【解析】设方程的另一个根是x,
∵x=2是一元二次方程x -kx+6=0的一个根,
∴2x=6,
解得x=3
故选A
2.下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.     B.     C.     D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误.
故选C.
3.下列说法错误的是
A.必然事件发生的概率为             B.不可能事件发生的概率为
C.有机事件发生的概率大于等于 、小于等于     D.概率很小的事件不可能发生
【答案】D
【解析】A、必然发生的事件发生的概率为1,正确;
B、不可能发生的事件发生的概率为0,正确;
C、随机事件发生的概率大于0且小于1,正确;
D、概率很小的事件也有可能发生,故错误,
故选D.
4.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,连结OD,AC,若∠CAO=70°,则∠BOD的度数为(   )
 
A.110°    B.140°    C.145°    D.150°
【答案】B
【解析】 , ,
 ,
 ,
 ,
故选B.
5.关于函数y=﹣(x+2)2﹣1的图象叙述正确的是(  )
A.开口向上    B.顶点(2,﹣1)
C.与y轴交点为(0,﹣1)    D.对称轴为直线x=﹣2
【答案】D
【解析】 函数 ,
 该函数图象开口向下,故选项A错误,
顶点坐标为 ,故选项B错误,
当 时, ,即该函数与y轴的交点坐标为 ,故选项C错误,
对称轴是直线 ,故选项D正确,
故选D.
6.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是(  )
A.两实根的和为﹣2    B.两实根的积为3
C.有两个不相等的正实数根    D.没有实数根
【答案】D
【解析】∵△=(-2)2-4×3<0.
∴方程没有实数解.
故选D.
7.将抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2向左平移2个单位,向下平移3个单位后的新抛物线解析式为(  )
A.y=﹣2(x﹣1)2+1    B.y=﹣2(x+3)2﹣5
C.y=﹣2(x﹣1)2﹣5    D.y=﹣2(x+3)2+1
【答案】B
【解析】将抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2向左平移2个单位,向下平移3个单位后的新抛物线解析式为:y=﹣2(x+3)2﹣5.
故选:B.
8.如图,CE,BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为    (    )
 
A.6    B.5    C.4    D.3
【答案】C
【解析】连接EG、FG,
 
EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线,
∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半
∴EG=FG= BC= ×10=5,
∵D为EF中点
∴GD⊥EF,
即∠EDG=90°,
又∵D是EF的中点,
 ∴ ,
在 中,
 ,
故选C.
9.已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是(  )
A.﹣3<m<2    B.﹣ <m<-     C.m>﹣     D.m>2
【答案】C
【解析】∵点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,y1>y2≥n,
∴抛物线有最小值,
∴抛物线开口向上,
∴点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离大,
∴ <m,
解得m>  ,
故选C.
10.如图,已知正方形ABCD,点E,F分别在CD,BC上,且∠EAF=∠DAE+∠BAF,则 的值为(  )
 
A.     B.     C.     D.
【答案】A
【解析】如图,连接EF,将△ADE旋转至△ABH
∴∠DAE=∠BAH,AE=AH,DE=BH
∴∠EAF=∠DAE+∠BAF=∠BAH+∠BAF=∠FAH
∵∠D=∠ABC=∠ABH=90°
∴∠ABC+∠ABH=180°
∴C,B,H三点共线
∵AF=AF
∴△AEF≌△AHF(SAS)
∴EF=FH=FB+BH=FB+DE
∵DE+CE=CF+BF
∴BF﹣DE=CE﹣CF
∵CE2+CF2=EF2
∴CE2+CF2=(BF+DE)2
∴(CE﹣CF)2+2CE•CF=(BF﹣DE)2+4BF•DE
∵BF﹣DE=CE﹣CF
∴2CE•CF=4BF•DE

故选A.
 
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣4,3),C(﹣1,1).写出各点关于原点的对称点的坐标_____,_____,_____.
 
【答案】(3,﹣5)    (4,﹣3)    (1,﹣1).    
【解析】∵两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,∴A(﹣3,5)关于原点对称的点的坐标为:(3,﹣5);B(﹣4,3)关于原点对称的点的坐标为(4,﹣3),C(﹣1,1)关于原点对称的点的坐标为(1,﹣1).
故答案为:(3,﹣5)、(4,﹣3)、(1,﹣1).
12.为了弘扬中华传统文化,营造书香校园文化氛围,某学校举行中华传统文化知识大赛活动,该学校从三名女生和两名男生中选出两名同学担任本次活动的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是_________.
【答案】3/5
【解析】画树状图如下,
 
