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2020年中考数学必刷试卷02(含解析湖北武汉版)

2020年中考数学必刷试卷02(湖北武汉专用)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.计算 的结果等于(    )
A.-9    B.9
C.-3    D.3
【答案】C
【解析】 =-3,
故选C.
2.式子 有意义,则x的取值范围是(  )
A.x≥3    B.x≤3    C.x≥﹣3    D.x≤﹣3
【答案】C
【解析】根据题意得:x+3≥0,解得:x≥﹣3.
故选:C.
3.计算3x2+2x2的结果(  )
A.5    B.5x2    C.5x4    D.6x2
【答案】B
【解析】3x2+2x2,
=(3+2)x2,
=5x2
故选B.
4.下列说法:①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨;②连续抛一枚硬币50次,出现正面朝上的次数一定是25次(  )
A.只有①正确    B.只有②正确    C.①②都正确    D.①②都错误
【答案】D
【解析】①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%,不是有80%的时间在下雨,故①错误;
②“连续抛一枚硬币50次,出现正面朝上的次数一定是25次”,这是一个随机事件,抛一枚硬币,出现正面朝上或者反面朝上都有可能,但事先无法预料,故②错误;
①和②都是错误的.
故选D.
5.计算(a-1)2正确的是(    )
A.a2-1    B.a2-2a+1    C.a2-2a-1    D.a2-a+1
【答案】B
【解析】∵(a−1)²=a²−2a+1,
∴与(a−1)²相等的是B,
故选:B.
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,1)、(1,2),则AB+BC的值为(  )
 
A.     B.3    C.4    D.5
【答案】A
【解析】∵点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1),
∴OA=2,OB=1,
∴AB= ,
过C作CE⊥y轴于E,
∵点C的坐标为(1,2),
∴CE=1,OE=2,
∴BE=1,
∴BC= ,
∴AB+BC= + ,
故选:A.
 
7.如图,下面几何体的左视图是(      )
 
A.     B.     C.     D.
【答案】B
【解析】从左边看,有两列,左边一列有三个正方形,右边有一个正方形
故选B
8.世界因爱而美好,在今年我校的“献爱心”捐款活动中,九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动,班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,根据图中提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是(  )
 
A.20、20    B.30、20    C.30、30    D.20、30
【答案】C
【解析】由表提供的信息可知,一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数,而中位数则是将这组数据从小到大(或从大到小)依次排列时,处在最中间位置的数,据此可知这组数据的众数,中位数.
根据右图提供的信息,捐款金额的众数和中位数分别是30,30.
故选C.
9.如图,在底边BC为2 ,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分AB于点D,交BC于点E,则△ACE的周长为(   )
 
A.2+     B.2+2     C.4    D.3
【答案】B
【解析】∵DE垂直平分AB,
∴BE=AE,
∴AE+CE=BC=2 ,
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ,
故选B.
10.如图,以半圆中的一条弦BC(非直径)为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若 ,且AB=10,则CB的长为(  )
 
A.     B.     C.     D.4
【答案】A
【解析】如图,若 ,且AB=10,
∴AD=4,BD=6,
作AB关于直线BC的对称线段A′B,交半圆于D′,连接AC、CA′,
可得A、C、A′三点共线,
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称,
∴AB=A′B,
∴AC=A′C,AD=A′D′=4,A′B=AB=10.
而A′C•A′A=A′D′•A′B,即A′C•2A′C=4×10=40.
则A′C2=20,
又∵A′C2=A′B2﹣CB2,
∴20=100﹣CB2,
∴CB=4 .
故选A.
 
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 的算术平方根是_______.
【答案】3
【解析】因为 =9,
所以 的算术平方根是3,
故答案为3
12.化简a^2/(a-1)-(1-2a)/(1-a)的结果为_____.
【答案】a-1
【解析】原式=(a^2-2a+1)/(a-1)
=a﹣1,
故答案为:a﹣1,
13.如图,在3×3的方格纸中,点A,B,C,D,E分别位于格点上.从A,D,E三点中任意取一点,以所取的这一点及B,C为顶点画三角形,则所画三角形是直角三角形的概率是______________.
 
