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2020年中考数学必刷试卷01(含解析湖北武汉版)

2020年中考数学必刷试卷01(湖北武汉专用)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.如果80 m表示向东走80 m,则-60 m表示( ).
A.向东走60 m        B.向西走60 m    
C.向南走60 m        D.向北走60 m
【答案】B
【解析】由题意可知:把向东走记为正数,则向西走记为负数,所以-60m表示向西走60m.故选B.
2.若代数式 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是(  )
A.x>3        B.x=3    
C.x≠0        D.x≠3
【答案】D
【解析】依题意得:3﹣x≠0.
解得x≠3
故选D.
3.下列哪个事件不是随机事件(  )
A.投掷一次骰子,向上一面的点数是6    B.姚明在罚球线上投篮一次,未投中
C.任意画一个多边形,其外角和是360°    D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
【答案】C
【解析】A.投掷一次骰子,向上一面的点数是6是随机事件;
B.姚明在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件;
C.任意画一个多边形,其外角和是360°是必然事件;
D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是随机事件;
故选C.
4.在平面直角坐标系中,点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是(   )
A.(3,5)        B.(3,-5)    
C.(-3,-5)        D.(-3,5)
【答案】D
【解析】点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是(-3,5),
故选D.
5.如图所示的几何体的俯视图是(    )
 
A.         B.     
C.         D.
【答案】B
【解析】从上边看是一个正方形,正方形的内部左上角是一个小正方形,
故选B.
6.计算(a+2)(a﹣2)的结果是(  )
A.a2﹣4        B.a2+4    
C.a2﹣4a﹣4        D.a2+4a﹣4
【答案】A
【解析】原式=a2﹣4,
故选A.
7.某中学读书兴趣小组有10名成员,他们每星期课外阅读的时间情况如表.根据表中信息,求出该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数和众数分别是(  )
读书时间    4小时    5小时    6小时    7小时
人数    1    3    4    2
A.3、4    B.5、6    C.6、6    D.4、4
【答案】C
【解析】把这些数从小到大排列为:4,5,5,5,6,6,6,6,7,7,最中间两个数的平均数是: =6小时,
则该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数是6小时,
∵6小时出现了4次,出现的次数最多,
∴该兴趣小组成员每个星期阅读时间的众数是6小时;
故选C.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于CP+EP最小值的是(  )
 
A.AC        B.AD    
C.BE        D.BC
【答案】C
【解析】如图,连接PB,
 
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴PB=PC,
∴PC+PE=PB+PE,
∵PE+PB≥BE,
∴P、B、E共线时,PB+PE的值最小,最小值为BE的长度,
故选C.
9.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是(  )
 
A.此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5
B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D.篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【解析】A、∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5),
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5.
∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得  3.05=a×1.52+3.5,
∴a=﹣ ,
∴y=﹣ x2+3.5.
故本选项正确;
B、由图示知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),
故本选项错误;
C、由图示知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),
故本选项错误;
D、设这次跳投时,球出手处离地面hm,
因为(1)中求得y=﹣0.2x2+3.5,
∴当x=﹣2.5时,
h=﹣0.2×(﹣2.5)2+3.5=2.25m.
∴这次跳投时,球出手处离地面2.25m.
故本选项错误.
故选A.
10.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,点C是半径OA上一点,点D是 上一点.将扇形AOB沿CD对折,使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E.若∠OCD=45°,OC= +1,则扇形AOB的半径长是(  )
 
A.2+         B.2+     
C.2         D.
【答案】B
【解析】作O关于CD的对称点F,连接CF、EF,如图1所示:
 
则EF为扇形AOB的半径,
由折叠的性质得:∠FCD=∠OCD=45°,FC=OC= +1,
∴∠OCF=90°,
∴△OCF是等腰直角三角形,
∴∠COF=45°,OF= OC= + ,
∴∠EOF=∠AOB﹣∠COF=75°,
∵折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E,
∴∠OEF=90°,
∴∠OFE=15°,
∵cos∠OFE= cos15°= ,
如图2所示:
 
∴EF=OF×cos15°=( + )× =2+ ;
故选B.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算:4 +3 ﹣ =_____.
【答案】
【解析】原式=2 + ﹣2
= .
故答案为 .
12.在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球,它们除颜色外其它完全相同,通过多次摸球实验后发现,摸到红球的概率稳定在 附近,则估计口袋中大约共有__________个白球.
【答案】
【解析】设白球约为x个,依题意得 ,
解得x=15,即白球约为15个.
13.如图, 中, , , , 绕顶点O逆时针旋转到 处,此时线段 与BO的交点E为BO的中点,则线段 的长度为______.
 