统计可得,共有20种机会均等的结果,其中一男一女占12种,则恰好抽中一男一女的概率是:12/20=3/5 ;故答案为3/5.
13.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是21,则每个支干长出_____.
【答案】4个小支干.
【解析】设每个支干长出x个小支干,
根据题意得: ,
解得: 舍去 , .
故答案为:4个小支干.
14.一个正n边形的中心角等于18°,那么n=_____.
【答案】20
【解析】∵正n边形的中心角为18°,
∴18n=360,
∴n=20.
故答案为20.
15.如图,▱ABCD中,AC⊥CD,以C为圆心,CA为半径作圆弧交BC于E,交CD的延长线于点F,以AC上一点O为圆心OA为半径的圆与BC相切于点M,交AD于点N.若AC=9cm,OA=3cm,则图中阴影部分的面积为_____cm2.
 
【答案】21π﹣ .
【解析】连接OM,ON.
 
∴OM=3,OC=6,
∴  
∴  
∴扇形ECF的面积  
△ACD的面积  
扇形AOM的面积  
弓形AN的面积  
△OCM的面积  
∴阴影部分的面积=扇形ECF的面积−△ACD的面积−△OCM的面积−扇形AOM的面积−弓形AN的面积  
故答案为: .
16.如图,抛物线y=ax2﹣1(a>0)与直线y=kx+3交于MN两点,在y轴负半轴上存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称,则点P的坐标是_____
 
【答案】(0,-5)
【解析】如图作MB⊥y轴,NA⊥y轴
 
∵M,N是直线y=kx+3的点
∴设M(xM,kxM+3),N(xN,kxN+3),P(0,t)
∵抛物线y=ax2﹣1(a>0)与直线y=kx+3交于MN两点
∴ax2﹣1=kx+3
ax2﹣kx﹣4=0
∴xM+xN= ,xM×xN=﹣ ,
∵直线PM与PN总是关于y轴对称
∴∠MPA=∠NPA,且∠MBP=∠NAP=90°
∴△MBP∽△NAP,
∴ 即  ,
∴(﹣xM﹣xN)(3﹣t)=2kxMxN
∴﹣ (3﹣t)=2k×(- ),
∴t=﹣5
∴P(0,﹣5).
故答案为(0,﹣5)
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分8分)解分式方程:
【解析】去分母得:x2+x﹣2x+1=x2﹣1,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
18.(本小题满分8分)如图,已知AB,CG是⊙O的两条直径,AB⊥CD于点E,CG⊥AD于点F.
(1)求∠AOG的度数;
(2)若AB=2,求CD的长.
 
【解析】(1)连接OD,
 
∵AB⊥CD,
∴(BC) ̂=(BD) ̂,
∴∠BOC=∠BOD,
由圆周角定理得,∠A=1/2∠BOD,
∴∠A=1/2∠BOD,
∵∠AOG=∠BOD,
∴∠A=1/2∠AOG,
∵∠OFA=90°,
∴∠AOG=60°;
(2)∵∠AOG=60°,
∴∠COE=60°,
∴∠C=30°,
∴OE=1/2OC=1/2,
∴CE=√(〖OC〗^2-〖OE〗^2 )=√3/2,
∵AB⊥CD,
∴CD=2CE=√3.
19.(本小题满分8分)密码锁有三个转轮,每个转轮上有十个数字:0,1,2,…9.小黄同学是9月份中旬出生,用生日“月份+日期”设置密码:9××(注:中旬为某月中的11日﹣20日),小张同学要破解其密码:
(1)第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是     .
(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码,并求密码数能被3整除的概率.
【解析】(1)∵小黄同学是9月份中旬出生,
∴第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是1,2;
故答案为1或2;
(2)所有可能的密码是:911,912,913,914,915,916,917,918,919,920;
能被3整除的有912,915,918,;
密码数能被3整除的概率 .
20.(本小题满分8分)如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
 
【解析】(1)∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,
∴△AEF≌△DEB(AAS);
(2)连接DF,
 
∵AF∥CD,AF=CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵△AEF≌△DEB,
∴BE=FE,
∵AE=DE,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴DF=AB,
∵AB=AC,
∴DF=AC,
∴四边形ADCF是矩形.
21.(本小题满分8分)如图,Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,⊙O为△ADB的外接圆,DH⊥AB于点H,现将△AHD沿AD翻折得到△AED,AE交⊙O于点C,连接OC交AD于点G.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=10,求线段OG的长.
 