【答案】
【解析】以所取的这一点及B,C为顶点画三角形有△ABC、△DBC、△EBC三种情况,
其中所画三角形是直角三角形的有△ABC、△DBC这2种结果,
所以所画三角形是直角三角形的概率是 ,
故答案为 .
14.如图,▱ABCD中,AD=2AB,AH⊥CD于点H,N为BC中点,若∠D=68°,则∠NAH=_____.
 
【答案】34°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠B=∠D=68°,∠BAD=180°﹣∠D=112°,
∵N为BC中点,
∴BC=2BN,
∵BC=AD=2AB,
∴AB=BN,
∴∠BAN=∠ANB=1/2(180°﹣68°)=56°,
∵AH⊥CD,
∴∠DAH=90°﹣∠D=22°,
∴∠NAH=∠BAD﹣∠BAN﹣∠DAH=34°;
故答案为:34°.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90o,AB=5,AC=4,线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90o得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D,BD交AE于H,则AH=________.
 
【答案】25/7
【解析】根据旋转的性质可知∠ADB=∠ABD=45°,根据平移的性质可知AB∥FD,
∴∠FDB=∠ABD=45°.∴∠ADE=45°+45°=90°,∴∠ADE=∠ACB.
又∵∠EAB+∠EAD=90°,∠EAB+∠BAC=90°,∴∠EAD=∠BAC.
∴△ADE∽△ACB.∴AD/AC=AE/AB=DE/BC ,
可得AE=AD/AC×AB=5/4×5=25/4,DE=AD/AC×BC=5/4×3=15/4,
∵∠AHB=∠DHE, ∠FDB=∠ABD,∴△ABH∽△EDH,
∴DE/AB=EH/AH ,可得EH/AH=3/4,∵AE=25/4 ,∴AH=25/7 ,故答案为25/7.
16.二次函数y=﹣x2+2kx﹣4在﹣1≤x≤2时,y≤0恒成立,则实数k的取值范围是____.
【答案】 .
【解析】根据题意:函数图象对称轴为x=﹣ =k,
①当k≤﹣1时,此时只需x=-1时y≤0即可,k≥  ,故 符合条件;
②当﹣1<k<2时,此时只需x=k时y≤0即可,即 ,故﹣1<k<2符合条件;
③当k≥2时,此时只需x=2时y≤0即可,k≤2,故k=2符合题意,
所以k的取值范围为 ,
故答案为 .
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分8分)解方程组:  
【解析】
依题意①×2得4x-6y=-10③
②×3得9x+6y=-3④
③+④得:13x=-13,解得x=-1,
把x=-1代入①,解得y=1,
∴原方程组的解为
18.(本小题满分8分)如图,已知A、B、C、D四点顺次在同一条直线上,AE∥FD,AE=FD,AB=CD,求证:∠ACE=∠DBF.
 
【解析】∵AE∥DF,
∴∠A=∠D.
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC.
即AC=BD.
在△AEC和△DFB中,
 ,
∴△AEC≌△DFB(SAS),
∴∠ACE=∠DBF.
19.(本小题满分8分)央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
 
(1)此次共调查了     名学生;
(2)将条形统计图1补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为     度;
(4)若该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
【解析】(1)∵喜欢文史类的人数为76人,占总人数的38%,
∴此次调查的总人数为:76÷38%=200人,
故答案为200;
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%,
∴喜欢生活类书籍的人数为:200×15%=30人,
∴喜欢小说类书籍的人数为:200﹣24﹣76﹣30=70人,
如图所示:
 
(3)∵喜欢社科类书籍的人数为:24人,
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为: ×100%=12%,
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为:100%﹣15%﹣38%﹣12%=35%,
∴小说类所在圆心角为:360°×35%=126°;
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%,
∴该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数:2000×12%=240人.
20.(本小题满分8分)武商量贩销售A,B两种商品,售出4件B种商品所得利润为400元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1) 求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;
(2) 由于需求量大,A,B两种商品很快售完,武商量贩决定再一次购进A,B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么武商量贩至少需购进多少件A种商品?
【解析】(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元,每件B种商品售出后所得利润为y元.由题意,得
 
解得: .
答:每件A种商品售出后所得利润为200元,每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34-a)件.由题意,得
200a+100(34-a)≥4000,
解得:a≥6
答:威丽商场至少需购进6件A种商品.
21.(本小题满分8分)如图,△ABC内接于⊙O,BC为直径,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E,P为CB延长线上一点,PB=5,PA=10,且∠DAP=∠ADP.
(1)求证:PA与⊙O相切;
(2)求sin∠BAP的值;
(3)求AD•AE的值.
 