【答案】
【解析】如图,
 
 , , ,
 ,
 绕顶点O逆时针旋转到 处,
 , ,
 点E为BO的中点,
 ,
 ,
过点O作 于F,
 ,
解得 ,
在 中, ,
 , ,
 等腰三角形三线合一 ,
 .
故答案为: .
14.如图,直线y= x﹣1与x,y轴交于B、A,点M为双曲线y 上的一点,若△MAB为等腰直角三角形,则k=_____.
 
【答案】4
【解析】如图,作 轴于点D, 轴于点C.
 
 直线 与x轴,y轴分别相交于B、A,
 当 时, ;当 时, ,
 点坐标的坐标为 ,B点坐标为 ,
 是以AB为底的等腰直角三角形,
 , , ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 轴, 轴,
 ,
在 和 中,
 ,
 ≌ ;
 , ,
 ,
 四边形OCMD是正方形,
设 ,则 , ,
 ,
 ,
解得: ,
即 ,
 点M的坐标为: ,
 .
故答案为:4.
15.如图,M,N是正方形ABCD的边BC上两个动点,满足BM=CN,连结AC交DN于点P,连结AM交BP于点Q,若正方形的边长为1,则线段CQ的最小值是_____.
 
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∠ACB=∠ACD=45°
在△ABM和△DCN中,
  ,
∴△ABM≌△DCN,
∴∠BAM=∠CDN,
在△CPB和△CPD中,
  ,
∴△CPD≌△CPB,
∴∠CDP=∠CBP=∠BAM,
∵∠CBP+∠ABP=90°,
∴∠BAM+∠ABP=90°,
∴∠AQB=90°,
∴点Q在以AB为直径的圆上运动,设圆心为O,连接OC交⊙O于点Q′,此时CQ′最小,
∴CQ′=OC﹣OQ′= .
故答案为 .
 
16.若直线 与函数 的图象有四个公共点,则m的取值范围为______.
【答案】
【解析】作出 的图象,如图所示,
 
 ,
联立 ,
消去y后可得: ,
令 ,
可得: ,
 ,
即 时,直线 与函数 的图象只有3个交点,
当直线过点 时,
此时 ,直线 与函数 的图象只有3个交点,
 直线 与函数 的图象有四个公共点时,m的范围为: ,
故答案为: .
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
二、填空题
三、解答题
17.(本小题满分8分)计算:3a2•a4+(2a3)2﹣7a6
【答案】0
【解析】原式=3a6+4a6﹣7a6
=0.
18.(本小题满分8分)如图,AB∥CD,EF分别交AB,CD于点G,H,∠BGH,∠DHF的平分线分别为GM,HN,求证:GM∥HN.
 
【解析】∵AB∥CD,
∴∠FGB=∠FHD.
又∵∠BGH,∠DHF的平分线分别为GM,HN,
∴∠FHN=1/2∠FHD,∠FGM=1/2∠FGB,
∴∠FHN=∠FGM,
∴GM∥HN.
19.(本小题满分8分)随着信息技术的迅猛发展,人们购物的支付方式更加多样、便捷,为调查大学生购物支付方式,某大学一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
 
(1)这次活动共调查了     人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为     
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该大学有10000名学生,请你估计购物选择用支付宝支付方式的学生约有多少人?
【解析】(1)本次调查的人数为:(45+50+15)÷(1﹣15%﹣30%)=200,
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为:360°× =81°,
故答案为200,81°;
(2)使用微信的人数为:200×30%=60,使用银行卡的人数为:200×15%=30,
补充完整的条形统计图如图所示;
 
(3)10000× =2250(人),
答:购物选择用支付宝支付方式的学生约有2250人.
20.(本小题满分8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度,画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2;
(3)直接写出点B2,C2的坐标.
 
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,﹣2),C2(1,﹣3).
 
21.(本小题满分8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E. F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2√3,BF=2,求⊙O的半径.
 