【解析】(1)连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
由翻折得:∠OAD=∠EAD,∠E=∠AHD=90°,
∴∠ODA=∠EAD,
∴OD∥AE,
∴∠E+∠ODE=180°,
∴∠ODE=90°,
∴DE与⊙O相切;
(2)∵将△AHD沿AD翻折得到△AED,
∴∠OAD=∠EAD=30°,
∴∠OAC=60°,
∵OA=OD,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠AOG=60°,
∵∠OAD=30°,
∴∠AGO=90°,
∴OG= AO= .
 
22.(本小题满分10分)为满足市场需求,某超市购进一种水果,每箱进价是40元.超市规定每箱售价不得少于45元,根据以往经验发现:当售价定为每箱45元时,每天可以卖出700箱.每箱售价每提高1元,每天要少卖出20箱.
(1)求出每天的销量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式,并直接写出x的范围;
(2)当每箱售价定为多少元时,每天的销售利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关部分规定:每箱售价不得高于70元.如果超市想要每天获得的利润不低于5120元,请直接写出售价x的范围.
【解析】 由题意得, ;
 设每天的利润为w元,
根据题意得,  
当 时,w有最大值为8000元;
 令 ,则 ,
解得 ,  
 ,
 ,
故售价x的范围为: .
23.(本小题满分10分)如图,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8 ,点A的坐标(﹣8,0),点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动,运动时间为t秒,连接BC,过点A作AD⊥BC,垂足为点E,分别交BO于点F,交y轴于点 D.
(1)用t表示点D的坐标     ;
(2)如图1,连接CF,当t=2时,求证:∠FCO=∠BCA;
(3)如图2,当BC平分∠ABO时,求t的值.
 
【解析】(1)∵AD⊥BC,
∴∠AEB=90°=∠BAC=∠AOD,
∴∠ABC+∠BAE=90°,∠BAE+∠OAD=90°,
∴∠ABC=∠OAD,
∵AB=OA,
∴△ABC≌△OAD(ASA),
∴OD=AC=2t,
∴D(0,2t).
故答案为(0,2t);
(2)如图1中,
 
∵AB=AO,∠BAO=90°,OB= ,
∴AB=AO=8,
∵t=2,
∴AC=OD=4,
∴OC=OD=4,
∵OF=OF,∠FOD=∠FOC,
∴△FOD≌△FOC(SAS),
∴∠FCO=∠FDO,
∵△ABC≌△OAD,
∴∠ACB=∠ADO,
∴∠FCO=∠ACB;
(3)如图2中,在AB上取一点K,使得AK=AC,连接CK.设AK=AC=m,则CK= m.
 
∵CB平分∠ABO,
∴∠ABC=22.5°,
∵∠AKC=45°=∠ABC+∠KCB,
∴∠KBC=∠KCB=22.5°,
∴KB=KC= m,
∴m+ m=8,
∴m=8( ),
∴t= =4( ﹣1).
24.(本小题满分12分)如图1,直线1:y=﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、点E,抛物线L:y=ax2+bx+c经过点B、点A(﹣3,0)和点C(0,﹣3),并与直线l交于另一点D.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)点P为x轴上一动点
①如图2,过点P作x轴的垂线,与直线1交于点M,与抛物线L交于点N.当点P在点A、点B之间运动时,求四边形AMBN面积的最大值;
②连接AD,AC,CP,当∠PCA=∠ADB时,求点P的坐标.
 
【解析】(1)∵y=﹣x+1,
∴B(1,0),
将A(﹣3,0)、C(0,﹣3),B(1,0)代入y=ax2+bx+c,
 ,

∴抛物线L的解析式:y=x2+2x﹣3;
(2)设P(x,0).
①S四边形AMBN= AB•MN

=﹣2(x+ )2+ ,
∴当x=﹣ 时,S四边形AMBN最大值为 ;
②由 ,得 , ,
∴D(﹣4,5),
∵y=﹣x+1,
∴E(0,1),B(1,0),
∴OB=OE,
∴∠OBD=45°.
∴BD= .
∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴OA=OC,AC= ,AB=4.
∴∠OAC=45°,∴∠OBD=∠OAC.
Ⅰ.当点P在点A的右边,∠PCA=∠ADB时,△PAC∽△ABD.
 
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴P1
Ⅱ.当点P在点A的左边,∠PCA=∠ADB时,记此时的点P为P2,则有∠P2CA=∠P1CA.
过点A作x轴的垂线,交P2C于点K,则∠CAK=∠CAP1,又AC公共边,
∴△CAK≌△CAP1(ASA)
∴AK=AP1= ,
∴K(﹣3,﹣ ),
∴直线CK: ,
∴P2(﹣15,0).
P的坐标:P1 ,P2(﹣15,0).

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