【解析】(1)证明:连接OA,如图1所示:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠DAP=∠BAD+∠PAB,∠ADP=∠CAD+∠C,∠DAP=∠ADP,
∴∠PAB=∠C,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=∠PAB,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,即∠OAC+∠OAB=90°,
∴∠PAB+∠OAB=90°,即∠OAP=90°,
∴AP⊥OA,
∴PA与⊙O相切;
(2)解:∵∠P=∠P,∠PAB=∠C,
∴△PAB∽△PCA,

∵∠CAB=90°,

∴sin∠BAP=sin∠C= ;
(3)解:连接CE,如图2所示:
∵PA与⊙O相切,
∴PA2=PB×PC,即102=5×PC,
∴PC=20,
∴BC=PC﹣PB=15,

∴  ,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAE,
∵∠E=∠ABD,
∴△ACE∽△ADB,

∴  
 
22.(本小题满分10分)矩形AOBC中,OB=8,OA=4.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y= (k>0)的图象与边AC交于点E.
 
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF、AB,求证:EF∥AB;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
【解析】(1)∵四边形OACB是矩形,OB=8,OA=4,
∴C(8,4),
∵点F是BC中点,
∴F(8,2),
∵点F在y= 上,
∴k=16,反比例函数解析式为y=
∵点E在反比例函数图像上,且E点的纵坐标为4,
∴4=
∴x=4
∴E(4,4).
(2)连接AB,设点F(8,a),
 
∴k=8a,
∴E(2a,4),
∴CF=4﹣a,EC=8﹣2a,
在Rt△ECF中,tan∠EFC= =2,
在Rt△ACB中,tan∠ABC= =2,
∴tan∠EFC=tan∠ABC,
∴∠EFC=∠ABC,
∴EF∥AB.
(3)如图,
 
设将△CEF沿EF折叠后,点C恰好落在OB上的G点处,
∴∠EGF=∠C=90°,EC=EG,CF=GF,
∴∠MGE+∠FGB=90°,
过点E作EM⊥OB,
∴∠MGE+∠MEG=90°,
∴∠MEG=∠FGB,
∴Rt△MEG∽Rt△BGF,
∴ ,
∵点E( ,4),F(8, ),
∴EC=AC﹣AE=8﹣ ,CF=BC﹣BF=4﹣ ,
∴EG=EC=8﹣ ,GF=CF=4﹣ ,
∵EM=4,
∴ ,
∴GB=2,
在Rt△GBF中,GF2=GB2+BF2,
即:(4﹣ )2=(2)2+( )2,
∴k=12,
∴反比例函数表达式为y=  .
23.(本小题满分10分)如图(1),AB⊥BC,CD⊥BC,点E在线段BC上,AE⊥ED,
 
求证:(1) .
(2)在△ABC中,记tanB=m,点E在边AB上,点D在直线BC上.
①如图(2),m=2,点D在线段BC上且AD⊥EC,垂足为F,若AD=2EC,求 ;
②如图(3),m= ,点D在线段BC的延长线上,ED交AC于点H,∠CHD=60°,ED=2AC,若CD=3 ,BC=4 ,直接写出△BED的面积.
【解析】(1)∵AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥ED,
∴∠B=∠C=∠AED=90°,
∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠A=∠DEC,
∴△ABE∽△ECD,
∴ ;
(2)如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EH⊥BC于点H,
 
∵tanB=m=2= ,
∴设EH=2x,BH=x,AM=2BM,
∴BE= ,
∵AF⊥EC,AM⊥CD,
∴∠ADC+∠DCE=90°,∠ADC+∠DAM=90°,
∴∠DAM=∠DCE,且∠AMD=∠EHC=90°,
∴△EHC∽△DMA,且AD=2EC,
∴ ,
∴DM=2EH=4x,AM=2HC,
∵AM=2HC,AM=2BM,
∴HC=BM,
∴HC﹣HM=BM﹣HM,
∴BH=MC=x,
∴DC=DM+MC=5x,
∴ ;
(3)如图,作∠BCF=∠B,交AB于点F,过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G,过点F作FM⊥BC于点M,
 