【解析】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切,
 
理由是:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC,
∵OD为半径,
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切;
(2)设⊙O的半径为R,
则OD=OF=R,
在Rt△BDO中,由勾股定理得:OB〖^2〗=BD〖^2〗+OD〖^2〗,
即(R+2) 〖^2〗=(2√3)〖^2〗+R〖^2〗,
解得:R=2,
即⊙O的半径是2.
22.(本小题满分10分)某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%,则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映,该花卉每盆售价25元时,每天可卖出25盆.若调整价格,每盆花卉每涨价1元,每天要少卖出1盆.
(1)该花卉每盆批发价是多少元?
(2)若每天所得的销售利润为200元时,且销量尽可能大,该花卉每盆售价是多少元?
(3)为了让利给顾客,该花店决定每盆花卉涨价不超过5元,问该花卉一天最大的销售利润是多少元?
【解析】(1)设该花卉每盆批发价为x元,由题意得
  ,解得  
经检验 是原方程的解
答:该花卉每盆批发价是20元
(2)设该花卉每盆售价x元,由题意得
 
化简得  
解得  ,  ,
  销量尽可能大,  
答:该花卉每盆售价是30元
(3)设该花卉每天的利润为W元,每盆售价为x元,依题意得
 
 
 
  每盆花卉涨价不超过5元,  
 时,W随x的增大而增大,
  当x=30是,有最大值为200;
答:该花卉一天最大的销售利润是200元
23.(本小题满分10分)如图(1)所示,等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B1C1⊥AC于点C1交AB的延长线于点B1.
(1)请你探究: = , = 是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问 = 一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB= ,E为AB上一点且AE=5,CE交其内角角平分线AD于F.试求 的值.
      
【解析】(1)两个等式都成立.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,AD为角平分线,
∴AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,
∴DB=CD,
∴ = ,
∵∠C1AB1=60°,
∴∠B1=30°,
∴AB1=2AC1,
又∠DAB1=30°,
∴DA=DB1,
而DA=2DC1,
∴DB1=2DC1,
∴ = ;
(2)结论仍然成立,理由如下:
如图所示,
△ABC为任意三角形,过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,
 
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴BE=AB,
∵BE∥AC,
∴△EBD∽△ACD,
∴ = ,
而BE=AB,
∴ = .
(3)如图,连接DE,
 
∵AD为△ABC的内角角平分线,
∴ = = = , = = ,
又 = = ,
∴ = ,
∴DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
∴ = = .
24.(本小题满分12分)如图1,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),抛物线顶点为D,连接AC,BC,CD,BD,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,作PM⊥x轴于点M,设点M的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)试探究是否存在这样的点P,使得以P,M,B为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,PM交线段BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交线段BC于点F,请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出当m为何值时QF有最大值.
 
【解析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),
将C(0,-3),代入可得:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3,
根据顶点坐标公式得出D的坐标为("-"  ("-" 2)/2,(4×("-" 3)"-" ("-" 2)^2)/4)
∴点D的坐标为(1,﹣4);
(2)由(1)知,点B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3)、(1,﹣4),
则BC=3√2 ,CD=√2,BD=√20,
则△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
①当△PMB∽△BCD时,
则∠MPB=∠DBC,即:tan∠MPB=tan∠DBC=CD/BC=√2/(3√2)=1/3 ,
∵点M(m,0),则点P(m,m2﹣2m﹣3),
tan∠MPB=MB/MP=(3-m)/(-m^2+2m+3)=1/3,
解得:m=2或3(舍去3),
故点P(2,﹣3);
②当△BMP∽△BCD时,
同理可得:点P(﹣2/3,﹣11/9);
故点P的坐标为:(2,﹣3)或(﹣2/3,﹣11/9);
(3)设QF为y,作FH⊥PM于点H,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
则FH=QH=√2/2y,
∵PE∥AC,PM∥OC,则∠PEM=∠HFP=∠CAO,
∴△FHP∽△AOC,则PH=3FH=(3√2)/2y,
∴PQ=√2/2 y+(3√2)/2=2√2y,
根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为:y=x﹣3,
则点P(m,m2﹣2m﹣3),点Q(m,m﹣3),
所以PQ=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,即:2√2y=﹣m2+3m,
则y=(-m^2+3m)/(2√2)=-√2/4 (m-3/2)^2+(9√2)/16,.
∴当m=3/2时,QF有最大值.
 

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