∵tanB=m= ,
∴∠B=30°,
∵∠BCF=∠B=30°,
∴BF=FC,且FM⊥BC,BC=4 ,
∴BM=MC=2 ,且∠B=30°,FM⊥BC,
∴FM=2,BF=FC=4,
∵CD=3 ,BC=4 ,
∴BD=7 .
又∵∠BCF=∠B=30°,GD⊥BD,
∴∠G=60°,∠AFC=60°,GD=7,BG=2DG=14,
∵∠BCA=∠BDE+∠CHD=∠BDE+60°=∠BCF+∠ACF=30°+∠ACF,
∴∠ACF=30°+∠BDE,且∠AEH=∠B+∠BDE=30°+∠BDE,
∴∠ACF=∠AEH,且∠G=∠AFC=60°,
∴△GED∽△FCA,
∴ ,且DE=2AC,
∴GD=2AF,EG=2FC=8,
∴AF= ,
∴BE=BG﹣EG=14﹣8=6,
∵S△BGD= ×BD×GD= ,
∴S△BED= .
24.(本小题满分12分)已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的交点为C,OC=3OA
(1)请直接写出该抛物线解析式;
(2)如图,D为抛物线的顶点,连接BD、BC,P为对称轴右侧抛物线上一点.若∠ABD=∠BCP,求点P的坐标
(3)在(2)的条件下,M、N是抛物线上的动点.若∠MPN=90°,直线MN必过一定点,请求出该定点的坐标.
 
【解析】(1)当x=0时,y=ax2﹣2ax+3=3,
∴C(0,3),OC=3OA=3,
∴OA=1,A(﹣1,0),
把点A(﹣1,0)代入抛物线解析式得:a+2a+3=0,
解得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方,
 
过点P作PE∥y轴交BC于点E,PF⊥BC于点F,过点D作DH⊥x轴于点H,
∴∠CFP=∠BHD=90°,
∵当y=﹣x2+2x+3=0时,解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D(1,4),
∴DH=4,BH=3﹣1=2,
∴BD= ,
∴Rt△BDH中,sin∠ABD= ,
∵C(0,3)
∴BC= ,PC= ,
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴ ,解得: ,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
设P(p,﹣p2+2p+3)(1<p<3),则E(p,﹣p+3),
∴PE=﹣p2+2p+3﹣(﹣p+3)=﹣p2+3p,
∵S△BCP= PE•OB=  BC•PF,
∴PF= ,
∵∠ABD=∠BCP,
∴Rt△CPF中,sin∠BCP= =sin∠ABD= ,
∴PF= PC,
∴PF2= PC2,
解得:p1=﹣1(舍去),p2= ,
∴﹣p2+2p+3= ,
∴点P坐标为( , )
如图2,若点P在x轴下方,
 
∵tan∠ABD= =2>tan45°,
∴∠ABD>45°,
∵∠BCP<∠BOC即∠BCP<45°,
∴∠ABD与∠BCP不可能相等.
综上所述,点P坐标为( , );
(3)如图3,过P作PH∥y轴,分别过点M、N作MG⊥PH于G,NH⊥PH于H.
 
设直线MN的解析式为y=kx+n,M(x1,y1)、N(x2,y3),
令kx+n=﹣x2+2x+3,即=x2+(k﹣2)x+n﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣k,x1x2=n﹣3,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2n=k(2﹣k)+2n,
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2=﹣3k2+2nk+n2,
∵∠G=∠MPN=∠H,
∴△MPG∽△PNH,
∴  ,
∵P坐标为( , ),
MG= ﹣x1,PH=y1﹣ ,HN= ,GP= ,
∴ ,
整理,得 ,
∴ ,
解得 k1=﹣3n+ ,k2= ,
∴直线MN;y=(﹣3n+ )x+n=(﹣3x+1)n+ ,过定点( , );
或y=( )x+n=( )n+ ,过定点( , )即P点,舍去.
∴直线MN过定点( , ).

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